1610912311-3cbc5b34357e1bf98e493aa337af68a6 (824698), страница 54
Текст из файла (страница 54)
заg(y).Попри n -----+ оо}.Гл.362Так какg(y)ЕL(IR)15.Абсолютно непрерывные функции(см. задачу 14.66), тоJ-L(D) ==о. Пусть У ЕZ \ D.Тогда найдётся такая подпоследовательность {nk}~=l' что gnk(Y) ~ 1при k Е N. Следовательно, для любого k существует такое Xk Е E nk ,что j(Xk) == У. Поскольку У ~ D, то g(y) < 00, т. е. уравнение имеетконечное число различных корней.которыйпринадлежитПоэтому существует корень ХО,бесконечномучислумножествизпоследо-вательности {Enk}~=l.
Тогда ХО Е А, а У Е j(A). Следовательно,J-L(Z)~ J-L(j(А))+ J-L(D) == о.всех У Е [т, М]. Так каклюбогоМы доказали, что limgn(y) ==О для почтиn----+ооIgn(y)1~g(y)ЕL(IR)при каждом У Е IR длято по теореме Лебега получаем, чтоn,Jgn (у) dJ-L == о.limn----+ооIRПолученное противоречие доказывает, чтоЕ АС([а, Ь]).jDДокажем вначале, что множество Ел измеримо. Пусть15.24.Ел,h = { Х Е (а, Ь): х + h Е (а, Ь) и I Р(х + h~ - Р(х) I > л + ~ },тогда00Ел ==Uт=1Так как для всехрывнаh-=1--Елh, ·O<lhl<~о функция Ф(х, h)относительно Х,ство Елn un=100тоборелевекоеи,= I Р(х+ h~ - Р(х) I непремножества Ел,hоткрыты.следовательно,измеримо.ТогдамножеЗаметим,чтодля любого Х Е Ел существует такая последовательность {hr(X)}~l'сходящаяся к о, что Ф(Х, hr(x)) > Л, при всех r и всех Х Е Ел.
Этоозначает, что отрезки {[Х -lhm(x)l,x+ Ih m (х)I]}:=l,ХЕЕ лЕл в смысле Витали. В силу теоремы Витали (задачаствуеттакаяконечнаясистемапопарнопокрывают7.106) сущенепересекающихсяотрезков{Ii }i=l == {[Xi -lhmJ,Хi + IhmJ]}7=1' чтоnL121h m J > 2J-L(Ел ).i=lДействительно, при J-LЕ л==О утверждение очевидно, а в противномслучае согласно этой задаче можно выбрать отрезки так, чтобыГл.15.Абсолютно непрерывные функции3б3в силу измеримости здесь можно заменить внешнюю меру Лебега намеру Лебега, а затем воспользоваться аддитивностью меры.С другой стороны,Jf(t) dfL~ ±J If(t) I dfL,[x~ ,x~ +hrп~]откуда следует утверждение задачи.В силу результата задачи15.25.[а,Ь]D13.50существует такая последова-тельность {CPi(X)}~1 непрерывных на [а,Ь] функций, что Ilcpi - 1111 < .~~дляiЕ~i(X)ПустьN.=f(x) - 'Pi(X)и\fJi(x)=fIf(t) - 'Pi(t)1 dfL при i Е N.[а,х]Пусть, к тому же,ив силу результата задачи15.24при каждомiполучаем оценкуДалее, по неравенству ЧебышёваОбозначимnU(AiUB i ).k=1 i=k00Q==Для каждогоk> 1Отсюда следует, чтогда существует00получаем/-L(Q) == о.
Пусть теперь Е == (а, Ь) \ Q и хЕЕ. Тотакое i == i(x), что х ~ A j U B j при j > i. Для заданногоГл.364Е > о зафиксируемнайдётся такое д15.k>> о,Абсолютно непрерывные функциишах(i, ~ ).Поскольку 'Pk(X) Е С([а, Ь]), точто1h< Е,J[x,x+h]и так как Ф kзадачипри Оесть неопределённый интеграл, то в силу результата15.12< Ihl < д.Тогда для такихJ f(t) dfJ - Лх)1hh*J::;;[x,x+h]получаем(f(t) - 'Pk(t)) dfJ(t)+[x,x+h]+ Ij(x) - CPk(x)1 + h1J22kcpk(t) dJ-L - CPk(X) <+ 21 + Е < 4Е,k[x,x+h]откуда следует утверждение задачи.D15.26.
Из задачи 15.10 следует, что Р(х) можно представить какразность двух неубывающих абсолютно непрерывных функций на [а, Ь].Поэтому достаточно доказать утверждение для неубывающей функцииF(t).Определим меру Стилтьеса mр([с,це полуинтервалов { [с,Лебегуv,d)) == F(d) -Р(с) на полукольс [а, Ь)} и рассмотрим её продолжение поd)определённое на а-алгебре Ми .
ПустьЛебега, определённая на а-алгебреJ-L -классическая мера9J1p, подмножеств [а, Ь). Тогда на9J1 == 9J1p, n 9J1v определены две меры: J-L и v. Предположим,что Е Е 9J1 и м(Е) == о. Для заданного Е > О найдём такое д > о, что(см. задачу 15.11) для любой счётной системы {(ak,bk)}~=l попарноа-алгебренепересекающихся интервалов из [а, Ь] свыполнено неравенство00LIF(b k ) - F(ak)1 <Е.k=lЗаметим,{ [ai,bi ) } :что1Еможнопокрытьсчётнымс0000i=li=lнаборомполуинтерваловГл.15.Абсолютно непрерывные функцииМожно считать (см. задачу3657.4), что эти полуинтервалы попарно непересекаются.
Так как Р(х) неубывающая, то мы получаем, чтоТаким образом,0000i=li=lv(E) ==О, т. е. мераvабсолютно непрерывна относительно меры р. Тогда по теореме Радона-Никодима существует такаяфункцияf (х),интегрируемая по Лебегу на [а, Ь) по классической мереЛебега р, чтоv(E)=Jf(t) dfJдля любого Е Е 9Л.Ев частности,v([a, х))=Р(х) - Р(а)=J f(t) dfJ J f(t) dfJ=[а,х)[а,х]при а ~ х ~ Ь. Наконец, из задачи 15.25 следует, что Р'(х)на [а, Ь].== f(x)п.в.D15.27. В силу результата задачи 15.26 для всех х Е [а, Ь] выполненоравенствоf(x) == f(a).D15.28.
Заметим вначале, что для любого [с, d] с [а, Ь] в силу результата задачи14.50 выполняется оценкаJ f'(t) dfJ ~ f(d) -Лс).[c,d]Предположим, чтоJ f'(t) dfJ < Лео) - Ла)[а,со]для некоторого со Е [а, Ь]. При этом, в силу результата задачи 14.50,J f'(t) dfJ ~ ЛЬ) -Лео)[со,Ь]и,складывая,мыполучаем,чтоJ f'(t) dfJ < ЛЬ) - Ла).[а,Ь]Гл.36615.Абсолютно непрерывные функцииПолученное противоречие показывает, чтолх)=J j'(t) dfJЛа) +[а,х]длявсехх Е [а, Ь].Е АС([а, Ь]).15.29.множествозадачиСледовательно(см.задачуЕDЗаметим вначале, что в силу результатов задачизмеримо.
Пустьf(A)15.26,f(x)15.12),v -и15.2115.22мера, определённая в решениизаданная на а-алгебре Ми. Заметим, что А==Вu С,где В- борелевекое множество, а м( С) == о. Следовательно, В Е Ми,и, как было показано в решении задачи 15.26, С Е Ми. Поэтому А ЕЕ Ми и из определения меры v следует, чтоми(А))=v(A)=Jf'(t) dfJ·АD15.30. Если f(x) Е АС([а, Ь]), то согласно результату задачи 14.49м(А) == о, а тогда (см. задачу 15.21) J-L(f(А)) == о. Пусть теперь f(x) ЕЕ С([а, Ь]),==строго возрастающая функция на [а, Ь] и J-L(f(А))f(x) -о. Определим множества А n=={х Е [а,Ь]: ['(х) ~Возьмём измеримое В С [а, Ь] с М(В)каждогоnТак какf(BCX))==и ВСХ)сВn А.f(A),====о. Обозначимn} для n Е N.В N == В n А n дляТогдато J-L(f(ВСХ)))==о.
Но в силу результата задачи 14.47 получаем, что J-L*(f(В n )) ~ nМ*(В n ) == О при n Е N. Поэтому J-L(f(В)) == о. Теперь утверждение задачи следует из теоремыБанаха-Зарецкого (см. задачу15.23).D15.31. Заметим, что если В == f(A), то В == {у Е [с, d] : g' (у) == оо}и g(B) == А. Применяя задачу 15.30, получим нужное утверждение. D15.32. Пусть Е == {х Е [а, Ь]: н'(х) < о}. Тогда м(Е) == о. Найдёмтакую функцию ф(х) (см.
задачу 14.53), что она не убывает на [а, Ь]и ф'(х)==00 для всех хЕЕ. Теперь для произвольного Есмотрим функцию h(x)== hE;(X) == g(x) + Еф(х).>О рас-Ясно, что п'(х) ~ опри всех х Е [а, Ь]. Предположим, что существуют такие а ~ с<d~Ь,r > о, что h(c) > h(d) + r(d - с),и рассмотрим функцию у(х) == h(x) + {х на [а, Ь]. Тогда u'(х) ~ r длякаждого х Е [а, Ь] и у(с) > y(d). Поэтому можно построить такую по-чтоh(c) > h(d).Найдём такоеГл.15.Абсолютно непрерывные функции367следовательность вложенных отрезков {[сп, dn]}~=l' что У(Сn )иdn-сп==d-c~ при n Е> y(dn)N. Еслиn00{хо}==[сп, dn ],n=1то У(хо)-У(С n )<Оилиy(dn )< О для- У(хо)каждогоn.Следовательно, и'(хо) ~ о, и мы пришли к противоречию. Это означает, чтонеубывающая функция на [а, Ь].
Так как Етакже неубывающая функция на [а, Ь].15.33.Для каждогоnIhn(x)1~О произвольно, тоDn Е N определим функциюhn(x) == {f'(X)'Ясно, что>h(x) g(x) -If'(x)1если f'(x) ~ n,-иначе.для всех х Е [а, Ь], поэтомуПустьgn(x) =лх) -fhn(x)ЕL((a, Ь)).hn(t) dfJ[а,х]для всехn. Тогда (см.== f'(x) - hn(x) ~ о. Сзадачу 15.25) п.в. на [а, Ь] существует g~(x)другой стороны, так как9 '(х) ~ f'(x) - n-n>hn(x)==~ n на [а, Ь], то-00для всех х Е [а, Ь]. Применяя задачу 15.32, получаем, чтоgn(X) -неубывающая функция на [а, Ь], поэтомуf (х) - f( а);?:fhn ( t) dfJ[а,х]для любого х Е [а, Ь]. Это неравенство выполнено при всех n, поэтомув силу теоремы Лебега (задача 10.37) с мажорантойf (х) - f( а);?:fIf'lполучаем, чтоl' (t) dfJ[а,х]для всех х Е [а, Ь].
Рассматривая функцию ем,f(x)чтолх) - Ла) ~f[а,х]1'(t) dfJвместоf(x),получа-Гл.36815.Абсолютно непрерывные функциидля всех х Е [а, Ь]. Поэтому1(х)=J l' (t) dfJ1(а) +[а,х]всюду на [а, Ь]. В силу результата задачи 15.12 получаем, чтоЕ АС([а, Ь]).ЕD15.34. В качестве при мера можнодачу 4.19 и решение задачи 15.8).D15.35.f(x)взять функцию Кантора (см. заПустьf(x) =={х 2 cos:2'если х Е (0,1],О,если х==О.1- ~sin-l при х Е (0,1], поЯсно, что f'(O) == О и f'(x) == 2xcos2Х2этому конечная производная f' (х) существует всюду на [О, 1]. ПриХэтом12xcos 2-Хограниченная измеримая функция на(0,1],поэтомухона интегрируема по Лебегу.
В то же время (см. задачу~ sin ~ ~ L((O, 1)). Поэтому г(х) ~ L((O, 1)).хрn==(в))Dх15.36.11.1 ОПусть{х Е [а, Ь]:при n Е N. Так какIf(x) - f(y)1f'(x)~nlx - ylдля всех У Е [а, Ь]}всюду конечна, то00[а, Ь]==U рn ·n=1Так какf(x)Е С([а, Ь]) как всюду дифференцируемая функция, токаждое множество рn замкнуто. При этом точки а и Ь лежат в рn дляn~ по. Как следствие,00[а, Ь]\ рn ==U (Cnk , dnk )k=lприn~ по. Теперь дляпри х Е рn ,n~ по определим функциюgn: gn(X) == f(x)отрезки [cnk,d nk ] дляgn(x) продолжена по линейности наk Е N.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
