1610912311-3cbc5b34357e1bf98e493aa337af68a6 (824698), страница 61
Текст из файла (страница 61)
задачувыберем такое д>j(x) Е R<p([a, Ь]). По критериюR([a, Ь]). ДЛЯ заданного Е > О11.3) j(x)ep'(x) ЕО, что если Т - разбиение отрезка [а, Ь] с отмеченными точками, удовлетворяющее условию л(Т)< д,тоьf Лх) d<p(X)вти; <р) -<~аьиВи<Р'; Т) -f Лх)<р'(х) dx<~.аПусть теперь W == {а == Ха < Xl < ... < Xn-l < Х n == Ь} - некотороеразбиение отрезка [а, Ь] с л(W) < д. Тогда по теореме Лагранжаep(Xk) - ep(Xk-l) == ep'(Yk)(Xk - Xk-l)приk == 1,2, ... , n,гдеYkЕ(Xk-l, Xk).
Обозначим через Т разбиение W~k == Yk при k == 1,2, ... , n. Тогда ST(j; ер) ==с отмеченными точками== S(jep'; Т), откуда следует, чтоььf Лх) d<p(x) - f f(x)<p'(x) dxаПоскольку Ено.>аО произвольно, утверждение задачи тем самым доказаD16.46.Е>< Е.Существование обоих интегралов очевидно. Для заданногоО выберем такое д>О, что если х, У Е [а, Ь] иIx - yl <д, тоГл.If(x) - f(y)1 <16.Интеграл Рuмана-СтuлтьесаЕ, и если Т411разбиение отрезка [а, Ь] с отмеченными-точками {~k}~=l' удовлетворяющее условию л(Т)< д,тоЬJЛХ) dep(x)вти; ер) -< Е.аТогда для такого разбиения Т получаем, чтоJ f(x)ep'(x) dfJвти; ер) -~(а,Ь)nL~f(~k)(ep(Xk)J- ep(Xk-l)) -k=lnJL=k=lЛХ )ер' (х) dfJи(х) - f(~k))ep'(X) dfJ ~ Е(Xk-l,Хk)J lep'(x)1 dfJ·(а,Ь)Следовательно,ЬJf(x) dep(x) - J Лх)ер'(х) dfJагде С==16.47.Е>(а,Ь)С(ер). Поскольку Есамым доказано.>О произвольно, то утверждение темDСуществование обоих интегралов очевидно.
Для заданногоО выберем такое ди м(А)< СЕ,< д,то>О, что если множество А с [а, Ь] измеримоJlep'(x)1 dfJ < Е,Аи если Т -разбиение отрезка [а, Ь] с отмеченными точками {~k}~=l'удовлетворяющее условию л(Т)< д,тоЬвти; ер) -JЛХ) dep(x)< Е.аТогда для такого разбиения Т получаем, чтоJ f(x)ep'(x) dfJвти; ер) -~(а,Ь)~nJL sup If(x) - f(~k)1lep'(x)1 dfJ ~k=l XE(Xk-l,Хk)( )Xk-l,Хklep' (Х) I dM . V;(f) < EV;(f).Гл.41216.Интеграл Рuмана-СтuлтьесаСледовательно,Ьf f(x) d<p(X) - fагде С== C(f).доказано.лх )<р' (х) dfJ < СЕ,(а,Ь)>ОПоскольку Епроизвольно, то утверждение тем самымD16.48.Имеемn/2nf sinxd<p(x) f sinxdx -; sin;=оnf sinxdx+ (2 - ;) siп7Г +о=n/2nf sin х dx -=оD16.49.Имеемо1nf (х + 2)( -е ) dx + 4 + f(х + 2)еХ(-7Г + 2)( -е- ) +7Г=; = 2 - ;.-(7Г+ 2)е ==оdx -О-nnХ+ 2)( -е-(-7Гn)+4-(7Г+ 2)еn-n- f (х + 2) de + f(х + 2) dexx(-7Г + 2)( -е- 7Г ) + 4 - (7Г + 2)е 7Г +=О-nО+ (-7Г + 2)е- + (7Г + 2)е7Г7Г-4+fеnХdx -fеХdx = 2 - е- 7Ге 7Г •-О-nD16.50.Имеемn1= -nf1 + (х - 1) d cos х= -1 - (7Г - 1)О+ 1-f cos х dx=1 - 7Г.ОD+ g(l -16.51.
Из определения g(x) следует, что g(X)[0,1]. Поэтому11=g(l) -f g(x) dxо1-Jg(x) dx + Jg(1 - х) dxона=1/21/2=1-f (g(x) + g(1 оD== 1О1/2=Х)х)) dx =1-~=~.Гл.16.52.9а + ~)гоk=Интеграл Рuмана-Стuлтьеса413Из определения g(x) следует, что 9 (~)=~ + ~ g(x) на х Е[0,1].=~ g(x) и чтоПоэтому для любого натуральнополучаем1Ik16.1/3Jx k dg(x)=оJ1x k dg(x)о=2/3== _1_k (J1 yk dg(y) + J12·3Jx k dg(x)+о(у + 2)k d9(Y))=оI~ + _1_t32·3kC k2r Ik-r,r=1откуда следует, чтоЯсно, что10 == 1и (см. задачу16.51) 11 == 1/2. Следовательно,116312 == 16 (2 . 2 . 2 + 4) == 16 == 8и1 == 1з == _1 (з. 2 . ~528+ 3 .
4 . ! + 8)2== _1 . 65 == ~524D16.53.Заметим, что1Jg( х) dg( х)1=g2 (1) -оJg( х) dg( х),ооткуда следует, что1Jg(x) dg(x)=~.оНоg(l -х)== 1 - g(x)11=[0,1],поэтому1J1 dg(x) - Jg(x) dg(x)оDнао=1-~=~.16 .Список литературы1.Лебег А. Интегрирование и отыскание примитивных функций.ГТТИ,2.1934.Александров п. С., Колмогоров А. Н. Введение в теорию функций действительного переменного.3.М.-Л.:--М.-Л.: ОНТИ,1938.Лузин Н. Н. Теория функций действительного переменного.гиз,-М.: Учпед-1940.4.5.6.Халмош п. Теория меры.7.Натансон и. п. Теория функций вещественной переменной.Сакс с. Теория интеграла.М.: ИЛ,-М.: ИЛ,-1949.1953.Рисс Ф., Секефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу.ИЛ,-М.:1954.-М.: Наука,1974.8.Колмогоров А.
Н., Фомин с. В. Элементы теории функций и функционального анализа.9.10.-М.: Наука,Толстов г.п. Мера и1976.интеграл. -М.: Наука,Дьяченко М.И., Ульянов п.л. Мера и1976.интеграл. -М.: Факториал,1998,2002.11.Кириллов А. А., Гвишиани А.Д. Теоремы и задачи функционального анализа.12.-М.: Наука,Теляковский с.
А.переменного.13.-1979.СборникМ.: Наука,задачЛеонтьева Т.А., Панферов В. С., Серов В. с. Задачи по теории функций-М.: Изд-во МГУ,1997.Очан ю. с. Сборник задач по математическому анализу.ние,15.функций действительного1980.действительного пременного.14.по теории-М.: Просвеще1981.Макаров Б.М., Голузина М.Г., Лодкин А.А., ПодКОРblтов А.Н. Избранные задачи по вещественному анализу.-СПб.: Невский диалект,2004.Предметный указательд-кольцо858585а-алгебраа-кольцоN -свойствоЛузинаАбсолютная348непрерывностьграла Лебегаинте-211меры относительно другой ме-- -ры273функции348Аксиома выбора 14Алгебра 85- борелевская 87- -Вариация функцииМинимальноеЛебега315-31Единица системы множеств8531Измеримое пространство160а-конечноеИндикатор16016014Индикатриса Банаха166Интеграл Лебега от интегрируемойфункции- - 201- - -201неотрицательнойфункциипростой функцииИнтегральная сумма- - -Римана200Лебега 205241Римана-Стилтьеса385Канторово множество замкнутое- -открытое16Колебание функцииКольцо 85Компакт 68Критерий Дарбу-Лебега-13131631- второй категории Бэра 31- выпуклое 33- замкнутое 30- измеримое по ~opдaHY 113- - - Лебегу 113- мощности континуума 13- не более чем счётное 13- неограниченной расходимости последовательности 68- несчётное 13- нигде не плотное 31- открытое 30- отрицательное относительно заряда 273- первой категории Бэра 31- положительное относительно заряда 273- расходимости последовательности 68- совершенное 31- сходимости последовательности68- счётное 13- типа Ра 30- - С ь 30непрерывностифункции280206Непрерывность меры97а-аддитивнаяэквивалентныеМодуль242МажорантаМера24169сравнение мощностейМножество всюду плотное7273конечное8713113113Замыкание множества9787кольцо, содержащее систему множествДекартово произведение множеств- - -содержаМножества с равными мощностямиВнутренность множестваЗаряда-кольцо,щее систему множеств-Верхняя мера ~opдaHa- -- а-конечная 97- ~opдaHa 113- классическая 100- конечная 97- Лебега 113- - а-конечная 114- полная 116- Стилтьеса 319Метрика 3099273Неравенство ГёльдераПредметный указатель416-Минковского273209ЧебышёваНорма32Объединение множествдизъюнктное- -Окрестность730Пересечение множествПоДпокрытие733Покрытие множества33124в смысле Витали- - -открытоеПолукольцо-7338585с единицейПределпоследовательностижеств верхний- - -нижниймно-77При мер Ф.
Рисса189Простая функция 200Пространство lp 32, 272- банахово 32- гильбертово 32- квазиметрическое 280- метрическое 30- - дискретное 43- - полное 31- - сепарабельное 31- нормированное 32Разложение Жордана-ХанаФундаментальная- -7мя множествами31от точки до множества31Свёртка функцийСечение263множества 32Симметрическая разность множеств7Скалярное произведениеСуммы Дарбу32241Сходимость по мере-почти всюду180180Теорема Б.
Леви для интегрируемыхфункций206- - - неотрицательных205- - - рядов 206- Банаха-Зарецкого 350181Функция возрастающаяРасстояние достигается между дву-- -ность 30по мерепоследователь-Функции эквивалентные282282Разность множеств- Больцано-Вейерштрасса 35- Бэра 42- Витали 123, 124- Гейне-Бореля 39- Егорова 183- Кантора 70- Кантора-Бернштейна 17- Лебега 206- Лузина 183- о среднем вторая 390- Радона-Никодима 282- Ф. Рисса 182- Фату 206- Фубини 262- Хелли вторая 322- - первая 390Тождество параллелограмма 40Точка Лебега (функции) 348- множества внутренняя 31- - изолированная 31- - предельная 31- - точка конденсации 31- - - плотности 348- разрыва первого рода 315функций16014- Дирихле 79- измеримая 160- интегрируемая по Лебегу 201- - - Риману 241- - - - в несобственном смысле242- - - Риману-Стилтьесу 385- Кантора 76- непрерывная в точке 68- неубывающая 14- ограниченной вариации 315- полунепрерывная сверху в точке69- Римана 72- сингулярная 321- скачков 316- характеристическая 14Шар замкнутый-открытый3030.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
