1610912311-3cbc5b34357e1bf98e493aa337af68a6 (824698), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Определим функцииопри Х ~1l(I(k, n, 1), 0,1, Х)l(I(k,n,2),1,0,x)при Хfk,2n(X) == - fk,2n-l (Х)при00fn(x) ==Ln1+ -),n== rk,при Х Епри Х Еn1(rk - -,rkl(k, n, 1),l(k, n, 2)Е N. Затем определим функцииk10- fk,n(X)k=lдляЕ N. Нетрудно видеть, чтов совокупности, т. е. dp == 0.nfn(x)Докажем, что последовательность F==Е C(IR), и они ограничены{fn(X)}~=l сходится в каждой иррациональной точке.
Для заданного с00>Онайдём такое К, что10- k fk,n(X) ~ 10- К < с.Lk=K+lТак какfk,n(X) ==О для каждого фиксированногоможно найти такоеN,что прикLn>Nfn(x) ==k10- fk,n(X) == о.о.n----+ооПусть теперь Х== rko.Заметим, что00Lk=ko+lприn > no(k),выполнено равенствоk=lПоэтому limk~! 10- ko .10 - k f k,n ()Х"4тоГл.824.Непрерывные функции на метрических nространствахв то же время для достаточно большихдля любогоNn>Nвыпол-нено равенствоko-lLk10- fk,n(X) == о.k=lПоэтому приn >NТаким образом, х Е4.32.получаем, чтоDp.DПусть вначале множество Еу открыто для любого у ЕЕ М и задано сIR,а Ео.
Тогда множество Е О== Е!(а)+Е открыто, и а ЕЕ Е • Поэтому для некоторого r > О шар Вт(а) вложен в Е О, т. е. f(x)полунепрерывна сверху в точке а. Обратно, пусть f(x) полунепрерывнасверху и задано у Е IR. Если t Е Еу , то для некоторого r == r(t) > О шарBr(t) вложен в Еу . Поэтому множество>ОЕуU==Br(t)(t)tEE yоткрыто.4.33.каждогоDБез ограничения общности предположим, чтоt>f(x)~ о. ДляО определим функциюgt(X) == sup (f(z) - tp(x, z)).zEMЯсно, что О ~gt(x)~f(x) - tp(x, х) == f(x).Для любого х, у'zЕ Мв силу неравенства треугольникаf(z) - tp(x, z)~f(z) - tp(x, у) - tp(y, z),откудаgt(X) ~ gt(Y) - tp(x, у).
Меняя ролями х и у' получаем, чтоIgt(X) - gt(y)1 ~ Itlp(x,y) для любых Х,у Е М, откуда следует, чтофункции gt(X) непрерывны на М. Пусть теперь t == n Е N. Рассмотрим{gn (х) } ~= 1 - невозрастающую последовательность непрерывных на Мфункций. Тогда f(x) ~ gn(x) ~ О для любого натурального n и длялюбого х Е М. Поэтому функция h(x) == lim gn(x) определена дляn----+оокаждого х Е М и О ~х Е М и с>Оh(x)найдётся~f(x).такое zn ЕДалее, для любых натуральногоgn(x) < f(zn) -n,М, чтоnр(х,zn) + с.gn(x) ~ f(x) И f(z) ~ о для любого z Е М, то f(x) << -nр(х, Zn) + с. Отсюда следует, что р(х, zn) -----+ о при n -----+ 00 дляТак какГл.каждого фиксированного х Е М. Посколькуf(zn) < f(x) + Еху в точке х, тоgn(x) < f(x) + Еоткуда вытекает, что4.34.83Непрерывные функции на метрических nространствах4.~h(x)-f(t)полунепрерывна свердля достаточно большихnр(х,f(x).n.Поэтомуzn) + Е < f(x) + 2Е,Следовательно,h(x) == f(x).DПусть множество А представлено в виде00А==U Fi ,i=1где Р1 С Р2 С ...
и все1~ при х Еh(x) ==Fi~Fiзамкнуты. Пустьпри х Е Р1 ,F i - 1, где i == 2,3, ... , и h(x) == О при х Е В.\Тогда для любого у Емножество ЕуIRСледовательно (см. задачу 4.32),меняя задачуh(x) == 1(см. задачу4.32)открыто.полунепрерывна сверху.
Приh(x)получаем, что существует невозрастающая после-4.33,довательность непрерывных на М функций {'Фn(Х)}~=I' сходящаяся кдля любого х Е М. Заметим, что 'Ф~(х)h(x)и 'Ф~ (х)miп('Фn(х),1)при n Е N - также непрерывные на М функnции, и невозрастающие последовательности {'Ф~(Х)}~=1 и {'Ф~(Х)}~=1==тах ('Ф~ (х),==1сходятся кh( х).-)1Поэтому можно считать, что - ~ 'Фn (х) ~ 1 для всехn1натуральных n и всех х Е М. Пусть теперь 'Рn(х) = 'Фn(х) для n Е N.1Тогда 'Рn(х) ----+ h(x) приn----+ 00 на А, 'Рn(х) ----+ 00 приn----+ 00 на В,1 ~ СРn(Х) ~ n и, следовательно, О ~ СРn+l (х) - СРn(Х) ~ n для любогонатуральногодля рnи для любого х Е М. Определим теперь функции== 1,2, ...
, 2n - 1{СРn+ Е.. (х)} оо,2n-l2nипоследовательность через1~двойнуюпоследовательностьВ естественном порядке. Обозначим полученнуюn=1,р=1gk+ 1 (х) - gk (х)занумеруем"2последовательность{gk (х)} С:= 1·Тогда 1gl (х)~g2 (х)~... ,для любого натурального k и для любого х Е М,{gk(x)}C:=1сходится к некоторому натуральномучислу в каждой точке х Е А и расходится к 00 в каждой точке х Е В.Наконец, пустьkfk (х) == sin (7Гgk (х))приkЕ N. Тогдаfk (х)-----+ о при-----+ 00 для каждого х Е А. Если х Е В, то для любого натуральногосуществует такое k== k(l),чтоgk(X)Е [l13+ 4'l + 4].что бесконечно много членов последовательностиlОтсюда следует,{fk(x)}C:=1больше84Гл.Непрерывные функции на метрических nространствах4.чем ~ и бесконечно много членов последовательности {fk(X)}~=lменьше чем4.35.1V2'-Поэтому последовательность расходится на В.DПусть множество А представлено в виде00где всеSi -задачимножества типа4.34) определим дляF(j, и T i == М \ Si.
Тогда (см. решениекаждого натурального i такую последо-вательность непрерывных функций {An(X)}~=l' что IAnl :(+ наМдля всех n, !i,n(X) -----+ О при n -----+ 00 для Х Е Si, И {!i,n(X)}~=l расходится на T i . Занумеруем двойную последовательность {!i,n(X)}rп=lВ некотором порядке и обозначим полученную последовательность через {gk(X)}~=l. Заметим, что если Х Е А, то для любого Епри конечном числе значенийkвыполнено условие>ОIgk(x)1 > Е,толькопоэтомупоследовательность сходится к О в точке Х.
С другой стороны, еслиХо Е В,то Х ЕT ioдлянекоторогоi o.Поэтому последовательность{!io,n(X)}~=l расходится в точке Хо, т. е. {gk(X)}~=l тоже расходитсяв точке Хо.D4.36. Докажем, что никакая последовательность {gn(X)}~=l непрерывных на [О, 1] функций не может сходиться всюду на [О, 1] к функцииДирихлеD(x)(см. решение задачи 4.24).
Заметим, что если такаясходимость имеет место,Q[O;l] ={Х Е[0,1]: D(x)то>~} с li;'n---.:'~P{X Ес {х Е[0,1]: gn(x)[0,1]: D(x)>~} с~~}= Q[O;l]'Поэтому1n u {х Е [0,1]: gn(x) > "2}'00Q[O;l]==00т=1 n=ти так как gn(x) Е С([О, 1]), то множества {х Еоткрытые, а тогда Q[O;l] имеет типзадачи3.48.DGfy.[0,1]: gn(x)> ~} -Это противоречит результатуГлава5СИСТЕМЫ МНОЖЕСТВСистемамножествSназываетсяПОЛУКОЛЬЦОМ,есливыполненыследующие условия:1)е; Е В;2)3)если А и В из В, то Аесли А и А 1 изSnВЕ В;И А 1 С А, то существует такой конечный набормножеств А 2 , ...
,А n из В, что А 1U А 2 U ... u А n==А.Множество Х называется единицей системы множеств В, еслиХ ЕSи для любого множества А Евыполнено условие А с х.SЕсли в полукольце имеется единица, то оно называется ПОЛУКОЛЬЦОМс единицей.Непустая система множествбых А,В ЕRRназывается КОЛЬЦОМ, если для лювыполнены условияALBЕRи АпВ ЕR.Кольцос единицей называется алгеброй.Система множествRназывается (J-КОЛЬЦОМ (д-кольцом), есликольцо и для любых множеств {Ai}~l из00==U AinARR -выполнено условие А==00ЕR (соответственно, А ==i ЕR); (J-КОЛЬЦО С единицейi=li=lназывается (J-алгеброй, а д-кольцо с единицей называется д-алгеброй.Записьlа, Ьlбудет означать, что мы рассматриваем один из четырёхпромежутков: [а, Ь], [а, Ь), (а, Ь] или (а, Ь).ЗАДАЧИ5.1.Доказать, что система всех подмножеств произвольного фиксированного множества является (J-алгеброЙ.5.2.Доказать, что система В всех конечных подмножеств заданного множества А является кольцом.5.3.Найти в задаче5.2условие на множество А, необходимоеи достаточное для того, чтобы кольцо В являлось алгеброй.5.4.Пусть А-бесконечное множество, а В-система всех не более чем счётных подмножеств А.
Доказать, что В является (J-КОЛЬЦОМ.5.5.Найти в задаче5.4условие на А, необходимое и достаточноедля того, чтобы В являлось (J-алгеброЙ.Гл.86Пусть А5.6.5.Системы множествмножество, В-С С А, что либо С, либо А\система всех таких множеств-с не более чем счётно. Доказать, что Вявляется а-алгеброй.Пусть А5.7.множество, В-С С А, что либо С, либо А\система всех таких множеств-с конечно. Доказать, что В являетсяалгеброй.Пусть а и Ь фиксированы. Доказать, что система всех полуин5.8.тервалов {[а,JЗ) с [а,Ь)}, включая пустой полуинтервал [а;а), являетсяполукольцом с единицей Х5.9.валов[а, Ь).Доказать, что система всех интервалов, отрезков и полуинтер{la,;Jl5.10.дачах==с [а,Ь]} образует полукольцо с единицей [а,Ь].Доказать, что системы вIRn,аналогичные определённым в за5.8 и 5.9, гдетакже являются полукольцами с соответствующими единицами.Доказать, что система всех интервалов5.11.(включаяпустой)и система всех отрезков (с добавлением пустого множества) вявляются5.12.IR неполукольцами.Доказать, что система всех открытых множеств вIRне является полукольцом.5.13.
Пусть R - полукольцо (кольцо), А Е R. Доказать, что система Rl == {А n В: В Е R} - полукольцо (алгебра) с единицей А (этусистему мы будем обозначать через R пА).5.14. Доказать, что если R - кольцо, множества А и В из R, тоАuВЕ5.15.Rи АВ Е\Доказать,R.чтоеслиR -кольцо,тооноявляетсяполукольцом.5.16.Построить систему множеств, которая замкнута относительnно операций5.17.Пустьусловие А5.18.иuВU,но не является даже полукольцом.полукольцо и для любых А и В изS -Е В.
Доказать, чтоПустьS -S -Sвыполненокольцо.полукольцо, множества А, А 1 , А 2 , ... , А n из В;множества А 1, А 2 ,... , А nиз В, дЛЯ которых А==вложены в А и А 1, А 2 , ... ,А nпопарноне пересекаются. Доказать, что существуют множества А n + 1 , ••• , А тmU Ai ·i=l5.19.ПустьS -полукольцо и А 1 , А 2 , ...
,А n -множества из В.Доказать, что существуют такие попарно непересекающиеся множества В 1 , В 2 , ...торых изBj.,Bkиз В, что каждоеAiявляется объединением некоГл.5.20.ПустьСистемы множествза умножение,тов алгебраическом смысле с ОR5.21.Пусть{ОAi : Ai=Rбудет коммутативнымLзакольцом0.полукольцо.SЕ87кольцо. Доказать, что если мы возьмёмR -nсложение и5.S, i = 1,2, ... ,Доказать,чтосистемачтосистемаn} является кольцом.~=15.22.R1=Пусть{U Ai :SЕAiДоказать,полукольцо.S,1,2, ... ,tn}совпадаетсR,кольцомi=lопределённым в задаче5.23.5.21.Доказать, что пересечение произвольной непустой системыколец является кольцом (возможно, кольцом5.24.Доказать, что пересечение произвольной непустой системыа-колец является5.25.{0})а-кольцом.Доказать,чтопересечениепроизвольнойсистемыалгебрс одной и той же единицей является алгеброй.5.26.Привестипример двух а-алгебр,пересечениекоторыхнеявляется алгеброй.- система множеств.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
