1610912311-3cbc5b34357e1bf98e493aa337af68a6 (824698), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Пусть а ==j(x)g(x)ЕL(A)LpIlgll oo . Тогдаи некоторые другие nриложенияIj(x)g(x)1~alj(x)1п.в. на А. ПоэтомуиJIj(x )g(x) dfJ ~ а JIj(x) dfJ = Ilflll . Ilgll11Аoo ·АD13.10.Если==Р2то00,утверждениевыполняетсяприС(Рl, Р2, А) == (м(А)) l/Рl. В противном случае согласно неравенствуГёльдера получаемD13.11.Пусть А n=(n~ l' ~) приnЕ N иЗаметим, чтопри всехsЕ[1, (0).
Следовательно,в то же время для любогоr>рвыполнены равенстваDЗ а м е ч а н и е. В задаче13.11,так же как и в задачахможно также подобрать ответ в виде13.12.вначале рОпределим множества А n< 00.j(x) ===ха00j(x) ==Ln=1lnC(x + Ь)ХЕ(Х).(n ~ l' ~)Тогда положимn 1 / Р ХА п (Х).13.12-13.14,дляnЕ N. ПустьГл.13.ПространстваLp287и некоторые другие nриложенияПолучим, чтоJи(Х))Р d{J =00L nм(А n ) = LАn=1n=1с другой стороны, для любого r Е1и(х))тЕсли р==100[1, р)n+1имеем100~1 (n + 1)n1-т/рd{J == 00.<00.00, то положим00f (х) ==Lln (n+ 1) ХА п(Х) .n=1Ясно, что~f(x)Loo((O, 1)),но для любогоЕrвыполнены[1, (0)условияD13.13. Если р== 00, то положим f(x)f(x)ЕтеперьноL oo ((l, (0)),1 < Р < 00.f(x)~L p((l, (0))1 на (1,00).
Ясно, чтони при каком р < 00. ПустьОпределим функциюЗаметим, чтоJи(Х))Р d{J = L(1,00)поэтомуf(x)ЕnlnP(n + 1)<00,n=1L p ((l, (0)).J1001 ~ r < р.Пустьи(х){ d{J( 1,(0)100=LnТогдаr= 1 пР ln r (n+ 1)= 00.D13.14.Если рf(x)ЕЕсли р== 1,то можно использовать пример из задачи== 00, то положим f(x)1 наLoo((O, (0)), но f(x) ~ Lp((O, (0))Пусть теперь1<Р<функциюЕложимО при х ~g(x)g(x) ==Lp((O, 1)),(О,(0).13.11.Нетрудно видеть, чтони при каком р<00.00. Тогда (см.
задачу 13.11) найдём такуючтоg(x)~Lr((O, 1))при каждомr > р.По1. Далее, найдём функцию (см. задачу 13.13)288Гл.h(x)13.ПространстваLpи некоторые другие nриложенияЕLp ((l, (0)), не принадлежащую ни одному из L r ((l, (0)) приr Е [l,р). Пусть h(x) == О для х Е (0,1] и f(x) == g(x) + h(x). Если r > р,то f(x) ~ Lr((O, (0)), поскольку g(x) ~ Lr((O, (0)). Если r Е [l,р), тоf(x) ~ Lr((O, (0)), поскольку h(x) ~ Lr((O, (0)). D13.15.
Положим А 1 == {х: If(x)1 > 1} и А 2 == {х: If(x)1 ~ 1}.Тогда А == А 1 U А 2 • Заметим, что если s < r < р < 00, то на множестве А 1 выполнено неравенство If(x)lr ~ If(x)IP, а на множестве А 2 неравенство If(x)lr ~ If(x)IS. Поэтому при р < 00 выполнены оценкиJIf(x) Г dfJ J If(x)IT=+dfJА1А~J lf(x)I==TdfJPdfJJ If(x)I+SdfJ~ Jlf(x)I P dfJ + JIf(x)IА200,~А2А1Если же рJ lf(x)IАSdfJ <00.Ато по неравенству Чебышёва мА 1< 00,И выполняютсяоценкиJIf(x) Г dfJ J If(x)I=АTdfJ+J lf(x)ITdfJ~А2А1~ fJA 1 (llflloo)T +J If(x)ISdfJJ~ fJA 1 (llflloo)T + If(x)IА2SdfJ <00.АD13.16.Пусть для простоты1< s <Р <00.
Тогда (см. задачу13.11)найдётся такая функцияg(x) Е Lp((O, 1)), что g(x) ~ Lr((O, 1)) длякаждого r > р. Положим g(x) == О при х ~ 1. Затем найдём функцию (см. задачу 13.13) h(x) Е L s ((l, (0)), не принадлежащую ниодному из L r ((l, (0)), r Е [1, s). Положим h(x) == О при х Е (0,1]и f(x) == g(x) + h(x). Тогда, аналогично решению задачи 13.14, показывается, что f(x) - подходящая функция. D13.17.Пусть вначалеlim inf11Р-НХ)f11Р==а< 00.Это означает, что существует такая последовательность рnn -----+00,чтоlimn----+ооДля любого Ем({х Е А:>Оr 00приIlfll p == а.И для каждогопn по неравенству Чебышёва имеемIf(x)1 > а + Е}) == м({х Е А: If(x)IPn > (а + Е)Рп}) ~~1" (а + с) РпIlfll Pn_Рп -(Ilfll pn )Рп(а + с)-----+ОГл.приn13.ПространстваLpIlfll oo ~ а + Е,то Ilfll p -----+ 00-----+ 00.
Отсюда следует, чтоIlfll oo ==Следовательно, еслиIlfll oo < 00,289и некоторые другие nриложения00,Ilfll ooпоэтому~ а.при р -----+ 00. Еслито для любого р ~ Ро получаемl/р(JIf(x)I dM)Ilfll p ==ро~PIlflllo ·llfllooP,Аоткудавытекает,чтоlimsupIlfll p~р---+ооIlfll oo .Утверждение задачи следует из полученных неравенств.13.18. ЗаметимЕ [1,00]: ф(р)[1, а),задачи<(см.оо}задачулибочто13.10),пусто,либомножествоявляетсялибо является отрезком [1, а] (возможно, аDполуинтервалом== (0).Из решения13.1 О также следует, что если 1 ~ r ~ s и ф( s)ф(r) ~ ф(s).{р Е<00, тоD13.19. Выберемтакуюпоследовательность{nk}~=I'Ilfn - fnk I p < 1/2 k при n ~ nk. Предположим вначале, что м(А)Тогда (см. задачу 13.10) выполнены оценки Ilfn k+l - fnk111что< 00.< С /2 k ,гдевеличина С зависит от р и м(А).
Рассмотрим сумму00Ф(х)== Ifnl(x)1 + L Ifnk+l(x) - fnk(x)l·k=1По теореме Б. Леви (задача10.34)f Ф(х)dfJ <00,Апоэтому функция Ф(х) конечна п.в. на А. Тогда ряд00fnl (х)+L(fnk+l (х) - fnk (х))k=1абсолютно сходится,азначит,частичная сумма совпадает сисходитсяfnN+lположитьп.в.на А.(х) при каждомN.Но его N-яПоэтому, если00f(x) == fnl (х)+L(fnk+l (х) - fnk (х))k=1В точках, где ряд сходится иf (х) ==о в остальных точках, то мыполучаем утверждение задачи для случая м(А)пусть00А==U A z,[=1Оп. л. Ульянов и др.1<00.
В общем случае290Гл.13.гдеM(A z ) <00каждомприЕ N.lLpи некоторые другие nриложенияИз вышеизложенного следует,l существует конечнаяfnk (х) -----+ 9Z(X) при k -----+которойх ЕПространстваизмеримая функция00 п.в. на9z (х) на A z,A z . Полагая f(x) == 9Z(X)A z , где l Е N, получим требуемое утверждение.13.20. Пусть {fn} ~=1фундаментальная-что придляприDпоследовательностьвLp(A). Используя задачу 13.19, найдём подпоследовательностьfnk(X)' которая сходится п.в. на А к конечной измеримой функцииЛх). Заметим, что числаIf(x)IP dfL ограничены в совокупно-fАСТИВсилуIfnk (х) IP-----+фундаментальностиPIf(x) Iпри k -----+(см.
задачу 10.35)f(x)что для любых q, r>Е00последовательности{fn}~=l.Ноп.в. на А, и тогда по теореме ФатуПусть дано ЕLp(A).>КО выполнено неравенствоо. Найдём такое КО,Ilfqс-frll p < 2.ТаккакIfnk(X) - fnz(x)I P -----+ Ifnk(X) - f(x)I P при l -----+ 00 п.в. на А, топо теореме Фату Ilfnk - fll p ~ 2 при nk > Ко· Отсюда следует, чтоIlfr - fll p < Е при r > Ко.
D13.21. Пусть ат,n == Ilfn - fmll oo при т, n Е N исПо определению нормы в пространствекаждых т иLoo(A)имеем: м(Ат,n)==О дляn. Заметим, что последовательность {fn(x)}~=l равномерно фундаментальна на множестве00В==А\UАтn, ·т,n=1Как известно из курса математического анализа, в этом случае последовательность {fn(x)}~=l равномерно сходится на В к некоторойфункцииf(x), которая измерима на В. Пусть f(x) == О при А \м(А \ В) == о, то тем самым утверждение задачи доказано.какчу13.22.
Пусть дано Е > о.10.51) получаем оценкум ({х Е А: I f n (х)В. ТакDв силу неравенства Чебышёва (см. зада- f (х ) I > Е}) == м ({х Е А: I f n (х) - f (х ) Iр > ЕР}) ~:(E~f Ifn(x) - лх) IPdfL---7ОАприn -----+00.13.23.DУтверждение немедленно вытекает из задачимы Рисса (см. задачу9.19).D13.22и теореГл.13.LpПространстваи некоторые другие nриложения13.24.
Пусть fn (х) == n Зх ( _1_l) (х)291при n Е N. Ясно, что fn (х) -----+n+l 'n----+ О приn -----+----+ 00 для каждого х Еn00.(0,1), ноIlfnlll=NЗn(n+ 1)----+ 00 приD13.25. Ясно, что Ifn(x) - f(x)1 ::::} о при n -----+Ifn(x) - f(x)I ::::} о при n -----+~ 2P IF(x)I P Е L(A) при всех00на А, поэтомуна А. Более того, Ifn(x) - f(x)I P ~х Е А и при любом n. Применяя задачу 10.38, получаем сходимость в L p .DP13.26.00В силу результата задачиподпоследовательностьна А. ТогдаIfnk(X)I(см.
задачу 10.35)P-----+Ilfll p9.19 (теорема Ф. Рисса) найдётся{fnk(X)}' сходящаяся к f(x) при k -----+ 00 п.в.If(x)I P при k -----+ 00 п.в. на А, и по теореме Фату~ с. Пусть дано произвольное Е> о.Возьмёмтакое б > О, что б l / r - I / р < 4(с + 1)' Рассмотрим измеримое множествоЕВ С А с М(В)(JIfn (х) Г< д.dfL )I/rТогда (см. задачу 13.10)~в(J Ifn (х)IPdfL )I/P.(М(В) )I/r-I/p ~ Сб l / r - I /р < ~.ААналогично,JIf(x) Г dfL(l/r)<~.вНайдём теперь такоеN,что приА n == {х Е А:n ~ N для множествIfn(x) - f(x)1 >выполнены неравенства м(А n )< д.ПустьkSk(X) ==Ln=110*с+ 1) 1/}rТогда для таких n получаем оценкиD13.27.2(м(А)fn(x)292приГл.Еk13.ПространстваLpи некоторые другие nриложенияТогда по неравенству МинковскогоN.mmLдлякаждогот> k~{Sk}~=l фундаментальна вLp(A),n=k+lрОтсюда1.L~fn(x)n=k+lследует,Ilfn(x)ll pчтопоследовательностьпоэтому (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
