1610912311-3cbc5b34357e1bf98e493aa337af68a6 (824698), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Докажем, что Ха замкнуто. Рассмотримфундаментальную последовательность Z == {z(l)}r:l с Ха. Пусть длянекоторого нечётного r при каждом N существуют такие jl > Nи j2-1- Z(j2)r· Тогда, поскольку Z(jl)r+l == Z(j2)r+l'то Iz(jl) - Z(j2) I ~ 2- r - 2 . 2- r - 2 == 2- r - 1, что противоречит предпо> N,что Z(jl)rложению о фундаментальностиz.Поэтому для любого нечётногоrN, что при всех jl > N и j2 > N выполнено равенство Z(jl)r == Z(j2)r. Обозначая это значение через Zr, получаем,что, z(l) -----+ Z == (ZI, а, Z2, а, ... ) Е Ха при l -----+ 00. Таким образом, мысуществует такоедоказали, что Ха совершенно. Заметим также, что Ха нигде не плотно.Д еиствительно,uИ k==любuои интервал вида(2k +aj 2k + aj2·'2·2J2J+ 1) ,гдеJ.~TЕ 1~о, 1, ... , 22j - 1, не пересекается с Ха.
Заметим далее, чтоu Ха,[0,1] ==аЕАпричём А имеет мощность континуума. Так как множества Ха, рассматриваемые как множествапоследовательностейнулейипопарно не пересекаются, то на отрезке в множество Ха (l)могутпопастьлишьдвоично-рациональныеточки.Приединиц,n Ха (2)этомсамипоследовательности а( 1) и а(2) должны иметь в периоде О или 1. Обозначим множество последовательностей а, не имеющих таких периодов,через А 1 , и пусть А 2==А\А1 •Рассмотрим более подробно, сколько точек может быть в множествеХа (l)Пустьn Ха (2).а(2), но Ха (l) n Ха (2) -1- 0.Можно считать, что а( 1) j == 1Предположим, что а(l)j == min {i: а( l)i -1- a(2)i}.-1-a(2)j == о.
Для некоторых последовательностей (Уl, У2, ... ) Е Ха (l)И (ZI,Z2, ... ) Е Ха (2) имееми00Lуn 2 -(2n-l)00+ 2- 2j + Ln=1a(1)r 2 - 2r ==r=j+l00==L00zn 2 -(2n-l)n=1+ La(2)r 2 - 2r .(i)r=j+lЯсно, что если (Уl, У2,... ) == (ZI, Z2, ... ), то равенство (i) не выполняется.Пусть i == min{k: Yk -1- Zk}. в силу (i) возможен лишь случай Yi == ОИ Zi == 1.Тогда из (i) получаем, что2- 2j00+ L(Уn - zn)2-(2n-l)n=i+l3п. л. Ульянов и др.== 2- 2i - 1 +00Lr=j+l(a(2)r - a(1)r)2- 2r . (ii)Гл.663.Множества вЗаметим, что еслиIR nи других метрических nространствах<j -1, то правая часть (ii) больше, чем левая,а если i > j, то левая часть (ii) больше, чем правая. Если i == j - 1, тоиз (ii) следует, что а( l)r == 1, a(2)r == О для всех r > j, Уn == 1 и zn == Одля всех n > i.
Если i == j, то a(l)r == о, a(2)r == 1 для всех r > j,Уn == О И zn == 1 при всех n > i. Таким образом, при фиксированныха( 1) и а(2) из А 2 множество Ха (l) n Ха (2) состоит не более чем изiодной точки.Множество А 2 счётно. Занумеруем его элементы: А 2В силу предыдущих рассуждений для любогоF r == Xa(r)a(r)== {a(r)} ~1.Е А 2 множествоn U Xa(k)k<rсостоит не более чем иззадачиr - 1 точек. Тогда согласно утверждению3.113 существует представление00Xa(r) \ F r ==U Pr,Z,[=1где всеPr,Z -совершенные множества.Окончательно получаем, чтоD3.115.Предположим, что00м==U Аn ,n=1где все множества А n нигде не плотны в пространстве (М, р). Найдёмrl < 1 и B r1 (Хl) n А 1 == 0.Выберем такой непустой замкнутый шар B r2 (X2) с B r ! (Хl)' что Г2 < ~такой непустой замкнутый шариB r2 (X2)n А 2 ==B r1 (Хl)'что0.
Продолжая этот процесс по индукции, получимтакую последовательность замкнутых шаровчто r n -----+ О при n -----+ 00 ирезультата задачиB rn (Х n )n А n ==B r1 (Хl) ~ B r2 (X2) ~ ... ,0для всех n. В силу3.30 существует точкаnB00Х Еn=100rn (Х n ),ноХ ~U Аn ·n=1Полученное противоречие доказывает, что М не представимо в видесчётного объединения нигде не плотных множеств.DГл.IR nМножества в3.и других метрических nространствах673.116. Обозначим через F множество всех функций из С([О, 1]),которые имеют конечную производную хотя бы в одной точке из [О, 1](если х == О или х == 1, то имеется в виду односторонняя производная).Пусть такжеРт== {f(x)Е С([О,1]) :х Е=:3гдеmЕN.[0,1] : If(x) - f(y)1 ~ mlx - ylV У Е [О, 1]},Ясно, что00U Рт ·F ст=lДокажем, что каждое множество Рт нигде не плотно в С([О,Для данногоПусть gn (~)отрезкеn~=1определим вначале непрерывную функцию(_I)k при kk - 1 k][-n-' n1]).gn(x).дляО,=1, ...
,nk == 1,2, ... , n.и gn(x) линейна на каждомВидно, чтоЕ С([О,gn(x)1]).f(x) Е С([О, 1]) и число r > о.шар Bt(ep) с Br(f), для которогоРассмотрим произвольную функциюНам нужно доказать, что существуетBt(ep) n Рт ==0. Так каксуществует такое дf(x)равномерно непрерывна на[0,1],zl <>О, что для любых У, z Е [О, 1] при Iy r1выполнено неравенство If (У) - f (z) I < -5· Выберем по так, чтобы -поиrno >10т.ПустьB t (ер)с+ ф(х),rи ер(х)t == 10Br(f)·Пустьгде IIФ(х)ll сУ Е[0,1], чтоем,чтоr== f(x) + "2 gno(x).Еh(x)<B t (ер).ТогдаПосколькупоиIgno(x) - gno(y)1rr~ Рт .
Таким образом,категорию в С([О,1]).1, тоrrIx - yl < -1нигде не плотно в С([О,<д10. Для любого х Е [0,1] существует такоеr10 -> "2 - "5 h(x)IlgnollC ==дh(x) == f(x) + "2 gno (х) +~1. Для этого У получаIh (х) - h (у) I ~ "2r Igno (х) - gno (у ) I - If (х) - f (у ) I -поэтомуто1]).r10==( I-IФ х )r10Bt(ep) n Рт ==ством 1-й категории (см. задачу3.115).1])I>m> по > mlx - yl,0Следовательно, множествоНо всё множество С([О,IФ (у)и потому РтF имеет первуюне является множеТаким образом, С([О,1]) \ F -множество второй категории.Так как (см.
задачукатегории, тоF -3.115)С([О,1])не является множеством 1-ймножество 2-й категории в С([О,1]),существует нигде не дифференцируемая функция из С([О,3*в частности,1]).DГлава4НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИНА МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХПусть (М, Р)в М и функцияметрическое пространство, множество А лежит-отображает А на IR. Функцияf(x)f(x)непрерывной в точке У, если У Е А и для любого стакоеr> О,что для любой точки х ЕIf(x) - f(y)1 <с. Еслиf(x)Br(y)>называетсяО существуетn А выполненонеравенствонепрерывна в каждой точке множестваВ С А, то она называется непрерывной на В. ДЛЯ краткости будемобозначать метрическое пространство через М вместо (М, Р), а нормированное пространство - через L вместоДля данной конечной функции f(x)(L, 11·11).на метрическом пространстве М обозначим через А ! множество всех точек её непрерывности.Еслирезl(l;1 == (а, Ь), а с, d -с,d, х)некоторые вещественные числа, то чебудем обозначать линейное отображение отрезка [а, Ь]на отрезок [min{c,l(l·c, , d, х) ==Пусть Fс+d}, mах{с, d}],- a)(d - с)переводящее а в с и Ь вd,т.е.(Х--- - .ьа== {!n (х) } ~= 1 -последовательность непрерывных функцийна полном метрическом пространстве М.
Определим следующие множества:ер=={х Е М:существует конечныйlimf n (х) }n----+ооназывается множеством сходимости последовательности Р,D р == {х Е М: не существует конечногоlimf n (х) }n----+ооназывается множеством расходимости Р, аd p =={х Е М:существует{nk}-----+ 00:lim fnk(X) == ±оо}k----+ooназывается множеством неограниченной расходимости Р.Множество К в полном метрическом пространстве М называетсякомnактом, если для любой последовательности {Xn}~=1 точек из Ксуществует подпоследовательностьточке хЕК.{x nk } С:= l'сходящаяся к некоторойГл.4.69Непрерывные функции на метрических nространствахКолебанием Функцииш(х)fв точке х называется величина== lim sup {lf(Y) - f(z)l:У,n----+ооСкажем, чтодля любого ЕЕ В 1/n (х)}.полунепрерывна сверху в точке а Е М, еслиf(x)>zО существует такоевыполнено неравенствоr >f (х) - f (а) < Е.О, что для любого х ЕBr(a)Если функция полунепрерывнасверху в каждой точке а Е М, то она называется полунепрерывнойсверху.ЗАДАЧИ4.1.
Пустьf (х) -конечная функция на полном метрическомпространстве М. Доказать, что хо Е А ! тогда и только тогда, ко-гда ш(хо)==О.Пусть4.2.конечная функция на метрическом пространf(x) -стве М. Доказать, что А !Пусть Q[O;l] -4.3.множество типа Gб.-множество всех рациональных чисел на [О, 1].Построить конечную функциювию А !== [0,1] \4.4.Пусть Аf(x)на [0,1], удовлетворяющую услоQ[O;l].произвольное множество типа Gб в полном сепа-рабельном нормированном пространствефункцию4.5.f(x)Пустьначто А !L,f (х) -пространстве М, а==L.Построить такую конечнуюА.непрерывная функция на полном метрическомN j =={х Е М:f(x) ==О}. Доказать, чтоNj-замкнутое множество.4.6.Пустьзамкнутое множество в полном метрическом проF -странстве М. Построить такую непрерывную функцию(см.
задачу4.7.4.5) NjПустьf (х)==-f(x)на М, чтоР.непрерывная функция на полном метрическомпространстве М. Доказать, что для любого с Е IR множество=={х Е М:f(x) >с} открыто, а множествоFc(f) =={х Е М:Gc(f) ==f(x) ~ с}замкнуто.4.8.Пустьf (х) -такая конечная функция на полном метрическомпространстве М, что для любого с Е IR множества Ас~ с} и=={х Е М:f (х)~D c == {х Е М: f(x) ~ с} замкнуты. Доказать, что f(x) -непрерывная функция на М.4.9.Построить на [0,1] такую разрывную функциюлюбого с Е IR множества {х Е М:f(x)~ с} и {х Е М:f(x), что дляf(x) == с} замкнуты.4.10.Пусть Ка функцияf(x)-компакт в полном метрическом пространстве М,непрерывна на К.
Доказать, чтоf(x)ограничена на К.70Гл.Непрерывные функции на метрических nространствах4.Пусть К4.11.а функция-компакт в полном метрическом пространстве М,непрерывна на К. Доказать, что существует точкаf(x)ха Е К, в которой достигается точная верхняя грань функции, т. е.f(xa) == maxf(x).хЕК4.12.Теорема Кантора. Пусть Кском пространстве М, а функцияf(x)непрерывна на К. Доказать, чтоf(x)равномерно непрерывна на К, т. е. для любого стакое д> О, что если Х,у Е К и р(х, у)4.13.ниченной на4.14.стве М, аFLтоО существуетIf(x) - f(y)1 < с.и непрерывной функцииf (х)Fна Р, неограи не равномерно непрерывной на Р.Пусть Аf(x) --компактное множество в метрическом пространнепрерывная функция из М в метрическое пространДоказать, что множествоN.< д,>Построить при мер ограниченного замкнутого множествав банаховом пространствествокомпакт в полном метриче-f(A)компактно вN.4.15.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
