1610912311-3cbc5b34357e1bf98e493aa337af68a6 (824698), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Поэтомуf11(х + h) - f(x)1 dfJ(x)=О[a,b-h]для любогоhЕ [о, Ь-g(x, h) == {f(XОа). Поскольку функция+ h) - f(x), а ~ х ~ Ь и О ~ h ~ Ь - х,-иначе~----+о306Гл.Пространства13.измерима на [а, Ь] х [О, ЬLpи некоторые другие nриложенияа], то в силу результата задачи-12.14 и теоремы Фубини имеют место равенстваJ( J0=[О,Ь-а)If(X+h)-f(х)ld/L(Х))d/L(h) =[a,b-h]J( J If(x + h) - ЛХ) d/L(h)) d/L(x),=(ii)I[а,Ь][О,Ь-х]откуда следует, что для почти всех х Е [а, Ь] выполнено равенствоfIj(x+ h) - f(x)1 d/L(h)О.=(iii)[a,b-х]Для р== 1равенствотеорему Фубини (задачаff[О,Ь-а][a,b-h]0=можно получить ещё проще. Используя(iii)12.4), получаемIf(x + h) - f(x)1 d/L(x) d/L(h)f f==Ij(x + h) - j(x)1 d/L(h) d/L(x).[а,Ь] [О,Ь-х]Поэтому для почти всех х Е [а, Ь] выполненоВ обоих случаях из условия(iii)почти всех х Е [а, Ь] и почти всех(iii).вытекает, чтоf(x + h) == f(x)дляЬ-аh Е [О, Ь - х]. Положим Уn == а + 2:;:-для каждого натурального n.
Тогда найдутся такие точки х n Е [а, Уn),чтоf(x) == f(x n )для почти всех х Е (х n , Ь]. Обозначим через Еn множество тех точек х из (х n , Ь], где равенствоПоскольку М([Уl, Ь]\Еn )==О при каждомf(x) == f(x n )nмножеств Еn непусто, а тогда все значениясправедливо.Е N, то пересечение всехf(x n )совпадают и функция00f(x)постоянна на множестве ЕU Еn ,==где м([а, Ь]\ Е) == о.Dn=113.64.Пусть дано Е> о.Найдём такоеN,чтоJ Ij(x)1 d/L < ~.Ixl~NОбозначим черезтакоеg(x)ограничение6 Е (0,1), что w(g; 6)1<f(x)сD[-N - 1,NЗ. Теперь, еслиf Ij(x + t) - f(x)1 d/L :( 2 fIRнаIxl~NItl~+ 1]и найдём6, тоIf(x) I d/L + ш(g; 0)\ < Е.Гл.Пространства13.111.13.65. Пусть С == supи некоторые другие nриложенияLpЗаметим, что u(х)(1 * g)(x)==307существуIRет в каждой точке х ЕТогда (см.
задачуIR.13.64)Jf(t)(g(x + h - t) - g(x - t)) dfL(t)lu(x + h) - h(x)l:(:(IR:( с f Ig(x + h - t) - g(x - t)1 dfL(t)---7ОIRприh -----+ О13.66.для каждого х ЕIR.DЗаметим, что в силу интегрируемости существует повторный интегралf f lf(x)1 dfL(X) dfL(t) = 2hllflll'(-h,h)IRlВ силу результата задачи12.14и теоремы Фубини (задача12.4)получаемJ =J J f(x + t) dfL(t) dfL(X) :( J J If(x + t) dfL(t) dfL(X)IIR (-h,h)=IR (-h,h)f f If(x + t)1 dfL(X) dfL(t)f f If(x) dfL(X) dfL(t)=I(-h,h)IR=2hllflll'(-h,h)IRlв то же времяff(x+t)dfL(t)f=(-h,h)f(t)dfL(t)=2h!h(x).(x-h,x+h)Отсюда следует, что J==2hll1hlll~1, как нетрудноIllh 111 == 111111· Dцательной функцииместо равенство2h111111.Отметим, что для неотривидеть из доказательства, имеет13.67.
Пусть q == ~1. По неравенству Гёльдерар-2hlfh(х)I =JJf(t) dfLt :( (2h) I/q ((x-h,x+h)If( t) IPdfL t ) I/P,(x-h,x+h)откуда следует, чтоIfh(X)I P :(2~f(x-h,x+h)If(t)I PdfLt=(lflP)h(X).308Гл.LpПространства13.Применяя результат задачии некоторые другие nриложения13.66,получаем, чтоDфункция> о.Пусть дано Е13.68.Еg(x)Тогда (см. задачус111 -gllp < з.непрерывности gh (х)чтоCo(IR),в силу её равномернойТак какIxl~иNIlg - ghll p <hg( х)-----+мерно на любом отрезке.
Но существует такоепри13.53) существует такаяN,Е (0,1). Следовательно, можносз при О<h< ho·g(x)приhЕCo(IR) ,то-----+ 0+ равночтоg(x) == gh(X) == онайти такое h o, чтоТогда при таких h, учитывая, чтополучаем (см. задачи 13.66, 13.67)(1 - g)h == Ih - gh,D13.69.IlfklllПо теореме ФубиниJ 1!k(t)1 dlL(t)=k=(0,1)t>-IJJf(x) dlL(X) dlL(t)~C-,;l,k)C-,;l,k)~~(iJi) 11(x)1 dfL(X) == 111111·k 'kD13 · 70 ·Понеравенству··Г ельдера. == 1, 2 , ... , kпри ~и Х Е[i-k-'- 1 ki)выполнена оценка(i kl,t)Используя задачу(i kl,t)13.69,получаем, чтоD13.71.функциятоgk (х)Пусть дано Еg(x)-----+> о.Е с([о, 1]), чтоg( х)приkТогда (см.
задачу111 -gllp <с13.50) существует такаяз. Посколькуg(x)Е с([о,1]),-----+ 00 равномерно на [о, 1]. Следовательно, можноГл.13.найти такоеk o,чтополучаем (см. задачи111 -LpПространстваIkll p ~111 -309и некоторые другие nриложениясIlg - ghll p < 3приk~ko·Тогда для такихk13.69, 13.70)gllp + Ilg - gkll p + Ilgk - Ikll p ~2111 -сgllp + 3 < с.D13. 72.
Доказательство такое же, как для мер (см.6.13). D13.73. Заметим, прежде всего, что {(А u В) ~ {(А)чиположим, что {(А)==решение зада+ [(В).Пред00. Тогда существует такое множество В 1 С А,В 1 Е М, что Ф(В 1 ) > 1. Пусть А 1 == А \ В 1 • Если {(А 1 ) == 00, тосуществует такое множество В 2 С А 1 , В 2 Е М, что Ф(В 2 ) > 2. Приэтом полагаем А 2 == А 1 \ В 2 • В противном случае {(В 1 ) == 00 и можновыбрать такое В 2 С В 1 , В 2 Е М, что Ф(В 2 ) > 2. При этом полагаемА 2 == В 1 \ В 2 . Продолжая этот процесс, мы получим один из двухвариантов.1. Бесконечное число раз реализуется случай Bk С A kтакихkмножестваBk-l1• Тогда дляне пересекаются со всеми последующими Bzи будет построена такая последовательность {Bk~}:l с М, что Bk~n B kJ ==е; приi -1- j и Ф(Вk~)>n1 при всех i.
При этомф (о вk')==00,~=1что противоречит условию.2.СBk-что(см.Начиная с некоторого номера1.k == koреализуется случайТогда будет построена такая последовательностьB io ~ B io + 1 ~задачу 13.72)•••и Ф(В i )для любого натуральногоn,>iпри всехBkС{B i } : с м,i ~ i o. В этом случаеи мы вновь пришли к противоречию.D13.74. Если для любого D с А, D Е М, имеем Ф(D) ~ О, то Аотрицательно. Пусть это не так. Тогда (см. задачу 13.73) О < {(А) <<00.Возьмём такое множество В! С А, В! Е М, что Ф(В!) > ,~A),и обозначим А!{(А 1 )===А \ В!. Тогда Ф(А!) < Ф(А) и ,(А!) < ,~A). ЕслиО, то можно взять В==А 1 , иначе мы повторим предыдущуюоперацию.
Продолжая этот процесс, мы получим один из двух случаев:либо не некотором шаге мы найдём отрицательное подмножество В СС А, В Е М, либо мы построим такую последовательность множеств310Гл.LpПространства13.и некоторые другие nриложенияиз М: А ::J А 1 ::J А 2 ::J ... , что Ф(А j + 1 )r(A J·)((А)~и.при J Е N.-.2)В этом случае положим< Ф(Аj )nA00в==i.i=lЗаметим,чтовФ(В) ~ Ф(А)<приJ,всехмножестватоDсилу результатазадачи13.72имеет местооценкао, в частности, В непусто, и так как {(В) ~изпредыдущихс В,D Е М, сМ_ == {АвыкладокФ(D)> о.следует,чтонеr(A j)существуетD13.75.
ПустьЕ М: А отрицательно }, и пусть а ==== inf Ф(А). Если М_ == 0, то можно взять А+ == Х и А_ == 0. ИначеАЕМ-а< о,чтои пусть {An}~=1такая последовательность множеств из М_,-lim Ф(А n ) == а. Обозначимn---+оо00Тогда Ф(А_) ~ Ф(А n ) при всех натуральныхФ(А_)А+D====Ха (заметим, что поэтому а\с А+,> -(0).откуда следует, чтоn,Докажем, что множествоА_ положительно. Если это не так, то существует множествоЕ М с Ф(D)D< о.В силу результата задачи 13.74 отсюдаследует, что существует отрицательное множество В СD с Ф(В)< о.
Но в этом случае множество Е == А_ u В отрицательно< Ф(А_) == а, что противоречит определению а. D13.76.и Ф(Е)<<Рассмотрим а-алгебру всех измеримых по Лебегу относительно классической меры подмножеств отрезкафункцию множестваФ(А)=J(х -[0,2] и на ней -1) dp,.АВ силу результата задачивидеть, что отрезок10.42это заряд. В то же времянетрудно[0,2] допускает два разложения Хана:[0,2] == [о, 1) u [1,2] == [о, 1] u (1,2],где первые множества отрицательны, а вторые-положительны.D13.77. Заметим, что Еп (А+ \В+) с А+ и Еп (А+ \В+) с В_.ОтсюдаФ (Еследует,n (В+ \А+))Ф (Е==чтоФ (Еn (А+ \В+))==о.Аналогично,о. Следовательно,n А+) ==Ф (Еn (А+ n В+)) ==Второе равенство доказывается аналогично.Ф (ЕDn В+).Гл.Пространства13.Lpи некоторые другие nриложения13.78.
Пусть В Е М, М(В) == О и Х == А+ U А_ Хана относительно заряда Ф. Тогда М(ВФ+(В)==Ф(Вn А+) == о.n А+) == о,Аналогично, Ф_(В)==311разложениеоткуда следует, чтоо.D13.79. Пусть Х == А+ (i) U А_ (i) - разложение Хана относительнофункции Фi, где i Е N. Без ограничения общности можно считать, чтоА+(1) с А+(2) сОбозначим...00U A+(i)D+ ==n A_(i).00D_ ==иi=li=l< О для каждого i, т. е. Ф(D_) ~ ~ J-L(D_), откуда следует, что Ф(D_) == о. ТогдаФ(D+) > О и, следовательно, J-L(D+) > о. Поэтому (см. задачу 6.17)существует такое n, что м(А+(n)) > о.
Но по определению множествоЯсно, что Х== D+Мы получили, что Фi(D_)D_.U~А+ (n) положительно относительно Фn.В силу результата задачи13.80.ждение для случая, когда ФF=D13.78достаточно доказать утвера-аддитивная мера. Обозначим-f f dfL ~ Ф(А){ЛХ) Е L(X): ЛХ) ;;: О на Х;при всех А Е М },Аи пустьs=f ЛХ) dfL ~ Ф(Х).supf(X)EF ХТогда существует такая последовательность {fn(X)}~=l с Р, чтоlim f fn(x) dJ-L == В.n----+ооХПустьgn(X)gn(X) ==тахl:::;;k:::;;nfk(X)для n ЕNи Х Е Х.
Тогда (см. задачу8.40)измерима на Х. Так какngn(x)L~fk(X)ЕL(X),k=lтоgn(x)ЕL(X)при всехn.Ясно,чтонеотрицательнаяgn(x) -функция на Х. Далее,ngn(X) ==Lk=lnfk(X)XEk(X),гдеХ==U Ek·k=l312Гл.Пространства13.Lpи некоторые другие nриложенияОтсюда следует, что для каждого А Е МJgn(X) dfLn=Апоэтомуgn(X)LJА(х) dfL :(k=l Еk пАnФ(Еk n А)L=Ф(А),k=lЕ Р. Заметим, что последовательность {gn(x)}~=lнеубывающая на х. Определим функциюf(x) == lim gn(x).Так какn----+ооn Е N,прито по теореме Б.
Леви (см. задачу 10.33)f(x)Еf(x)конечна п.в. на х,F иS== limn----+ооJ fn(x)dJ-L ~ J f(x)dJ-L ==Хоткуда следует,limn----+ооХчтоJgn(x)dJ-L ~ В,ХJf(x) dfL=S.хРассмотрим теперь а-аддитивную функцию л на М,формулойЛ(А)=определённуюJЛх) dfL·Ф(А) -АЭта функция неотрицательна (т. е. является а-аддитивной мерой) и абсолютно непрерывна относительно меры М. Предположим, что л ф- о.Тогда в силу результата задачи13.79кое множество В Е М, что М(В)выполнено неравенство (лделим функцию>существуют такое число n и таО и для любого А с В, А Е М,- ~ fL ) (А) ~ О. Тогда ~ м(А) :( Л(А).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
