1610912311-3cbc5b34357e1bf98e493aa337af68a6 (824698), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Пусть а == f(t - О) и fЗ == f(tдостаточно малых h > О получим+ О).Еслиf(t) -1-fЗ, то дляk J If(u) - f(t)1 dfL(U) -k J If(u) - 111 dfL(U) +;?[t,t+h][t,t+h]+k J If(t) - I1ldfL(U);?lf(t)2- f1I >О.[t,t+h]Аналогично, еслиполучимf(t) -1-а, то для достаточно малых по модулюk J Ij(u) - j(t)1 dfL(U);? If(t)2-h<Оal > о.[t,t+h]Но при а15.51.f(x)-1-fЗ хотя бы один из этих случаев имеет место.DПоскольку для любых а, fЗ Е IR и для всех 6 Е (О,1)принадлежитLip(l; [6,1]),функцияи тем более абсолютно непрерывна(см. задачу 15.13), то для любых а,fЗ Е IR функцияf(x)обладаетN -свойством Лузина на [О, 1] (см. задачу 15.21).
Нетрудно видеть, чтоf(x)Е С([О, 1]) ~ {а + fЗ > О,а>С другой стороны (см. задачиf(x)о,если fЗ ~ О,если fЗ14.34, 14.35),Е V([O, 1]) ~ {а + fЗfЗ ~ 00'а+> ,если fЗ ~ О,если fЗТеперь из теоремы Банаха-Зарецкого (см. задачуf(x)< о.Е АС([а, Ь]) тогда и только тогда, когда а< о.15.23)+ fЗ > о.следует, чтоDГл.378Абсолютно непрерывные функции15.В силу результата задачи15.52.лх)15.26J f' (t) dp,Ла) +=(а,х)при Х Е [а, Ь]. Отсюда следует, что для любого разбиения Т==Ха< Хl < Х2 < ...
< Х N ==VT(f)==={а==Ь} выполнено неравенствоJЕ\J If'(t)1 dp"f'(t) dp, :((Xk-l,Хk)(а,Ь)поэтомуJ If'(t)1 dp,.V;(f):((а,Ь)> о.Возьмём произвольное Е>до, что если А с (а, Ь)J1f'(t)1 dp, < ~. Пусть Е+=Тогда (см. задачу10.67) существует такое< д, то(а, Ь) \ Е+.измеримое множество и м(А)-{х Е (а, Ь): г(х) ~ О} и Е_=АТогда существует такое множествоrВ==U (az, bz),[=1что< Ь 1 < а2 < ... < br . Возьмём разбиение Т( 1) ==< ...
< br ~ Ь}, где формально Ь а == а и a r +l == Ь.Можно считать, что аl==<{а ~ аlЬ1<а2ТогдаrVT (1)(f) = ЕJ f'(t)dp,L J(az,bz)+Jf'(t) dp,(а,Ь)\В[=1~J f'(t)Jdp, -Е+If'(t)1 dp, +Е+6ВIf'(t)1 dp, >Е_ 6((а,Ь)\В)>Опроизвольно, тоV;(f) ~J 1f'(t)1 dp"(а,Ь)откуда следует утверждение задачи.Ddp,+В(bz-1,az)JТак как ЕJf'(t)f'(t) dp, ~+ r+lJ f'(t)dp, -Е_J 1f'(t)1 dp, (а,Ь)Е.Гл.15.Абсолютно непрерывные функцииПусть15.53.g( х)ff (а) +=379f' (t) dJL(а,х)для х Е [а, Ь]. Ясно, чтоg(x)и (см. задачу 15.12) функцияg(a) == f(a)абсолютно непрерывна на [а, Ь]. ОбозначимЕ С([а, Ь])n V([a, Ь]).h(x) == f(x) - g(x)ЕТак как в силу результата задачи 15.25 равенствоh'(x) == f'(x) - g'(x) ==О выполнено п.в.на[а, Ь], то мы доказалисуществование искомого представления.Предположим, что gl (х) + h 1 (х) == g2(X) + h2(x), где gl (х) иАС([а,Ь]), функции h 1 (x) и h2(x) сингулярные на [а,Ь] и gl(a)g2(X) из== g2(a).Тогда g~ (х)- g~(x) == О п.в.
на [а, Ь], откуда следует (см. задачу 15.27),что gl (х) - g2(X)С на [а, Ь]. Но так как gl (а) == g2(a), то тогда gl (х)g2(X) на [а, Ь], а тогда и h 1 (х) h2(x) на [а, Ь]. D15.54. Так как (см. задачу 15.53) представление f(x) == g(x) ++ h(x), где g(x) Е АС([а, Ь]), h(x) - сингулярная функция на [а, Ь] илиh(x) О на [а, Ь] и f(a) == g(a), единственно, то в нашем случаеg(x)=fс+f'(t) dJL(а,х)при х Е [а, Ь]. Так как~ О п.в.
на (а, Ь), тоf'(x)функция на [а, Ь]. При этом для а ~ хзадачи14.50<g(x) -неубывающаяу ~ Ь в силу результатаполучим, чтоg(y) - g(x)=ff'(t) dJL :( лу) - f(x),(а,х)откуда следует, что15.55.h(y) - h(x)~ о.DКак было доказано в решении задачи 14.69, функцияпорождает а-аддитивную функцию множестваv (v([a, х])f(x)== f(x) - f(a)для всех х Е [а, Ь]), определённую на некоторой а-алгебре М, содержащей все борелевекие подмножества[а, Ь].
Пустьеё13.77).разложениеЖордана(см.задачуv == v+ - v_ -Определимфункцииfl(X) == v+([a,x]) и f2(X) == v_([a,x]) для х Е [а,Ь]. Ясно, что fl(X)И f2(X) - неотрицательные неубывающие функции на [а, Ь]. Согласнорезультату задачи 13.77, существует разложение Хана [а, Ь] == Е+ U Е_,где Е+ - положительно относительно v, а Е_ - отрицательно относительно v, v+(A) == v(A n Е+) и v_(A) == v(A n Е_) дЛЯ всех А Е М.В решении задачи 14.69 было доказано, что Vi(f) == Vi(fl) + Vi(f2).Предположим, например, что fl (х) - несингулярная функция на [а, Ь].Тогда (см.
задачи 15.53 и 15.54) fi(X) == gi(X) + hi(x) для i == 1,2,где gi(X) Е АС([а, Ь]), hi(x) - сингулярные функции на [а, Ь], gi(X)Гл.38015.Абсолютно непрерывные функциииhi(x) - неубывающие функции на [а, Ь], и gi(a) == fi(a) для i == 1,2,причём gl (х) Ф- с на [а, Ь]. Положим g(x) == gl (х) - g2(X). Заметим, чтона борелевской а-алгебре выполнено равенство v+ == v+ ( 1) + v+ (2), гдеv+(l) - мера, порождённая gl(X), а v+(2) - мера, порождённая h 1 (x).Согласно задачео15.29 получаем, что=v+(l)(E_)=fL(9J(E_))f g;(t) dfL·=Е_Так как g~ (t) ~ О п.в. на [а, Ь], то g~ (t)аналогично, g~(t)+ (h 1 (х) - h2(x)),g'(t) ==gl (х)О п.в. на Е_.
Совершенноf(x) == (gl(X) - g2(X)) +О п.в. на Е+. Так как==то оg~ (t)== f'(t) ==О п.в. на [а,Ь], а тогда g~(t)==-g~(t) п.в. на Е+. ПоэтомуО п.в. на [а,Ь], откуда следует, чтоС на [а, Ь]. Полученное противоречие доказывает сингулярностьфункцийfl15.56.и==Иf2.DИз задачи 15.55 следует, чтоf(x) == gl(X) - g2(X),гдеgl(X)неотрицательные неубывающие сингулярные функции наg2(X) -[а, Ь]. Пусть (см. задачу 14.60) ф(х)лярная функция на [а, Ь]. Тогдаподходящие функции.строго возрастающая сингу-fi(X) == gi(X) + ф(х)дляi == 1,2 -Df(x) == fl(X) - f2(X) на [а,Ь], где всетри функции из V([a, Ь]) и Vi(f) == Vi(fl) + Vi(f2), то для любого[с, d] с [а, Ь] выполнено равенство Vcd(f) == Vcd(fl) + Vcd(f2). Отсюда15.57.Заметим, что еслии из задачи15.55 следует, что достаточно доказать утверждение длянеубывающих функцийТогда м(А)==f(x).Пусть А==[а, Ь]\о.
Следовательно, для данного f{х Е [а, Ь]:>f'(x) ==О}.О существует такоеоткрытое множество00G ==U (ak, bk) с[а, Ь]сM(G) < ('k=1что А с G. ДЛЯ произвольного Е== gE(X) == f(x) + ЕХ.>О рассмотрим функциюg(x) ==ЭТО строго возрастающая функция на [а, Ь]. ИмеемV;(f) == f(b) - f(a) == g(b) - g(a) - Е(Ь - а) ==00==L(g(bk) - g(ak)) + M(g([a,Ь]\ G)) -Е(Ь-а).k=1Из задачи 14.47 следует, чтоM(g([a,Ь]\ G))~ Ем([а, Ь]g(bk) - g(ak) == f(bk) - f(ak) + E(bk - ak) ==\ G).При этомv;: (f) + E(bk - ak)Гл.для всех15.Абсолютно непрерывные функции381Следовательно,k.00V;(f) ~LV;: (f)·k=1Обратное неравенство очевидно.15.58.Предположим вначале, чтона [а, Ь].
Тогда (см. задачуфункции на [а, Ь]. Заметим,дачуD15.52)V; (g)f(x) - неубывающая функция15.54) g(x) и h(x) - также неубывающиечто g'(x) == f'(x) ~ О п.в. на [а, Ь] и (см. заJ g' (х ) dfJ J f' (х) dfJ·==(а,Ь)(а,Ь)> О выберем такое д > О, что если измеримое множество А содержится в [а, Ь] и м(А) < б, то Jg'(x) dfJ < ~.
ЗатемДля заданного ЕА(см. задачу15.57)найдём такое открытое множество00G ==U (ak' bk ) с[а, Ь]сJ-L(G) <д,k=1что00V;(h) ==LV;: (h).k=1Затем зафиксируем такое К, что00LV;;(h) < ~.k=K+1Построим теперь разбиение Т отрезка [а, Ь]. Пусть Т содержит всеточки{ak' bk }f=1 и точки а и Ь. Можно считать, что а ~ а1~ а2 < ... < Ь К ~ Ь. Затем добавим к Т такие точки {Yj,Z}, гдеа==УО,О< УО,1 < ... < УО,т(О) ==а1;Ь1==У1,О< У1,1 < ... < У1,т(1) ==а2;Ьк==Ук,О< УК,1 < ... < УК,т(К) ==Ь,чтоm(i)Е Ig(yi,l) - g(yi,l-l) I > Vb:'+I(g) - 5(кЕ:+ 1)< Ь1 ~382Гл.дляi == 0,1,2, ...
, К,15.Абсолютно непрерывные функциигде Ь О==ка и аК+lкVT(f) == L If(bk) - f(ak)1k=1Ь. Тогда мы получим, чтоm(i)+ L L If(Yi,l) - f(Yi,l-I)1i=OкL Ih(b k) - h(ak)l- L Ig(b k) - g(ak)1k=1k=1кl=1~ V;(h) - ~ -+Кm(i)+ L L Ig(Yi,l) - g(Yi,l-I)I- LVb~~+l(h)i=O~l=1к~==~i=Oкf g'(x) dfL + L VЬ~'+1 (g) G~-i=OкL VЬ~'+1 (h) ~i=O~ V;(h) - ~ + V;(g) -f g'(x) dfL ~ V;(g) + V;(h) - Е.GТак как Е> О произвольно,то мы получаем, что V:(f) ~ V:(g)+ V:(h).Но поскольку обратное неравенство очевидно, то тем самым в случаенеубывающей функцииf(x)утверждение доказано.
В общем случае( см. задачу 14.69) существует представление f (х)fl (х)== fl (х) - f2 (х ),гдеиf2 (х) - неотрицательные неубывающие непрерывные функциина [а, Ь] и V:(f) == V:(fl) + V:(f2). Заметим, что (см. задачу 15.53)fi(X) == gi(X) + hi(x), где gi(X) Е АС([а, Ь]), а hi(x) - сингулярныефункции на [а, Ь] либо h(x)О на [а, Ь] при i == 1,2. Согласно предыдущим рассуждениям, V: (fi) == V: (gi) + V: (h i ) для i == 1,2. Поэтомуf(x) == (gl(X) - g2(X))иV;(f) == V;(gl)+ (h 1(x) - h2(x))+ V;(g2) + V;(h 1) + V;(h 2).g(x) == gl (х) - g2(X) + С и h(x) ==== h 1 (x) - h2 (x) - С на [а,Ь], где С - некоторая постоянная. Отсюдавытекает, что V:(g) ~ V:(gl) + V:(g2) и что V:(h) ~ V:(h 1) + V:(h 2).Следовательно, V:(f) ~ V:(g) + V:(h). Обратное неравенство очевидИз задачи 15.53 также следует, чтоно.D15.59.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
