1610912311-3cbc5b34357e1bf98e493aa337af68a6 (824698), страница 7
Текст из файла (страница 7)
-последовательность непустых ограниченных замкнутых множеств в }Rn. Доказать, что их пересечениеFнепусто.3.36.... -Пусть Р1 , Р2 , Fз ,такая последовательность ограниченных замкнутых множеств в }Rn, что для любогоNвыполнено условиеДоказать, что пересечение всех рn непусто.3.37.Построить последовательность Р1 ~ Р2 ~ Fз ~замкнутых ограниченных выпуклых множеств вll,...непустыхпересечение всехмножеств которой пусто.3.38. Пусть (М, р) - полное метрическое пространство и B r1 (Хl) ~~ B r2 (Х2) ~ В rЗ (хз) ~ ...
- последовательность вложенных непустыхшаров, причём r n -----+ О при n -----+ 00 и B rn (Х n ) ~ B rn + 1 (х n +l) для любогоn ~ 1. Доказать, что существует единственная общая точка:n Brn(x00n )=={Х}.n=13.39. Построить такую последовательность непустых интервалов(аl, Ь 1 ) ~ (а2, Ь 2 ) ~ ... из [0,1], что bj - aj -----+ О при j -----+ 00, ноn (аn , ьn ) ==000.n=13.40.Пустьзамкнутое множество в метрическом пространF -стве (М, р).
Доказать, что3.41.ПустьДоказать,множество типа Gб.открытое множество в метрическом пространствеG -(М, р). Доказать, что3.42.F -G - множество типа F(j.чтомножествоАвметрическомпространстве(М, р) имеет тип РО" тогда и только тогда, когда множество М\Аимеет тип Gб.3.43.Пусть А 1, ... , А n-конечная система множеств типав метрическом пространстве (М, р). Доказать, что-множество типа Gб.GбГл.Множества в3.3.44.IR nи других метрических nространствахПусть А 1 , ••• , А nконечная-37система множеств типа РО"в метрическом пространстве (М, р).
Доказать, чтоnFnF ==kk=l-множество типа3.45.ПустьF(j.открытое всюду плотное множество в метричеG -ском пространстве (М, р). Доказать, что для любого непустого шараBr(x)существует шар3.46.ПустьBt(y)t>с радиусомG 1 , ••• , G n , ...О, вложенный вBr(x) n G.последовательность открытых всюду-плотных множеств в полном метрическом пространстве (М, р). Доказать,чтомножествоnG00А==nn=1всюду плотно.3.47.ПустьG 1 , ••• ,Gn , ...последовательность всюду плотных-множеств типа G б в полном метрическом пространстве (М, р).
Доказать,чтомножествоnG00А==nn=1-всюду плотное множество типа Gб.3.48.Доказать, что множество всех рациональных чисел наявляется множеством типа3.49.ство наIR3.50.не является множеством типаIRявляетF(j.Доказать, что множество всех иррациональных чисел наF(j,IRF(j.Построить множество наством типа3.53.G б.Доказать, что произвольное счётное множество нане является множеством типа3.52.неДоказать, что произвольное счётное всюду плотное множеся множеством типа3.51.IRG б.IR,которое не является ни множени множеством типа Gб.Построить множества А 1 , ••• , А n , ...
типа Gб наIR,объединение которых не является множеством типа Gб.3.54.Построить множества В 1 , ••• , В n , ... типа РО" нание которых не является множеством типаIR,пересечеF(j.3.55. Построить последовательность {А n } ~= 1 всюду плотных множеств на3.56.IR,пересечение которых пусто.Пусть Апространствене меньше,-всюду плотное множество типа Gб в банаховом(L, 11 ·11),чемгдемощностьL -1-{О}. Доказать, что А имеет мощностьконтинуума.Гл.383.Множества вПусть3.57.АIR nи других метрических nространствахнигде-неплотноемножествопространстве (М, р). Доказать, что множество М\вметрическомА всюду плотнов (М, р).Построить такое множество А в IR, что А и IR \ А3.58.плотные ввсюдуIR.Пусть А3.59.--открытое всюду плотное множество в метрическом пространстве (М, р).
Доказать, что множество МА\нигде не-плотно в (М, р).Пусть А3.60.нигде не плотное множество в метрическом про-странстве (М, р). Доказать, что множество А также нигде не плотнов (М, р).3.61. Пусть А и А1 -множество в метрическом пространстве (М, р)множество всех изолированных точек А. Доказать, что А 1 -множество типаF(j.3.62. Привести при мер множества А с [О; 1], множество изолированных точек которого незамкнуто.3.63.(М, р),что А-3.64.Пусть Ачтотакое множество в метрическом пространстве-любаяеготочкамножество типаПусть Аявляетсяизолированной.Доказать,F(j.множество в метрическом пространстве.
Дока-зать, чтоА==nР,РЕПгдеn3.65.множество всех замкнутыхПустьF -F~ А.замкнутое множество вIRn.Доказать, что существует не более чем счётное множество А с Р, замыкание которогосовпадает с Р.3.66.ПустьF -замкнутое множество в сепарабельном метрическом пространстве (М, р).
Доказать, что существует не более чемсчётное множество А с Р, замыкание которого равно Р.3.67. Пусть В 1 == {х Е loo:Ilxll~ 1}. Доказать, что В 1 \ С-1-е; длялюбого счётного множества С С В 1 •3.68.Пусть(М, р)-сепарабельное метрическое пространство.Доказать, что существует такой счётный набор В== {Cjмножеств в (М, р), что любое открытое множество} ~1открытыхG с М может бытьпредставлено в виде00для некоторой последовательности натуральных чисел{nk}.Гл.3.Множества в3.69. Пусть А -IR nи других метрических nространствах39множество в метрическом пространстве (М, р).Доказать, что АО открыто.3. 70.Пусть Амножество в метрическом пространстве (М, р).-Доказать, что АО есть объединение всех открытых3. 71.Пусть#-с А.открытое множество в метрическом пространствеG -(М,р). Доказать, что3.72.G.3.73.G-о(G)::J G.Построить такое открытое множество G с [О, 1], чтоПусть-о(G)#-замкнутое множество в метрическом пространF -стве (М, р).
Доказать, что ро с р.3.74. Построить замкнутое множество F с [О, 1], для которогоро#- р.аВ3.75.-Пусть Амножество в метрическом пространстве (М, р),-замкнутоечто (АО U В)О==множествовэтомпространстве.(А U В)О.3.76. Построить такие А, В с [0,1], что (АО U В)О3.77.Доказать,Пусть А#-(А U В)О.множество в сепарабельном метрическом про-странстве (М,р), а {GW}WEr2 -открытое покрытие А. Доказать, чтоиз этого покрытия можно выбрать не более чем счётное подпокрытие.3.78.Теорема ГеЙне-Бореля. Пустьное множество в IRn, а {G w }wEr2 -F -замкнутое ограничен-открытое покрытие А.
Доказать,что из этого покрытия можно выбрать конечное подпокрытие.3.79.Построить неограниченное замкнутое множествооткрытое покрытие множествами{G n },FсIRи егоиз которого нельзя выбратьконечное подпокрытие.3.80.Построить множество А с [О, 1] и его открытое покрытиемножествами3.81.из которого нельзя выбрать конечное подпокрытие.{G n },Построить счётное покрытие отрезка [О;1], из которого нельзя выбрать конечное подпокрытие.3.82.Пусть {FW} wEr2' -система ограниченных замкнутых множеств в IRn, и для любых Шl, ... ,Шn выполнено условиеnFnWk#- (25k=l(такая система называется центрированной). Доказать, что3.83.Пусть АДоказать, что-множество в метрическом пространстве (М, р).dist(x, А) == dist(x, А).40Гл.3.IR nМножества ви других метрических nространствах3.84.
Построить множество А с IR и точку ха Е IR 1, для которыхdist(xo, А) < dist(xo, АО).3.85.Пусть АиВмножества-вметрическомпространстве(М, р). Доказать, чтоdist(A, В) == inf dist(x, В).хЕА3.86.Пусть Р1 и Р2 -непустые замкнутые множества в метриdist(F1 ,F2 ) > о. Доказать, чтоG 1 ~ Р1 И G 2 ~ Р2 , которые неческом пространстве (М,р), причёмсуществуютоткрытыепересекаются.3.87.Пусть Р1множестваР2инепустые замкнутые-рическом пространстве (М, р),существуютоткрытыепересекаются.3.88.множестваG1~ Р1n Р2 ==ИG2о, но Р1n Р2 ==Пусть А и Вмет-~ Р2 ,IR,которыенедЛЯ которых0.замкнутые множества в-в0. Доказать, чтоПостроить два замкнутых множества Р1 , Р2 Сdist(F1 , Р2 ) ==3.89.причём Р1множестваи А ограничено.IRnДоказать, что расстояние от А до В достигается.3.90.Пусть Амножество в-Доказать, что А замкнуто тогдаIRn.и только тогда, когда для любой точки у Ерасстояние от у до АIRnдостигается.3.91.Построить пример замкнутого множества А и точки у в пространстве3.92.l2,для которых расстояние от у до А не достигается.Пусть Нгильбертово пространство, х, у Е Н.
Доказать,-что справедливо тождество nараллелограмма:3.93.тое-Пусть Нгильбертово пространство, НОподпространство,Р(Уn, х) -----+dist(x, Но)х Е Нприn -----+\но,аточки-уn Е НОего замкнутаковы,что00. Доказать, что последовательность{Уn} сходится В Н.3.94.Пусть Н-гильбертово пространство, НОподпространство, х Е Н\-его замкнутоеНо. Доказать, что существует единственнаяточка у Е НО, на которой достигается расстояние от х до Но.3.95.Пусть Н-вещественное гильбертово пространство, НОего замкнутое подпространство, х Е Н\достигается на точке Уа.
Доказать, что (Уа3.96.Построитьпримерв банаховом пространстветакого-НО, и расстояние х дО НО-х,z) ==замкнутогоО для всехzЕ Но.подпространстваЕ1L, что для произвольной точки х Е L \Е 1расстояние от х дО Е 1 не достигается.Гл. 3. Множества в3.97.ПостроитьIR nпримерв банаховом пространствеот х доvi3.98.V,ПостроитьviтакогозамкнутогопримерV,V \ viviрасстояниенет.-такого41подпространствачто для одних точек х Едостигается, а для другихв банаховом пространствеот х дои других метрических nространствахзамкнутогоподпространствачто для некоторого х ЕV \ viviрасстояниедостигается на бесконечном множестве точек.3.99. Пусть на ]Rn заданы две нормы: Рl(Х) и Р2(Х).
Доказать, чтосуществует такая постоянная С> О,чтодля любого х Е ]Rn. В частности, понятие сходимости в ]Rn не зависитот выбора нормы.3.100.ПустьL -банахово пространство, Е 1 -подпространство. Доказать, что для любого х Еего конечномерноеL\Е 1 расстояние от хдО Е 1 достигается.3.101.ПустьG -открытое множество в ]Rn, а Рство в ]Rn. Доказать, что сечение3.102 . .ПустьF -nРGмножестваG-подпространоткрыто в Р.замкнутое множество в ]Rn, а Рстранство в ]Rn.
Доказать, что сечениеFnРмножестваF-подпрозамкнутов Р.3.103. Построить неоткрытое множество А в ]R2, сечение котороголюбой прямой l открыто в l.3.104. Построить незамкнутое множество S в ]R2, сечение котороголюбой прямой l замкнуто в l.3.105. Пусть А - множество в сепарабельном банаховом простран-стве (L, 11 . 11,) а А - множество всех точек конденсации А. Доказать,что множество А \ А не более чем счётно.3.106. Пусть А - несчётное множество в сепарабельном банахо/'-..вом пространстве.
Доказать, что множество АnА(см. задачу3.105)непусто.3.107.Пусть Апространстве(L,11-непустое совершенное множество в банаховом. 11), гдене меньшую мощностиL -1-{О}. Доказать, что А имеет мощность,континуума.3.108. Пусть {А n } ~= 1-набор совершенных множеств в метрическом пространстве (М, р). Доказать, что множествоkА==U Аnn=1-также совершенное.Гл.423.109.3.Множества вПустьIR nи других метрических nространствахоткрытое множество вG -Доказать, что егоIR.можно представить в виде00гдеI n ==(а n , Ь n ) приnЕ N.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
