1610912311-3cbc5b34357e1bf98e493aa337af68a6 (824698), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Возьмём точку а == f(za)Е А, что Р(ха, za) < д. Тогда If(xa) - al < с.4.18.Предположим, чтоfЕЕf(K)<д,и найдём такоеDразрывна в точке х. Пусть для определённости х Е (а, Ь). В силу результата задачи 2.4 существуют не76Гл.Непрерывные функции на метрических nространствах4.совпадающие пределыf(x+) и f(x-). С учётом монотонности функцииозначает, что f(t) ~ f(x-) при t Е [а, х) и f(t) > f(x+) при(х, Ь]. Тогда f([a, Ь]) n (f(x-), f(x+)) С {f(x)}, что противоречитэтоtЕf.условию плотности образав4.19.
Пусть А == РОзадаче 2.22.канторово множество на [О, 1], построенное-Построим функцию ср(х), которую мы будем называть функциейКантора. Мы будем использовать введённые в задачеОпределим2.22вначале вспомогательную функцию ср(х)стве Е всех граничных точек отрезковJ1:,сn==О,и1, ...J1:.отрезкина1~множеk2n .~Проведём построение по индукции. На нулевом шаге определим функ-J? == [0,1].цию ср(х) на концевых точкахПусть после (Тмножествеи1~k~Er n2-Пусть ср(О)==О и ср(l)== 1.l)-го шага, где Т ~ 1, функция ср(х) определена на1 граничных точек отрезковJ1:==при nО,1, ... , Т-1и монотонна на этом множестве. Тогда на т-м шагеопределим функцию ср( х) на концевых точках отрезковJ[, ...
, J 2T ,Точнее, если J~-l == [а, Ь], J 2k - 1 == [а, с]которые не входят в E r - 1•и J 2k == [d, Ь] с а < с < d < Ь, то положим<р (с)<р (d)=~ (<р (а) + <р (ь )).=Заметим, что функция ср(х) монотонно не убывает наEr .По индукцииполучим функцию ср(х), монотонную на Е. По построению множество<р(Е) содержит все точки вида 2~' где n=О,1, ...и1~k~2n .Определим теперь функциюср(х)==ср(у).sup{УЕЕ:у:::;;х}По определению функция ср( х) не убывает намонотонна на Е, то ср(х)==[О, 1].
Так как ср( х)ср(х) для хЕЕ. Следовательно, множествозначений функции ср(х) плотно на отрезке [0,1]. Так как ср(х) монотонна, то в силу результата задачи 4.18 ср(х) Е С([О,1]).Возвращаясь к нашей задаче, заметим, что РО нигде не плотно, ноf (Ро ) ==[О,4.20.такие с,1].DРассмотрим интервал (а,dЕ[а, Ь], что а== f(c)и(3)С(3 == f(d).[а, Ь], то существует такой интервал (и,Тогда(f(u), f(v))С (а,(3)иТогда существуют[f(a), f(b)].Так как А нигде не плотно наv)С (с,d),(f(u), f(v)) n f(A) ==что (и,0.Dv)n А ==0.Гл.4.21.чу77Непрерывные функции на метрических nространствах4.Множествооткрыто на IR, поэтому (см. задаG == IR \ F3.109) его можно представить в виде00U (а n , ь n ).G ==n=1Пусть(а n , ь n ) приI n ==Е N.
Положимnстве G определим функциюследующим образом. Если n таково,h(x)что величины а n и Ь N обе конечны, то пустьпри х ЕЬ n1I n . Если а nо ==00, то положим==Функцияh(x)на Р. На множеh(x) == f(x)-00, то положимh(x) == f(a n1 )наh(x) == l(In , f(a n ), f(b n ), х)h(x) == f(b no ) на I no . ЕслиI n1 .непрерывна всюду на G как линейная на каждом интервале (а n , ь n ). Пусть У Е Р, а последовательность У == {Yn}~=1 такова, что уn -----+ У при n -----+ 00.
Предположим, что f(yn) f+ h(y) при n -----+ 00.Тогда для некоторых ЕIh(Zk) - h(y)1 >имеем>ОИ подпоследовательности ZЕ при всехчисло членов последовательностификсированномуtmСледовательно, только конечноепринадлежитF{Jm == Inrп }:=1и такие точкиh(y) I >-----+ У при m -----+ 00, но I h( t m ) -t m ==h(x)Ih(t m )h(y)1 ==-линейна на каждом== Ih(t m )f(y)1-4.22.I n , то для любого m выполнено~ шах (If(a nrп )- f(y)l,If(b nrп )- f(y)l)h(x)Докажемвначале,непрерывчто существует всюду плотное счётноеет только конечные наборы точекi-----+ оDподмножество в Р. Заметим, что для любого натуральногоприJ m , чтопри m -----+ 00.f(y)при m -----+ 00. Полученное противоречие доказывает, чтона на Р.Zk rп ЕЕ при всех т.
С другой стороны, a nrп , Ь nrп -----+ У при m -----+ 00 и f(a nrп ), f(b nrп ) -----+Так какили некоторомуПоэтому существуют подпоследовательность раз-In .личных интерваловk.Z== {Zk == Yn k}C;:=1#- т,{Yj}Е Р, дЛЯ которыхkсуществу-p(Yi, Ут)~1kиначе мы придём к противоречию с определением компакта.Обозначим черезYkнекоторую максимальную систему таких точек,00и пусть Х=={Xn}~=1==U Yk·Тогда множество Х счётно и всюдуk=1плотно В Р.ДЛЯ каждого У Е М определим функциютак какf(x)ограничена наFr(y) == dist(y, Р).Тогда,(см. задачу 4.10), то мы можем опреде-78Гл.4.Непрерывные функции на метрических nространствахлить Функциюпри х Е Р,J(x)h(x) ==L2- n f(x n )n:х п Ев 2т (х) (Х)Lпри х ~ Р.2- nn:х п Ев 2т (х)(х)По построениюh(x) == J(x) на Р. Докажем, что h(x) непрерывна на М.Пусть вначале У Е G == М \ Р. Положим Е(у) == {n: х n Е B 2r (y)(Y)}.Если для некоторой последовательности Yk -----+ У при k -----+ 00, то безограничения общности можно считать, что все Yk принадлежат открытому множеству G.
Если по Е Е(х), то по Е E(Yk) при достаточнобольшихk,и наоборот. При-----+ 00 получаем, чтоkL2- nL-----+2- nnЕЕ(х)nEE(Yk)иnЕЕ(х)Поэтомуh(x)непрерывна на G.Пусть теперь У Е Р,Yk-----+ У приk -----+00. Так какна Р, достаточно рассмотреть случай, когдачаем,YkЕGJ(x)непрерывнадля всехk.Получто~IJ(y) - J(xn)l,supnEE(Yk)но для каждого n Еприk -----+выполненоE(Yk)00. Следовательно, в силу непрерывностии выписанной выше оценкицияh(x)h(Yk)-----+h(y)приkJна множествеF-----+ 00, и потому Функнепрерывна на Р.Заметим, что предложенный метод позволяет продолжить любуюнепрерывную ограниченную Функцию с замкнутого множества в сепарабельном банаховом пространстве на всё пространство.4.23.Пусть У ЕF ==Р1 U Р2 • Предположим, чтов точке У. Тогда существуют Е>ОDJ(x)разрывнаИ последовательность {Yn}~=1 СFГл.4.79Непрерывные функции на метрических nространствахтакие, что Yk -----+ У при k -----+ 00, но If(Yk) - f(y) I > Е для всех k.
Ясно,что это невозможно при У Е Р1Р2 • Если же, например, У Е Р1 \ Р2 , тоnYkЕ Р1при~kko всилу замкнутости Р2 , и функция разрывна на Р1вопреки условию задачи. ПоэтомуПусть А 14.24.чисел из [0,1], а==Q[O;l], А 2 -непрерывна на Р.Dмножество всех иррациональныхт. е.f(x) == D(x),(функция Дирихле).f(x)f(x) == 1на Q[O;l] иf(x) ==О на А 2D4.25. Пусть T N == [-N, N]n и F N == F n T N дЛЯ N Е N. Тогдакаждое F N компакт в T N .
Используя задачу 4.22, построим такуюфункцию h 1(x) Е С(Т1 ), что h 1(x) == f(x) на Р1 . Заметим (см. задачу4.23), что функциянепрерывна на Т1функцииh 2 (х)U Р2 •Поэтому её можно продолжить до непрерывнойна Т2 . Функцияпри х Е Fз ,при х Е Т2непрерывна на Т2 U Fз и т. Д. Наконец, пустьh(x) == hN(x)наT N . Тогдаh(x) Е C(IRn) и h(x) == f(x) на Р. D4.26. ПустьGk,n == {х Е М: Ifk(X)1 > n}дляk, n~1.Заметим, что все множества==открыты. Так какn n U Gk,n,00dpGk,n0000n=1 т=1 k=mто множество4.27.имеет типdpGfy.DПустьfn (х) == n! sin (7Гn!х)при n ЕN.Тогдаfn(x)ЕC(IR)дЛЯ каждого n, и последовательностьF == {fn(x)}~=l сходится (к нулю) в каждой рациональной точке.Докажем, что она неограниченно расходится в каждой иррациональнойточке.Пусть х иррационально.
Тогда для каждого== lk K + tk,гдеобозначимs(N)lk =целое и О1г< Itkl < "2.min{s > N:k~1 имеем nk!xДля любого заданногоN~==2Itsl > s(s~ 1)}' Заметим, что если для80Гл.4.некоторого sНепрерывные функции на метрических nространствах>NIt s +ll ==8(N)8(8+ 1)' то1г1l)lts l ~ --; < 2·(8+Itsl <Следовательно, невозможно, чтобыПоэтому конечное число1Itsl:(выполнено неравенство8(81+ 1)для всех sсуществует для каждогоN.> N.Наконец,If s (N) ( Х ) I == 8 ( N) !Isin (7г l s (N) + t s (N) ) I ~11~ s(N)! .
28(N)(8(N) + 1) ~ "6 (s(N) - 2)!приN -----+D00.При мер тот же, что и в задаче4.28.4.29.----+ 004.27.DПусть множество А имеет вид00n=1где всеG1~GnG2открыты. Без ограничения общности будем считать, что~ ... Вначале построим для каждогоn следующую последовательность функций на М. Пустьесли Х ~Gn ,если О < dist(x, М \ сп) :( ~,-иначе.Очевидно, что функциииf n,k (Х)-----+fn,k(X) непрерывны на М при всех n и k,1 на G n при k -----+ 00.
Рассмотрим функции {fr (Х) }, гдеrfr(x) ==Lfn,r(x)n=1для r Е N. Тогда каждая функциянепрерывна на М. Заметим,что если Х ~ А, то существуетчто Х ~fr(x)такое N,Gnпри n> N.ПриэтомIfr(x)1 ~ N для любого r, поэтому Х ~ d p .Если Х Е А, то Х Е G n для любого n. Зафиксируем некотороенатуральное М. Так как f n,r (Х) -----+ 1 при r -----+ 00 для каждого n, тосуществует такоевенства fl,r(X)R,что для любого r11> 2' ... , fM,r(X) > 2·>шах(R,Отсюда следует, что при таких rвыполнены неравенстваfr(x) ~мLn=1поэтому Х Еdp.DМ) выполнены нера-Мfn,r(x) > 2'Гл.4.81Непрерывные функции на метрических nространствах14.30. Пусть Ek,Z,n == {Х Е М: Ifk(X) - fz(x)1 ~ n} при k,l,n ~ 1.Заметим, что все множестваКошиEk,Z,nnU n Ek,Z,n,n=l m=l00Ср==замкнуты.
Далее, в силу критерия00k,Z~mоткуда следует, что Ср -множество типа Ра-Ь.D4.31. Пусть Q == {rk}C;:=l. Сначала для каждого k построим по-следовательность функций {fk,n(X)}~=l' Пусть I(k,n,I(k, n, 2) == (rk, rkfk,2n-l(Х)и функции1+ -)n==приn1) = (rk -~,rk),~ 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
