1610912311-3cbc5b34357e1bf98e493aa337af68a6 (824698), страница 49
Текст из файла (страница 49)
задачу 14.18), что g(X) ЕЕ V([O, 1]) и при r > 2. Следовательно, f(x) Е V([O, 1]) тогда и толькохтогда, когдаr >1,т. е. при а+ (з > о.DЗЗ2Гл.14.Функции ограниченной вариацииВ силу результата задачи14.36.ждениедляв задаче2.4.монотонныхфункций.14.6достаточно доказать утверНо длянихоноужедоказаноD14.37. Пусть дано Е > о. Рассмотрим разность fl(XO + h) - fl(XO).Пусть хо < Ь и h > О (остальные случаи рассматриваются аналогично).Возьмём такое разбиение Т == {хо < хl < ... < х n == Ь} отрезка [хо, Ь],что VT(f) > Vd;o(f) - ~.
Выберем J > О так, чтобы J < ХlО< h < д,сIf(xo + h) - f(xo)1 < 2.то-ХО, и еслиПри таких h получаем+ h) - fl(XO) == V:ao+h(f) == V;o(f) - V;o+h(f) < VT(f)-fl(XO- Vd;o+h(f) + ~ :( If(xo + h) - f(xo)1 + If(xo + h) - f(Xl)1+n+ L If(Xk) - f(xk-l)1 - V;o+h(f) + ~ :( If(xo + h) - f(xo)1 + ~ < Е.k=2D14.38.приh>О14.39.Утверждение немедленно вытекает из неравенстваи аналогичного неравенства приh< о.DУтверждение вытекает из представления (см.
задачуf (х) == f 1 ( х) - f 2 ( Х ) ,гдеf 1 ( х) == VaX (f),и задач и14.37.14.6)DПо определению14.40.Из условияследует, что ряды в первой формуле абсолютно сходятся и их можнопереставлять как угодно. В частности, функция определена корректно.Положим 8(Х)мых, а 82 (х)-==81(Х)+ 82(Х),где 81 -сумма положительных слагаесумма отрицательных слагаемых из формулы для 8( х).Функции 81 (х) и 82 (х) по построению монотонны, а тогда их сумма функция ограниченной вариации.14.41.DУказанную функцию можно переписать в видеГл.Нонетрудно14.видеть,Функции ограниченной вариациичтоприлюбомконечномзззвыполненоNнеравенствоN(If(Xk + О) - f(xk)1 + If(xk) - f(xk -L0)1) :( V;(f).k=lОтсюда следует ограниченность суммы всего ряда, которая и означаеткорректность определения.Как было отмечено в решении задачи14.42.fD(If(xk + О) - f(xk)1 + If(xk) - f(Xk -14.41,0)1) :( V;(f)<00.k=lПредположим, чтоf(x)непрерывна в некоторой точкеограничения общности можно считать, чтоЕ>Онайдём такоеТакое6Е [а, Ь].
БезЕ (а, Ь). ДЛЯ заданногоО, что(lf(Xk + О) - f(Xk) 1+ If(xk) - f(xk -Lk:Xk Е6>tt0)1) < Е.[t-b,t+b]6<можно найти, так как еслиIt -Xkl приk ~ N, то всеXk,попавшие в указанный отрезок, относятся к остатку сходящегося ряда.Но тогдаIs(t + h) - s(t)1 <Е приЕhзадачи доказываются аналогично.[-6,6].Остальные утвержденияD14.43. В силу результата задачи 14.41 функция g(x) - ограниченной вариации на [а, Ь]. При этом в силу результата задачи 14.42 функцияg(x)непрерывна в каждой точке непрерывностиf(x).Пустьt -f(t + О)и f(t - О). Заметим, что по определению s(t) - s(t - О) == f(t) - f(t - О) и s(t + О) - s(t) == f(t + О) - f(t - О) - f(t) + f(t - О) ==== f(t + О) - f(t).
Поэтому g(t - О) == g(t) == g(t + О), т. е. g(x) непрерывна в точке t.Dточка разрываf(x).Тогда (см. задачу14.36) существуют14.44. Тот факт, что т - мера, проверяется так же, как в задаче 6.12. Покажем, что для любого промежутка 1 == l а, Ьl и для любого6>О найдётся такой интервал (с,Если Ь Е1,то возьмёмd ==d)::J1,то возьмём С==d)) < m(I) + 6.:( g(d) < g(b+ О) + ~. Еслиа, иначе по определению левого предела найдётсятакое число с < а, что g(a - О)интервал (с,что m((с,Ь, иначе по определению правого пределанайдётся такое число d > Ь, что g(b + О)а Е1,-~ < g(c) :( g(a - О). Построенныйd) подходящий.
Аналогично показывается, что для любогопромежутка 1 == lа, Ьl и для любого 6 > О найдётся такой отрезокЗЗ4Гл.(х, у) с1,14.что m((х, у))Функции ограниченной вариации> m(I) -д. Теперь а-аддитивность меры тустанавливается по той же схеме, что и в решении задачи6.21.D14.45. Ясно, что так как f(x) то для любых а ~ уf(z) - f(y)~<zLнеубывающая функция на [а, Ь],~ Ь имеем(f(Xk + О) - f(Xk -+ f(y + О) - f(y) +О))+ f(z) - f(z откуда следует утверждение задачи.О)== s(z) - s(y),D14.46. Пусть f(O) == О иLf(x) ==2- kk:tk ~xпри х Е (0,1].
Ясно, чтокорректно определённая неубываf(x) -ющая функция на [0,1]. Если хо Е [0,1] \ {tn}~=l' тоf(xo - О) ==== f(xo) == f(xo + О) (см. решение задачи 14.42), поэтому f(x) непрерывна в точке хо. Пусть х == t n при некотором n. Если t n > О, тоf(t n ) - f(t n - О) == 2- n, поэтому f(x) разрывна в этой точке. Еслиt n == О, то f(t n + О) - f(t n ) == 2- n, и f(x) вновь разрывна в этойточке.D14.47.Пусть Ро>Р и с>О произвольны. Опираясь на определение внешней меры, выберем такое открытое множествочто Е сG и р( G) ~ р* (Е)последовательность чиселn -----+ 00 и+ с.Для любого х Е Е существует такая{h n == hn (х) }~= l'f(xG с (а, Ь),+ hn )hn-f(x)~"чтоhn#-О,hn-----+ О приРоhn(x) столь малыми, что [х, х + hn(x)] с G.При hn(x) > О обозначим dn(x) == [х, х + hn(x)] и Dn(x) == [f(x), f(x ++ hn(x))] для х Е Е и n Е N.
При hn(x) < О обозначим dn(x) ==== [х + hn(x), х] и Dn(x) == [f(x + hn(x)), f(x)] для х Е Е и n Е N.Так как f(x) строго возрастает, то отрезки Dn(x) невырожденные.Поскольку p(Dn(x)) ~ Polhn(x)1 для всех х и всех n, то система отрезков D == {Dn(x)}~=l,XEE покрывает f(E) в смысле Витали. При меняяпри всехn.Можно считатьтеорему Витали (см.
задачу7.105), выберем такую последовательностьнепересекающихся отрезков {Dnk(Xk)}~=l сD,чтоГл.14.ЗЗ5Функции ограниченной вариацииВ силу возрастания функцииотрезки {dnk(Xk)}~=l с G также неfпересекаются. Следовательно,00==LIf(Xk + hnk ) - f(Xk)1 ~ Роk=lТак как Родоказано.>Ри Е>О00L00Ihnk(Xk)1 == Роk=lLJ-L(dnk(Хk))==k=lпроизвольны, то тем самым утверждение задачиD14.48. Пусть даны qo Е (О, q) и Е > о. Возьмём такое открытое множество G ::J f(E), что J-L(G) ~ J-L*(f(Е)) + Е. ДЛЯ любогоХ Е Есуществуеттакаяпоследовательность{h n == hn (Х )}~= l' что hn -----+ О приf(x+ hn )hn -----+-00f(x)nположительныхчисели~/"qohn(x) > О для всех Х Е Е и всех n Е N.Обозначим dn(x) == [Х, Х + hn(x)] и Dn == [f(x), f(x + hn(x))] для х Е Еи n Е N.
Так как f(x) непрерывна всюду на Е, то можно считать, чтовсе D n (х) вложены в G. Система отрезков {d n (х) } ~= 1,хЕЕ покрывает Едля всехn.Пусть для простотыв смысле Витали. При меняя теорему Витали (см. задачурем последовательность непересекающихся отрезков7.105),выбе{d nk (х k) } ~= l' длякоторойТак как функцияf(x)строго возрастает, то отрезки {Dnk(Xk)}~=lтакже попарно не пересекаются. Тогда== -1 J-L (00U Dnk (Xk) )qok=lПосколькуqoдоказано.DЕ (О,q)и Е>~ -1qoJ-L(G)~ -1 (J-L*(f(Е))qo+ Е).О произвольны, то утверждение задачиЗЗбГл.14.Функции ограниченной вариации14.49.
Пусть g(X) == f(x)говозрастающаяфункцияточекнепрерывностиболеечемсчётно.+хнапри х Е [а, Ь]. Тогда[а, Ь].функцииОбозначимтельных рациональных чисел,ПустьЕмножество-g(x)на[а, Ь].черезQ+множествоТогда[а, Ь]всех\всехЕнеположи[l' (х) == оо}и Ep,q == х Е Е : [l' (х) < Р < q < .9' (х)} для всех таких р, q Е Q+,что Р < q.
Заметим, что [l'(x) ~ 1 при всех х. Предположим, чтом*(Есх)) == а > о. Тогда в силу результата задачи 14.48 получим:м* (g(ECX))) > ra для любого r < 00, что невозможно. Следовательно,ЕСХ) измеримо и м(Есх)) == о. Далее, в силу результата задач 14.47и14.48положим ЕСХ)строg(x) -{х Е Е:==получаемпри всех р< q,что возможно только в случае, когда M*(Ep,q)Заметим, что множество всех точек интерваласуществует,можнопредставить(а, Ь),где==g' (х)о.нев видеА = ((а, Ь) \ Е) U Еоо U (U Ем ).p,qEC!J+:p<qИз предыдущих рассуждений следует, что м(А)==о, поэтому функцияg(x) дифференцируема п.в. на (а, Ь). Следовательно,== g(x) - х дифференцируема п.в.
на (а, Ь). D14.50.Заметим, что в силу результата задачии функция14.49f(x) ==производнаяf'(x) существует п.в. на (а, Ь). Продолжим функцию f(x) на IR: пустьf(x) == f(a) при х < а и f(x) == f(b) при х > Ь. Определим функциирn(х) == n(f(x + !) - f(x)) при х Е [а, Ь] и n Еnрицательны, и рn (х) -----+ f' (х) п.в.
на (а, Ь), поN.Эти функции неот-крайней мере во всехточках дифференцируемости. Более того,(L)ЬЬЬаааJ Fn(X)dlL=(R)JFn(X)dx=n(Jf(x+~) dx- Jf(X)dX) =(а,Ь)= n( -a+ lb+lаЬ(ЛХ) dx + (ль) dX) ~ ЛЬ) - Ла).По теореме Фату получаем, чтоf'(x)ЕL((a, Ь)),J f'(x) dlL ~ ЛЬ) - Ла).(а,Ь)Dи чтоГл.14.51.ЗЗ7Функции ограниченной вариации14.Утверждение вытекает из задач(о разложении функ14.6ции ограниченной вариации в разность монотонных) и14.50.D14.52.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
