1610912311-3cbc5b34357e1bf98e493aa337af68a6 (824698), страница 11
Текст из файла (страница 11)
задачу 3.94)такой элемент У Е Vi, что Ilx - yll v == dist(x, Vi), но дляz == (t, О), где t Е L \ Е 1 , такого элемента не существует(см. задачу3.96).странство. Тогда если хсуществуетD3.98. Рассмотрим пространство }R2 с нормой(х, У)==== max{lxl, lyl}, подпространство vi == {(O'Y)}YEIR И точку еl == (1,0).Тогда dist(el' Vi) == 1 и достигается на всех точках вида (О, у), гдеlyl ~ 1. D3.99.
Пусть еl, ... , е n - произвольный базис в }Rn. Тогда для любой1111точки х Е }Rn справедливо представлениеnХ==Lxkek·k=1Достаточно доказать наше утверждение в случае, когда первая из норместь стандартная евклидова норма:Имеемс другой стороны, из этого же неравенства вытекает, что норма Р2являетсянепрерывной функциейсуществует такая точка ха Е S 1== Р2(ха) == С2 ·х#- О(относительно Рl)=={х: Рl (х)В силу свойств нормы С2> о.== 1},на }Rn,чтопоэтомуmin Р2 (х) ==XE S lТогда для любого х Е }Rn,имеемР2(Х) = Р2 (Рl(Х) Рl (х)) = Рl (Х)Р2 (Рl(Х)) > С2Рl (х).Взяв С==1тах (С 1 , с ), получим утверждение задачи.2D3.100. Пусть dist(x, Е 1 ) == d.
Тогда существует такая последовательность У = {Yn}~=1 С Е 1 , что Ilx - yll < d + ~ для n Е N. Заметим,что для любого n имеет место оценка Уn ~ х + d + 1, поэтому У 11111111ограниченное множество. Из всякой ограниченной последовательностиГл.3.Множества в IRnи других метрических nространствах61в конечномерном пространстве можно выбрать сходящуюся по стандартной норме подпоследовательность (см.задачу3.20).Пусть этоподпоследовательность {Ynk }~=1 И Ynk -----+ У Е Е 1 • Так как Е 1 конечномерно, то (см. задачу3.99)и по норме пространстваL.У будет пределом этой последовательностиНаконец,Ilx - yll ==limIlx - Ynk 1 == d.Dk-HX)3.101.
Пусть Z Е G n Р. Тогда для некоторого r > О шар Br(z)вложен в G. Заметим, что Br(z) n Р шар радиуса r в G n Рс центром z. Поэтому G n Р открыто в Р.D3.102. Заметим, что G ==}Rn \ F - открытое множество в }Rn и F nn Р == Р \ (G n Р). В силу результата задачи 3.1 О 1 множество G n Роткрыто в Р, поэтомуFnРзамкнуто в Р.D3.103. Пусть А == В 1 ((О, О)) \ В, гдеS =={(l,n ~)}OOnС}R2.n=1Ясно, что множество А неоткрыто, потому что (О, О) Е А не являетсявнутренней точкой. Однако любое непустое сечение имеет вид Аnn l ==В 1 ((О, О))l \ K z , где K z состоит из не более чем из двух точек.Таким образом, сечение Аl открыто.
D==n3.104. Пусть S - множество, определённое в решении задачи 3.103. Тогда S незамкнуто, поскольку (О, О) Е В' \ В, но любое сечениеSnlсодержит не более двух точек и, следовательно, замкнуто.D3.105. Пусть У == {Уn} ~= 1 - счётное всюду плотное множествов L, {rj}~l - множество всех положительных рациональных чисел,и Х Е А \ А.
Тогда существует такой шар BrJ(x)(Yk(X)) == BrJ(Yk),где rj рационально и Yk Е У, что Х Е B rJ (Yk) и А n B rJ (Yk) не болеечем счётно. Так как множество С == {BrJ(x)(Yk(X))}XEA\A являетсяподмножеством счётного множества {B rJ (Yk) }~~~j=l' то С не болеечем счётно. Поэтому множествоА\АСU(BrJ(x)(Yk(X)) ПА)ХЕА\Ане более чем счётно.D3.106. Так как множество А несчётно, а в силу результата задачи 3.105 множество А \ А счётно, то существует точка Х Е А n А. D3.107.
Выберем вначале произвольную точку Х Е А. Так как Асовершенно, то для любого r>О множество АДалее, можно выбрать два шара Вочтобы Воn В 1 ==О,BjСBr(x)и Аn Br(x)== B r1 (Хl) так,n B j бесконечны, j == 0,1. За-== Bro(xo)и В1бесконечно.Гл.62тем дляBj,O==IR nМножества в3.j ==каждогоBrJ,o(xj,o)иПродолжаяj == 1О и для==B j ,lBj,o, B j ,l С B j и B j ,j2и других метрических nространствахnАвыберембесконечно дляследовательностей B j1 ~ B j1 ,j2jk Е {О, 1} для каждого k,j2индукции,:2Вj1 ,j2,jзBj1, ...
,jk-l,Онепустых шарадля которыхBrJ,l (Xj,l),этот процесс подваBj,On B j ,l ==0,Е {О, 1}.построим:2 ...континуумпо-непустых шаров,гдеn B j1 , ... ,jk-l,1 ==0 И Bj1, ... ,jk пАбесконечно.Для каждой последовательностии для каждогоkj == (jl,j2, .. .),гдеjkЕ {0,1},существует точкаn00ЕXjBj1, ... ,jn·n=1Ясно, что Xi#- Xj,еслиi#- j.Так как множество А совершенно (в частности, замкнуто), то Xj Е А. Поэтому А имеет подмножество мощности С, т.
е. А имеет мощность не меньше мощности континуума.Достаточно доказать утверждение для3.108.зультатазадачиА' с А.С другойПусть,3.14 множество Астороны,для определённости,Х Е A~ с (А 1 U А 2 )'== А'.если==А 1 U А2Х Е А,Х Е А1 •k == 2.В силу резамкнуто,то Х Е А 1Поскольку А 1DилипоэтомуХ Е А2 .совершенно,тоD3.109. Рассмотрим следующее отношение эквивалентности на множестве G: Х rv у, если [Х, у] С G. Тогда G является объединением попарно непересекающихся классов эквивалентности.
Так как любой набор попарно непересекающихся интервалов не более чем счётен (в каждом можно выбрать рациональное число), достаточно доказать, чтокаждый класс эквивалентности есть интервал (или луч, или прямая).Рассмотрим множество КИЬ== sup у.один из этих классов. Положим а-Предположим,что а>-00иЬ<+00;в== infхЕКХпротивномуЕКслучае доказательство только упростится. По построению К С [а; Ь].Если с Е (а, Ь), то найдутся такие Х Е (а, с)nКи у Е (с, Ь)n К,что (Х, у) СG, поэтому с Е К. Следовательно, (а, Ь) С К.
Предположим, что а Е К. Тогда, так как G открыто, то для некоторогоd Е (О, Ь - а) интервал (а - d, а + d) содержится в множестве G. Приdэтом, поскольку а Е К, то а- "2Е К, и мы пришли к противоречиюс определением а. Аналогично показывается, что Ь ~ К. Таким образом,К==(а, Ь).3.110.ниченияDПредположим, что такое представление возможно. Без ограобщноститочкиОи1принадлежатР1 U Р2 •Множество[О, 1] \ (Р1 U Р2 ) открыто и непусто, так что в силу результата задачи 3.109 найдётся интервал 12 ,mo==(аl,Ь 1 ) С [0,1] \ (Р1 UF2 ), дляГл.3.Множества вIR nи других метрических nространствахкоторого аl, Ь 1 Е Р1 U Р2 • Тогда для любого63справедливо условиеNNU РnJ 1 ==(al,b 1 )C/-n=з(здесь в правой части стоит замкнутое множество, и если бы оносодержало интервал, то оно содержало бы и отрезок [аl,Ь 1 ], т.е. множества Fk пересекались бы).
Выберем множества Fk 2 и F N2которые пересекаются сJ 1.Тогда в силу результата задачи(k 2 < N 2 ),3.109имеетместо равенство==00n=Зr=1U рn == U IЗ,rJl \и найдётся интервал IЗ,rоN2(а2, Ь 2 )== J 2 , дЛЯкоторого аl< а2 < Ь 2 < Ь 1 .Продолжая этот процесс, получим последовательность интервалов{ J q } с; 1 И возрастающую последовательность чисел {Ni}:o, для которыхN O ==О,N 1 == 2, J qТогда (см. задачусJq - lприq == 2,3, ...и3.38) существует точкаnJ00х Е00ноi,х ~U рn ·n=1i=1Это противоречие доказывает, что разбиение отрезка на непересекающиеся непустые замкнутые множества не существует.3.111.DБез ограничения общности предположим, что О Е Р1 И Р2непусто.
Выберем точку х Е Р2 . Заметим, что отрезок1 ==[О, х], т. е.множество {АХ} лЕ [0,1] представляется в виде001 ==U (Fk n 1).k=1A k == F k n 1 замкнуты для каждого k (см задачу 3.13).Пусть Rk == {t Е [0,1]: tx Е A k }. Тогда Rk - замкнутое множество(на [0,1]), причём Rl И R2 непустые. Поэтому получившееся равенствоМножества00[0,1]==U Rkk=1противоречит задаче3.110.3.112. Если хЕРDn (а; Ь),то х одновременно является или неявляется предельной точкой множеств Р и Рn [а; Ь].Пусть а Е Р.
ТакГл.64как а3.IR nМножества ви других метрических nространствахпредельная точка дЛЯ Р, но в некоторой левой окрестности нет-точек из Р, то найдутся х n Е Р, сходящиеся к а справа. Тогда, начинаяс некоторого номера, они лежат и в РАналогично разбирается случай Ь Е Р.n [а; Ь],т. е. а Е (Рn [а; Ь])'.D3.113. Достаточно доказать утверждение в случае, когда А == {а},т. е. множество А состоит из одной точки. Утверждение тривиально,если а ~ Р.
Пусть а Е Р и00[0,1] \ РU (СУП, JЗn).==n=lРассмотрим сначала случай, когда а не совпадает с О,1ини с каким СУПили JЗn. Так как множество Р нигде не плотно, то существует такаяподпоследовательность интервалов {(ak,bk)}~=lb2m-l <а< а2тпри т ЕNиlim b2m - 1 ==а== limт----+ооПоложимakCk ==+2 bk{(CYnk,J3nk)}~=l' чтодля всеха2т.т----+ооk,и пустьP 1 ==Рn [О, Cl ] ,Р2==Рnn [С2,1], P2k - 1 == Рп [C2k-l,С2k+l] и P2k == Рп [C2k+2,C2k] при k Е N.Тогда все множества Рn совершенны в силу результата задачи 3.112 и00P\{a}==UPn .n=lЕсли, например, а==интервалов {(ak,bk)}~=lО, то существует такая подпоследовательность{(CYnk,J3nk)}~=l' что 0< bk+l < ak для k ЕЕNиlimт----+ооПоложимn [Ck, Ck-l]Ck ==дляak+bk2Ьт==а.для каждого k,P 1 == Рn [Cl,1] и Pk==Рnk == 2,3, ...
Тогда Рn - совершенные множества и00Р \ {О}==U Рn ·n=lв случаях а== 1,3.114. Пусть== СУП или а == JЗn доказательство аналогично. DА == {а == (al' а2, .. .)} - множество всех последоваательностей из нулей и единиц. Для элемента а Е А определим множествоХа== {(Xl' Х2, ... ): X2j-lЕ {О, 1} иX2j == aj для j Е N}.Отобразим Ха на множество точек отрезка [О, 1] с соответствующимидвоичными разложениями. Очевидно, что Ха не имеет изолирован-Гл.3.Множества вIR nи других метрических nространствах65ных точек ни для какого а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
