1610912311-3cbc5b34357e1bf98e493aa337af68a6 (824698), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Пусть f(x) Е АС([а, Ь]). Доказать, что f(x) обладаетd].Доказать, чтоN-свойством Лузина на [а, Ь].15.22.Пустьf(x)Е С([а, Ь]). Доказать, чтоf(E)измеримо (относительно классической меры Лебега) для любого измеримого (в томже смысле)Е с [а, Ь]тогдаи только тогда,когдаf(x)обладаетN-свойством Лузина на [а, Ь].15.23.n V([a, Ь])чтоf(x)Теоремаиf(x)Банаха-3арецкого.Пустьf(x)Е С([а, Ь])обладает N-свойством Лузина на [а, Ь].
Доказать,Е АС([а, Ь]).15.24. Пусть лх) Е L([a, Ь]), F(x) =ff(t) dfL при х Е [а, Ь] и[а,х]М(х; f) == limsup Р(х + h) - Р(х)IIhh-+Oдля х Е (а, Ь). Определим множестваЕл==n{х Е (а,Ь):4Доказать, что J-L(Ел ) ~ ~M(x;f) >Ilf11 1 .л}при л> о.Гл.350Абсолютно непрерывные функции15.15.25. Пусть лх) Е L([a, Ь]) и F(x)J f(t) dfJ=для х Е [а, Ь].[а,х]Доказать, что Р'(х)== f(x)п.в.
на [а, Ь].15.26. Пусть дана функция Р(х) Е АС([а, Ь]). Доказать, что п.в.на (а, Ь) существует производная Р'(х)F(x)== f(x)J f(t) dfJ + F(a)=ЕL([a, Ь])и чтодля всех х Е [а, Ь].[а,х]15.27. Пусть f(x) Е АС([а, Ь]) и f'(x) == О п.в. на [а, Ь]. Доказать,чтоС на [а, Ь].f(x)15.28. Пусть f(x) - неубывающая функция на [а, Ь] иJ f'(t) dfJ =ЛЬ) - Ла).[а,Ь]Доказать, чтоf(x)Е АС([а, Ь]).15.29. Пусть даны неубывающая на [а, Ь] функция f(x) Е АС([а, Ь])и измеримое (относительно классической меры Лебега м) множествоА с [а, Ь]. Доказать, чтоми(А))=Jf'(t) dfJ·А15.30. Пусть дана строго возрастающая на [а, Ь] функция f(x) ЕЕ С([а, Ь]) и А=={х Е [а, Ь]:f'(x) ==тогда и только тогда, когда J-L(f(А))оо}. Доказать, что==f(x)Е АС([а, Ь])о.15.31.
Пусть дана строго возрастающая на [а, Ь] функция f(x) ЕЕ С([а, Ь]),на[с,d].гда м(А)f(a) ==с,Доказать,==f(b) == d, А == {х Е [а, Ь]: f'(x) ==что g(y) Е АС([с, d]) тогда ио} иg(y) == f-l(y)только тогда, коо.15.32. Пусть g(x) - конечная функция на [а, Ь], н'(х) ~ о п.в. на[а, Ь] и н'(х)>-00 при всех х Е [а, Ь]. Доказать, чтонеубываюg(x) -щая функция на [а, Ь].15.33. Пусть функция f(x) на [а, Ь] такова, что конечная производнаячтоf'(x) существуетf(x) Е АС([а, Ь]).всюду на [а, Ь] иf'(x)ЕL((a, Ь)).Доказать,15.34. Построить такую функцию f(x) на [0,1], что конечнаяпроизводнаяноf(x)f'(x)существуетп.в.на[а, Ь]иf'(x)ЕL((a, Ь)),~ АС([а, Ь]).15.35.
Построить такую функцию f(x) на [0,1], что конечная производная f' (х) существует всюду на [о, 1], но f' (х) ~ L( (о, 1)).Гл.15.36.водная15.Абсолютно непрерывные функцииПусть функцияf'(x)f(x)351на [а, Ь] такова, что конечная произсуществует всюду на [а, Ь]. Доказать, чтоf(x)обладаетN-свойством Лузина на [а, Ь].15.37.Доказать, чтоf(x)f(x)Е=Lip(l; [а, Ь]) тогда и только тогда, когдас+fg(t) dp,[а,х]для всех х Е [а, Ь], гдеg(t) - ограниченная измеримая функция на [а, Ь].15.38.
Пусть f(x) Е V([a, Ь]). Доказать, что её модуль непрерывности в L 1 (см. задачу 13.62) удовлетворяет условию w(f; 6) 1 == 0(6)при 6 -----+ 0+.15.39. Пусть f(x) Е L 1 ([а, Ь]) и w(f; 6)1 == 0(6) при 6 -----+ 0+. Доказать, что f(x) эквивалентна некоторой функции ограниченной вариации на [а,Ь].15.40.Интегрирование по частям в интеграле Лебега. Пустьданы функции Р(х),fG(x)F(x)G'(x) dp,Е АС([а, Ь]). Доказать, что[а,Ь]15.41.ЕL((a, Ь)),f G(x)F'(x) dp,.F(b)G(b) - F(a)G(a) -=[а,Ь]Замена переменной в интеграле Лебега. Пустьа функцияG(y)Е АС([с,d])f(x)Естрого возрастает на [с,d],причём G (с) == а, G (d) == Ь и обратная функция G- 1 (х) принадлежитАС([а, Ь]). Доказать, чтоf(G(y))G'(y)f Лх) dp, f=[а,Ь]15.42.ЕL((c, d))иЛС(у))С'(у) dp,.[c,d]Замена переменной в интеграле Лебега. Пустьf(x)ЕL((a, Ь)), а функция G(y) Е АС([с, d]) строго возрастает на [с, d],причём G(c) == а и G(d) == Ь.
Доказать, что f(G(y))G'(y) Е L((c, d)) иЕf ЛХ) dp, f=[а,Ь]15.43.Пусть Е сЛС(у))С'(у) dp,.[c,d]IR -измеримое относительно классической мерыЛебега J-L множество. Доказать, что почти все точки Е являются еготочками плотности.15.44.Пусть Е сплотности (см. задачуIR - измеримое15.43). Доказать,множество, а ха-его точкачто для произвольной последо-Гл.352вательности {IkприkАбсолютно непрерывные функции15.== [ak, bk]}~=lтакой, что хо Е I k при всех k и J-L(Ik ) -----+ О-----+ 00, выполнено равенство15.45. Пусть j(x) Е L((a, Ь)).
Доказать, что почти все точки t ЕЕ (а, Ь) являются точками Лебега функцииj.f15.46. Пусть f(x) Е L([a, Ь]), Р(х) =f(t) dfL при х Е [а, Ь] и t Е[а,х]Е (а, Ь)точка Лебега функции-j(x).Доказать, чтоF'(t) == j(t).L((-l, 1)), что j(O) ==15.47. Построить такую функцию j(x) Е*f1f( и) dfL1---7О и00(O,h)при hО, но если Р(х)---7f=f(t)dfL на [-1,1], то существу[-l,x]ет р' (О)==о.15.48. Пусть j(x) Е L((a, Ь)), t Е (а, Ь) и j(x) непрерывна в точке t.Доказать, чтоточка Лебега функцииt-15.49.
Пусть р>j(x).1 и j(x) Е Lp((a, Ь)). Доказать, чтоf· -111тIj(u) - j(t)I P dJ-L(U) == Оh-+oh(t,t+h)для почти всехtЕ (а, Ь).15.50. Пусть j(x) Е L((a, Ь)) и t Е (а, Ь) - точка разрыва первогорода дляЛебегаj(x),j(x).15.51.причём+ О) -1- j(t -О). Доказать, чтоt -не точкаПустьf(x)где а, (З Е IR. Найти,Е АС([О,j(t={а.~ sшх(3при х Е (0,1],при х==О,при каких а и (З выполнено условие1]).15.52. Пусть j(x) Е АС([а, Ь]). Доказать, чтоVd'(f)=f(а,Ь)11' (х) 1dfL·j(x)ЕГл.15.53.Пусть15.Абсолютно непрерывные функцииf(x)n V([a, Ь]). Доказать, что существуетf(x) == g(x) + h(x), где g(x) Е АС([а, Ь]),Е С([а, Ь])единственное представлениеh(x) == g(a).353сингулярная функция на [а, Ь] либоh(x)О на [а, Ь] иf(a) ==f(x) - неубывающая функция на [а, Ь] и f(x) ==== g(x) + h(x), где g(x) Е АС([а, Ь]), h(x) - сингулярная функция на[а, Ь] либо h(x)О на [а, Ь]. Доказать, что g(x) и h(x) - неубывающие15.54.Пустьфункции на [а,Ь].15.55.Пустьчто её можноf(x) -сингулярная функция напредставитьввиде[а, Ь].
Доказать,f(x) == fl (х) - f2(X),гдеfl (х)иf2(X) - неотрицательные неубывающие сингулярные функции на[а, Ь] и Vi(f) == Vi(fl) + Vi(f2).15.56. Пусть f(x) - сингулярная функция на [а, Ь]. Доказать, чтоеё можно представить в виде f(x) == fl (х) - f2(X), где fl (х) и f2(X) строго возрастающие сингулярные функции на [а, Ь].15.57.Пустьдля любогоff(x) ->Осингулярная функция на [а, Ь].
Доказать, чтосуществует такое открытое множество00G ==U (ak, bk)00с [а, Ь]сk=1J-L(G) == 'L(bk - ak) < {'k=1что00V;(f) =='L v;: (f)·k=1f(x) == g(x) + h(x), гдеg(x) Е АС([а, Ь]), h(x) - сингулярная функция на [а, Ь] либо h(x) Она [а, Ь]. Доказать, что Vi(f) == Vi(g) + Vi(h).15.59. Пусть {fn(x)}~=1 с АС([а, Ь]), f(x) Е V([a, Ь]), f(a) == Ои Vi(f - fn) -----+ о при n -----+ 00. Доказать, что f(x) Е АС([а, Ь]).15.60. Пусть {fn(x)}~=1 - последовательность сингулярных функций на [а, Ь]. Пусть f(x) Е V([a, Ь]), f(a) == О и Vi(f - fn) -----+ о приn -----+ 00.
Доказать, что f(x) - сингулярная функция на [а, Ь] либо нуль.15.61. Пусть f(x) Е АС([а, Ь]) и невозрастающая функция g(x) на[а, Ь] такова, что м( {х Е [а, Ь]: f(x) > t}) == м( {х Е [а, Ь]: g(x) > t}) длявсех t Е IR. Доказать, что g(x) Е АС([а, Ь]).15.58. Пусть f(x) Е С([а, Ь])n V([a, Ь])иРЕШЕНИЯ15.1.Если подставить в определение абсолютной непрерывностисистемы В, состоящие из одного интервала, то мы получим определение непрерывности функции.12п. л. Ульянов и др.DГл.354Абсолютно непрерывные функции15.> о. Найдём такое д > о, что для любой системы9(8) < д выполнены неравенства Уи; 8) < 210:1 + 1Пусть дано с15.2.с8 Е Щ[а; Ь]) си Y(g; 8) < 21/31+1.Тогда для любой системы 8 Е Щ[а; Ь]) с 9(8) < дполучаемУ(а!+ (3g; в)~laIY(j; в) + 1(ЗIУ(g; в) < с.D15.3. В силу результата задачи 15.1 функции j(x) и g(x) непрерывны на [а, Ь].
Тогда существует такая постоянная Си>~ С на [а, Ь]. ДЛЯ данного сIg(x)1> о,чтоО найдём такоеIj(x)1д > о,~ СчтоS Е П([а; Ь]) с 8(В) < д выполнены неравенствасY(j; в) < 2С + 1 и Y(g; В) < 2С + 1 . Заметим, что для любого интервала (с, d) с [а, Ь]для любой системыс1j (с) 9 ( с) - j (d) 9 (d) 1~ 1j (с) 11 9 ( с) -9 ( d) 1+ 19 ( d) 11 j (с)~ С ( 1j (с)Поэтому для любой системыУ(!SЕВ) ~. g;- j (d) 1+ 19 (с) - 9 (d) 1) .П([а; Ь]) с 8(В)C(Y(j;- j (d) 1~<дполучаем+ Y(g; В)) < с.В)D15.4.Всилурезультатазадачи15.3 достаточно доказать, что1g(x) Е АС([а, Ь]). Так как (см.
задачу 15.1) g(x) Е С([а, Ь]), то существует такое число Снайдём такое д>>d)Ig(x)1~ С на [а, Ь]. ДЛЯ данного со, что для любой системывыполнено неравенствовала (с,о, чтоSЕ П([а; Ь]) с 8(В)>О<дY(g; В) < С с. Заметим, что для любого интер2с [а, Ь] имеем_1_ _ _1_ _ Ig(c) - g(d)1 ~ Ig(c) - g(d)19 ( с)9 ( d) I9 ( с) 9 (d) 1"с2Поэтому для любой системыSЕП([а; Ь]) с 8(В)<д•выполнена оценкаD15.5.Дляданного свольной системы>О найдёмтакое дS Е П([а; Ь]) с 8(В)метим, что для любого интервала (с,<d)>о,д имеем:что дляY(j;В)<произс. Зас [а, Ь] выполнено неравен-Гл.ство5Е15.Абсолютно непрерывные функцииIlf(c)1 - If(d)11 ~ If(c) - f(d)l· ПоэтомуП([а; Ь]) с 8(5) < д выполнены оценкиY(lfl; 5)~Y(f; 5) <355для любой системыс.DДля15.6.данногос>Онайдёмтакоед>О,что длялюбой8(5) < д выполнено неравенство Y(lfl; 5) << с.
Пусть 5 == {(ak, bk)}~=1 - такая система. Пусть К+ == {k ЕЕ [1, n]: f(ak)f(bk) ~ О} и К_ == ([1, n] n N) \ К+. В силу непрерывности функции f для любого k Е К_ существует такое ck Е (ak' bk ), чтоf(Ck) == о. Рассмотрим систему непересекающихся интерваловсистемы5Е П([а; Ь]) с51 == {( ak, bk) }kEK+ U {( ak, Ck) }kEK- U {( Ck, bk) }kEK- .8(51) ~ 8(5) < д. При этом для любогоиз 51 имеем: If(d) - f(e)1 == Ilf(d)I-lf(е)ll. ТогдаЯсно, чтоY(f; 5)~Y(f; 51) == Y(lfl; 51) <интервала(d,е)с.D15.7. Пусть д > О таково, что для любой системы 5 Е П([а; Ь])с 8(5) < д справедливо неравенство Y(f; 5) < 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
