1610912311-3cbc5b34357e1bf98e493aa337af68a6 (824698), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Возьмём такое натуЬ - а_l(b - а)_ральное N, что -----л- < д. Обозначим Yl - а +Nдля l - О, 1,2, .... . . ,N. На каждом отрезке [Yl, Yl+l] по определению вариации имеетместо оценка Vizl+l (f) < 1. Но вариация аддитивна как функция отрезка (см. задачу 14.4). Следовательно,Vi(f) ~ N.D15.8. Пусть Р - канторово замкнутое множество на [0,1] (см. задачу 2.22), аf(x) - канторова функция на [0,1] (см.
решение задачи 4.19). Тогда f(x) монотонна на [0,1] и f(x) Е С([О, 1]). Так какм(р) == О и Р замкнуто, то (см. задачу 7.38) Р измеримо по Жордануна [О, 1] и MJ (Р) == о. Поэтому для любого д > О существует такаяконечная система 5 == {(ak, bk)}~=1 интервалов из [а, Ь], чтоnиL(bk - ak) < д.k=1Более того(см.задачу7.5), можно считать, что интервалы из 5попарно не пересекаются. Предположим, что аl < ы 1 ~ а2 < Ь 2 ~ .... .. ~ а n < Ь n . Тогда по определению функции Кантора имеем: аl == О,Ь n == 1 и f(ak) == f(b k- l ) для k == 2,3, ... , n. Поэтому Y(f; 5) == 1. Этоозначает, что f(x) ~ АС([О, 1]). D15.9.
Для данного с > О найдём такое д > О, что для любой сиестемы 5 Е П([а; Ь]) с 8(5) < д выполнено неравенство Y(f; 5) < 2.12*Гл.356Пусть 5==15.Абсолютно непрерывные функции{(ak,bk)}~=1 Е П([а;Ь]). Для любогоk Е [1,n] зафиксиTk == {ak == Zk,O < Zk,1 < ... < Zk,lk == bk }, чторуем такое разбиениеVTk (!) > V/:; и) - 2kE+ 1 ' Тогда 81 = {(Zk,l-I, Zk,I)}~~~,I=1 принадлежитП([а; Ь]) и 8(51) < д.
Следовательно,nT(fl; 8)=nLV!:;(f) <k=1VTk(f) + ~L=ти; 81) + ~ < Е.k=1D15.10. При меняя задачу 14.6, получаем, что f(x) == fl(X) - f2(X),гдеиfl(X)неубывающие функции на [а,Ь] иf2(X) -при Х Е [а, Ь]. Тогда в силу результата задачиа в силу результата задачи15.11.системы5система 515.9 fl (х) Е АС([а, Ь]),15.2 - и f2(X) Е АС([а, Ь]).>О8(5) < д>Для данного снайдём такое дЕ П([а; Ь]) свыполнено условие==fl(X) == VaX(f)о,Dчто для любойсY(f; 5) < "2.Пусть{(ak,bk)}~=1 такова, что00LIb k - akl < д.k=1Тогда для любого N получаем: так как {(а n , bn )}f=1 Е П([а, Ь]), тооткуда следует,чтоD15.12.Пусть с> о.грала Лебега (задачаТогда в силу абсолютной непрерывности инте10.67)существует такое дизмеримого множества А с [а, Ь] при м(А)<>о, что для любогод выполнена оценкаJlf(x)1 dfJ < Е.АРассмотрим систему5Т(Р; 8) = ЕIЕ П([а; Ь]) сJ(ak,bk)D8(5) <Лх) dfJ ~д.
ТогдаJIf(x)1 dM < с.Гл.Абсолютно непрерывные функции15.35715.13. Пусть Ij(x) - j(y)1 ~ Glx - yl для всех х, У Е [а, Ь]. ДЛЯзаданного Е > О возьмём дЕ П([а; Ь]) с 8(В)<дс: 1. Тогда для любой системы S Е=получим, что15.14. Пусть g(x) ==2Y(j;2 на (0,1],xln2 -в) ~G . 8(В) < с.j(x) ==1- 2 на (0,1] ичтоf(x)=g(x)j(O) ==ln-х== g(O) == о. Заметим,g(x) > О на (О, 1] иDхЕL([O, 1])f g(t) dfL(t)в силу результата задачи11.4,при х Е [0,1].[О,х]Поэтому (см. задачуа Е15.12) j(x) Е АС([О, 1]). Возьмём теперь любое(0,1]. Тогдаlim j(t) ~ j(O) == limt---+o+1t---+o+ t CX ln ~t==00,tоткуда следует, чтоj(x)~Lip(a, [0,1]).D15.15.
Предположим, что j(x) ~ Lip(l, [а, Ь]). Тогда для любогот Е N существуют такие точки Х т , Ут Е [а, Ь], что If(im )-f(imХ т -УтПоложим)I > m.1т== IX m - Ут 1· Докажем, что для каждого т и длялюбого I Е (O'lm) существуют такие точки Xm(I),Ym(l) Е [0,1],что 1 ~ IXm(l) - Ym(I)1 < I и Ij(x m(,)) - j(Ym(,))1 > m. ПустьIx m (,) -2[с,d] ==[Х т , Ут],d-c_-,-, а Zj - с- j(zj-l)1~l -+ j(d-c)lmlzj - Zj-ll._при J - 0,1, ... , l. Предположим, чтоLIj(Zj) -для всех j. ТогдаlIj(d) - j(c)1 ~Ym(,)1минимальное натуральное число, большее, чемlIj(Zj) - j(Zj-l)1 ~j=1Lmlzj - Zj-ll == m(d - с),j=1l],что Ij(zjo) - j(Zjo-l) I > mlzjo - Zjo-II· Так как ~ :( IZjo - zjo-II < ,,(, томожно взять Х т (1) == Zjo-l И Ут (1) == Zjo· Выберем такое д > О, что длялюбой конечной системы S == {(ak' bk)}~=1 интервалов из [а, Ь] си мы пришли к противоречию. Поэтому существует такоеjOЕ [1,<1.nвыполненоLk=11j (Ь n )-j (а n )1Гл.358Абсолютно непрерывные функции15.Затем зафиксируем т2>I <б' и пусть1т таково, чточисло.
Возьмём систему изN одинаковыхNlxm(l) - Ym(I)1 < N I == д, ноТогдаNLIf(xmCY)) - ЛУт('У))д-::у -N ==целоеинтервалов (Х т (1)' Ут (1)).д1Nlf(xm('Y)) - ЛУт('У)) ~ N~m = 2т > 1.=1i=lПолученное противоречие доказывает, что15.16. Пусть Су' z Е [с,Sd].>ОДля заданного ЕЕ П([а; Ь]) с 8(В)еслиS -таково, что<>fЕ Lip(l, [а, Ь]).Ig(y) - g(z)1~О найдём такое дд выполнена оценкаY(f;zlCly ->Dдля любыхО, что для любого<В)2СЕ-+ 1.Тогда,такая система, тоВ) ~Y(g(f);CY(f;В)< Е.D15.17. Полагая f(x) == Х на [с, d], получим, что g(x) Е АС([с, d]).Предположим, что g(x) ~ Lip(l; [c,d]). Тогда из решения задачи 15.15следует,чтосуществуетпоследовательностьневырожденныхотрез-ков {[ak,bk]}~=l из [c,d], для которой Ig(bk) - g(ak)1 > k 1bk - aklи dk == bk - ak < k- 4 для k Е N.
Заметим, что из этой последовательности можно выбрать такую подпоследовательность {[ ak~ , bk~]} :. 1 '4что существует о; Е [а, Ь], дЛЯ которого 10; - ak,l :( .~ приiЕ N. Без~ограничения общности будем считать, чтовсеaiбольше а, либо всеk i == iменьше а. Тогдаaiдля всехiei == lai - ai+llи либо1~ ~ при~всехi.Пусть Tk= min{р: pdk > ~} при k Е N.
Тогдаk00L(ek+ 2dkr k) == У < 00k=lИ можно определить числа Х т следующим образом: Xlm-lХт==L(ek==О,+ 2dkrk)k=lдля т== 2,3, ...и Ут==Хт+ dmr m дляlimт----+ооПостроим функциюХт== limт----+оовсехУт==m.Заметим, чтоУ.f(x) на [О, У] следующим образом. Если т натуральное число, Х == Х т + 2ldm , где l - целое число из отрезка[О, r m], то пусть f(x) == а т .
Если Х == Х т + (2l - l)d m , где 1 ~ l ~ r m ,Гл.15.Абсолютно непрерывные функцииf(x) == Ь т . Доопределим f(x)[х т + qdm , х т + (q + l)d m] при m359то пустьпо линейности на каждомотрезкеЕN и О ~ q ~ 2r m - 1, и накаждом отрезке [Ут, х т +l], где m Е N. Наконец, пусть f(Y) == а. Тогдаf(x) Е Lip(l, [О, У]) (с константой 1). В то же время00VOY00L(g(f)) ~Это означает,чию.системыс.2r mm d m ~т=1что~g(f(x))V([O, У]),L2т2 ==00.т=1и мы пришлик противореDДля заданного с15.18.<L2r m lg(b m ) - g(am)1 ~т=1004Е П([а; Ь]) с5>О найдём такое д8(5) <Затем найдём такоеr >>О, что для любойд выполнено неравенствоО,Y(f; 5) <что для любой конечной системы8(5) < r выполнено неравенство Y(g; 5') < д.
Пусть5' == {(ck,dk)}~=l - такая система. Тогда невырожденные интервалы из системы g(5') == {(g(Ck),g(dk))}~=l попарно не пересекаютсяи 8(g(5')) < д. Следовательно,5'Е П([с;сd])Y(f(g); 5') == Y(f; g(5')) < с.D115.19. Пусть g(x) == УХ на [0,1], f(O) == О, f(2n) == О для n Е N,f( 2 1 1)n-отрезок~ при n Е N и f (х) продолжена по линейности на каждый=n11[k + l' k] для k Е N. Тогдаg(x)=J 2~ dfLПРИХЕ[О,l],(О,х)поэтому (см.
задачуЕпоэтомуто(см.15.12) g(x) Е АС([О, 1]). Далее, f(x)задачу 15.13) f(x) Е АС([О, 1]). В1 1 1g(f(-2 )) == О и g(f(21)) == nnng(f(x)) ~ V([O, 1]). D15.20.для n ЕLip(l; [0,1]),жевремяN, откуда следует, чтоПусть g(x) == х 2. Тогда g(x) - g(O) == х-----+ 00при х-----+ 00.хВ то же время, если [а, Ь] Сf2(x) == g(f(x))Е АС([а, Ь]).IRиf(x)Е АС([а, Ь]), то (см. задачу15.3)D15.21. Пусть Е с [а, Ь] и м(Е) == о.
Для заданного с > О найдём такое д > О, что (см. задачу 15.11) для любой счётной системыГл.36015.Абсолютно непрерывные функции{(ak' bk)}~=l попарно непересекающихся интервалов из [а, Ь] симеем00LIf(b k ) - f(ak)1 <с.k=l< д.Далее, существует открытое множество G ~ Е с м( G)Получаем00G ==U (ak, bk).k=lПустьf([ak, bk]) == [Ck, dk] == [f(Xk), f(Yk)] для всех k Е N. Тогда соответствующие интервалы {(min (Xk, Yk), тах (Xk, Yk))}~=l попарно непересекаются и00L00LIXk - Ykl ~k=l(b k - ak) == M(G) < д.k=lв то же время00f(E)сU [Ck, dk].k=lОтсюда следует, чтоТак как с15.22.>О0000k=lk=lпроизвольно, то тем самым м* (f(E))Пусть вначалеf(x)==о.DЕ С([а, Ь]) и обладает N-свойством Лузина на этом отрезке.
Пусть Е с [а, Ь]-измеримое относительноклассической меры Лебега М множество. Тогда (см. задачу7.65)Е == (О Fk) U Р,k=lгде всеТак какFkзамкнуты, и м(Р)f(x)о. в этом случаенепрерывна, то она переводит компакт в компакт (см. задачу 4.14) т. е. множестваN-свойством Лузина, тоf(E)==измеримо.f(Fk ) замкнуты. Так как f(x) обладаетf(P) измеримо.
Следовательно, множествоГл.Абсолютно непрерывные функции15.Пусть теперь функцияf(x)361Е С([а, Ь]) такова, что для любого измеримого Е с [а, Ь] множествотакже измеримо. Предположим,f(E)что существует такое измеримое множество Ео с [а, Ь] с м(Ео )что J-L(f(Ео ))> о.множество В Сf(E o).В не измеримо.
Мы пришли к противоf(A) ==DПредположим, что утверждение неверно. Тогда существует15.23.такое Ео{di,nРассмотрим множествоn Ео == {х Е Ео : f(x) Е В} == А с Ео .Тогда А измеримо, но=о,Из задачи 7.90 следует, что существует неизмеримоеf-l(в)речию.==> о,=что для любого натуральногоn существует система Вn==(ai,n,bi,n)}~:l Е Щ[а,Ь]) с 8(Вn) <~, для которойnY(f; Вn) > Ео·Положимmi,n == inf f(x)xEd~,nиMi,n == sup f(x).xEd~,nПустьinЕnU di,n==i=lприn Е N иnU00А ==00Еn ·r=ln=rТогда м(А)Пусть== о, откуда вт == min f(x)хЕ [а,Ь]силу условия (N) следует, что J-L(f(А))и М==таххЕ [а,Ь]если уравнениедля n Е N,о.Рассмотрим функцииf(x).f(x) ====у имеет корень наdi,n,иначе,i == 1,2, ... ,in и у Е [т, М] и функцииingn(y) ==LLi,n(y).i=lТогдаf gn(y) dfJ=IRЗаметим, что еслиinini=li=lL(Mi,n - mi,n) ~ L If(bi,n) - f(ai,n) I > Ео·g(y) -индикатриса Банаха функциидачу 8.52), то для любого n выполнено неравенстволожимD =={у Е IR:g(y) ==оо} иZ =={у Е IR:gn(y)f(x)gn(y)-f+ о~(см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
