1610912311-3cbc5b34357e1bf98e493aa337af68a6 (824698), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Доказать, что f(x)· g(y) Е LJL(X 1 Х Х2 ).12.11. Пусть f(x) и g(x) из L(JR). Доказать, что h(x, t) ==== f(t)g(x - t)ЕL(JR) дЛЯ почти всех х Е JRl И что свёрmка f и 9 -функция(f * g)(x)=f f(t)g(x - t) dfL(t)IR-принадлежитL(JR).12.12. Пусть А с JR, J-Lj - классическая мера Лебега на JRj дляj == 1,2, f(x) Е L(A) - конечная неотрицательная функция иЕ == {(х,у) Е JR2: х Е А и О ~ У ~ f(x)}.Доказать, что Е -измеримое подмножество JR2 иМ2(Е)=f ЛХ) dfLl'А12.13. Пусть (Х 1 , М1 , Мl) и (Х2 , М2 , М2) - а-конечные измеримыепространства с полными мерами Мl и М2, J-L == Мl Х М2, М - со ответ-Гл.26412.Теорема Фу6uнu==ствующая а-алгебра. Доказать, что если множество АА l Х А 2 измеримо и имеет положительную меру, то множества А l и А 2 измеримы.12.14.
Пусть (Х l ,Мl ,Мl) и (Х2 ,М2 ,М2) - а-конечные измеримые пространства с полными мерами f-L 1 И М2, f-L == f-L 1 Х М2, М соответствующая а-алгебра,функцияfизмерима на Х==Х l Х Х2И существует повторный интегралJ( Jlf(x,y)1 dfJ2 (y)) dfJl(X) <1=ХlДоказать, чтоfЕ00.Х2L(X, М, м).РЕШЕНИЯ12.1. Ясно, что m(А) ~ О для любого А Е 5. ПустьnгдеA==A l xA 2 ==UA k ,А k ==Аl хА k п риkЕN.(i)k=1Тогда (см. задачу5.19) существуют такие системы попарно непересекающихся множеств {ci }i:l С 51 И {D j }.f=1 С 52, что множества А l ,Аl при k == 1, 2, ...
, n и А 2, Ak при k == 1, 2, ... , n представляются какобъединения некоторых изUА} ==и изCiDj, ... ,Ciсоответственно. ПустьA~ ==iEr2( 1)иUАт ==UCiiEr2(n), ... ,DjjEr(1)A~ ==UDj.jEr(n)Можно считать, чтоТогдаNКnnU U(CixDj)==AlxA2==U(AlxAk)==Ui=1 j=1k=1UU (CixD j ).k=1 iEr2(k) jEr(k)i Е [1, N] и j Е [1, К]существует единственное k Е [1, n], при котором i Е П(k) и j Е r(k).в силу разложенияТогда(i)для любых фиксированныхГл.12.Теорема ФуБUflU265пппLm(A k ) ==k=1Lm(Аl х Ak) ==k=1ml (Al)m2(Ak)==k=1n==LL LNLml(Ci )m2(Dj ) ==k=1 iEr2(k) jEr(k)LLml(Ci )m2(Dj ) ==i=1 j=1КN==КLml(Ci )i=1Lm2(Dj ) == ml(А l )m2(А 2 ) == m(А).j=1D12.2.Пусть00lU (Аl х Ak),2А == А Х А ==k=1где Al,Al,A~, ...
Е 51 И A2,AT,A~, ... Е 52. Рассмотрим полукольцо5~==51n А1 Сединицей А 1. Тогда ml -а-аддитивная мера на 5~, и еёможно продолжить по Лебегу. Обозначим это продолжение через Лl.Обозначим теперьfk(X) -fk(X)== m2(Ak)XAlk (Х) при Х Е Аl И k Е N. Тогдапростая функция на А l и, так как для любого Х Е А l выпол-нено равенствоUAk == А ,2k: XEA~то мыполучаем,что00Lfk(X)L==m2(Ak) == m2(А 2 )ХАl (Х).k: XEA~k=1Более того, в силу результата задачи00LJ Л(Х) dл!k=I A100=L6.1 Оm2(A~)m! (Аl) <00.k=1Отсюда по теореме Б.
Леви следует, что00L00m(Аl х Ak) ==k=1Lml (Al)m2(Ak)==k=100=J L fk(х)dл!Аl k=1D=л!(А!)m2(А 2 )=m!(А!)m2(А 2 ).Гл.26612.3.12.Теорема Фу6uнuЯсно, что утверждение справедливо, если А Епоэтому оно справедливо и для А Ение верно для последовательностиS ==М 1 Х М2 ,R(S). Предположим, что утверждевложенных множеств А 1 С А 2 С ...из М. Пусть00вU Aj==и< 00.М(В)j=1Докажем, что тогда утверждение верно дЛЯ В. Имеем00в 2 (х) ==U А](х)j=1для каждого х Е Х 1 • Поэтому В 2 (х) Е М2 дЛЯ почти всех х Е Х 1 •Далее, М2(Аз(х))М2(В 2 (х)) при j -----+ 00 для почти всех х Е Х 1 •rПоскольку мера Мl полна, то (см. задачу 8.43) функция М2(В 2 (х))измерима на Х 1 • Тогда в силу теоремы Б.
Леви (задача 10.32)Аналогично, если утверждение верно для последовательности вложенных множеств А 1 ~ А 2 ~...< 00из М, где м(А 1 )ито оно справедливо и для В.Пусть теперь А Е М. Тогда (см. задачу7.50)А может быть представлено в видеnU00А== F (А) \Ао00Ао ,Ai,j \(ii)i=1 j=1где Ai,j Е R(S) при i,j ЕN;A i ,1 С A i ,2 С ... для любогоi; если B i ==00==U Ai,jпри i Е<N, то В 1 ~ В 2 ~ ...
; М(В 1 )00;А о Е М и м(А о )==j=1==о. Предыдущие рассуждения показывают, что для множества Р(А)утверждение задачи верно.Пусть вначале м(А)==о. Так как м(А)==о, то множество Р(А)=О,также имеет меру о. Тогдаf М2(Р(А)2(х)) d/Ll(X)Х1Гл.Теорема ФуБUflU12.267О для почти всех х Е Х 1 относительно меры Мl. Поскольку мера М2 полна и А с Р(А), то М2(А 2 (х)) == Ооткуда следует, что М2(Р(А)2(х))==при почти всех х Е Х 1 • Так как мера Мl полна, то функция М2(А2(х))Мl -измерима,имыполучаем,/1(А)чтоо=f /12(А (х)) d/11.2=Х1Наконец,пусть дано произвольное А Е М с м(А)справедливо разложение<00.ТогдаЗаметим, что для множеств А о и Р(А)(ii).утверждение уже доказано. Но так как и мера, и интеграл аддитивны,то утверждение верно и дЛЯ А.12.4.Заметим,Dчто в силу результата задачи12.3утверждениеверно для индикаторов измеримых множеств с конечной мерой.
Тогда оно верно и для любой простой функции на А. Применяя задачу9.29,цийпостроим последовательность простых неотрицательных функgn (х, у)r f (х, у)на А. Из её существования следуют условия наизмеримость. Теперь применим к обеим частям равенства теорему Левии получим утверждение задачи.12.5.12.6.DУтверждение немедленно следует из задачиDПустьА n ,2 ==ипри n Е12.4.(!2 (~n + _1 ),~)n+lnN. Тогда положим An(i,j) == An,i х An,j для i,j == 1,2, n Е N,и определим функцию200f(x, у) ==Lnn=1Для каждого х Ена и(0,1)4L(-1)XAn(i,j)(X,у).i,j=lфункция ср(у)fi+j== f(x,СР(У) d/1(Y)=у) измерима и ограниче-О.(0,1)Действительно, при фиксированном х функция либо является тожде44ственным нулём, либо принимает два ненулевых значения nи -n намножествах равной меры. Аналогично, для каждого у Ефункция1jJ (х)== f (х, у)измерима и ограничена иf(0,1)ф(Х) d/1(X)=О.(0,1)Гл.26812.Теорема Фу6uнuв то же времяD12.7.
Пусть А n == (2- n ,2- n + 1 ) для n Е N и00f(x,у)==L4n (ХАпхА п (х, у) - 2ХА п + 1 хА п (х, у)).n=1Нетрудно видеть, что функция ф(х)== f(x,у) измерима и ограниченадля каждого фиксированного у Е (0,1), причёмfф(Х) dfJ(X)=О.(0,1)Действительно, если у Е А n , тоа для остальных х функция есть тождественный нуль. Следовательно,J (}(0,1)Лх, у) dfJ(X)) dfJ(y) = О.(0,1)С другой стороны,1О ~ х ~ 2'О,fЛх, у) dfJ(y)(0,1)=1f 4 dfJ= 2,12 < х < 1,1/2откуда следует,чтоJ( J f(x, у) dfJ(y)) dfJ(x)(0,1)= 1.(0,1)D12.8.
Пусть g(x, у) - функция, построенная в решении задачи 12.7. Тогда f(x, у) == (Ь - a)g(x, у) + а - искомая функция. DГл.fФункция12.9.12.Теорема ФуБUflU269измерима в силу своей непрерывности. Представим рассматриваемый интеграл в видеJJlf(x,y)ld/L=(0,00)2If(x, y)1 d/L +JIj(x,y)ld/L+(О,I)х(l,оо)(0,1)2+Jlf(x,y)ld/L+JIf(x, y)1 d/LJ!=+ J2 + Jз + J4 ·(l,оо)х(О,I)Ясно, чтоJ1получаем,что<00. Далее, используя результаты задач00J4 :(00J(}1е- ХУ dx ) dy00Jе:=112.4и11.4,Уdy <00.1Наконец,и, аналогично, Jз <00.Поэтому f(x,y) Е L((O, (0)2).D12.10. Пусть Х == Х 1 Х х2 • Заметим, что f(x) и g(y) - измеримыеФункции на х. Тогдаh(x, у) == f(x) . g(y) -В силу результата задачи12.4измеримая Функция на х.получаем, чтоJ Ih(x, y)1 d/L J Ij(x)1 d/L! . J Ig(y)1 d/L2 <=хПоэтомуh(x, у)Х2Х1ЕL(X).00.D12.11. Докажем вначале, что h(x, t) измерима на IR? Ясно, чтоf(t) измерима на IR? Заметим, что любая полоса а ~ х - t < Ь является измеримым множеством на JR2, откуда следует, что любое множество {(х, t) Е JR2: х - t Е А Е М} также измеримо.
Следовательно,g(x - t) - измеримая Функция на JR2, а тогда и h(x, t) измерима на JR2как произведение двух измеримых функций. Используя задачу 12.4,получим,чтоJ Ih(x, t) I d/L2 = JIf(t) I d/L( t) . JIg(x - t) I d/L( t) =IR2IRIR=Jlf(t)ld/L(t)· JIg(t)ld/L(t) <IRDIR00.Гл.270Теорема Фу6uнu12.12.12.
Предположим вначале, что функция f(x) ограничена на А,т. е. О ~[О, С]: Оf(x) < С для каждого х== to < tl < ... < t n == С.Далее, пустьiЕN.Е А. Возьмём разбиение Т отрезкаОбозначим Л(Т)==m~x It i - ti-ll.l~~~nA i == {х Е А: ti-l ~ f(x) < ti} и E(i, Т) == A i Х [О, ti] приОбозначимnЕ(Т)U E(i, Т).==i=lНетрудно видеть, что Е(Т) измеримо относительно М2 и (см. задачу10.31)М2(Е(Т))n=L tф(А i )---7JЛХ) d{J\Аi=lпри л(Т) -----+ о. с другой стороны,nЕ L Е(Т)==U (A iЕ(Т) \ Е сХ [ti-l' t i ]).i=lОтсюда следует, чтоnМ2(Е L Е(Т)) ~LnJ-L2(А i Х [ti-l' ti]) ~ л(Т)i=lLJ-Ll (A i ) == Л(Т)J-Ll (А).i=lТак как Т произвольно и л(Т) может быть сколь угодно мало, то мыполучаем, что Е измеримо относительно М2 иМ2(Е)Jf(x) d{J\.=АПустьтеперьf- неограниченная функция.f (х) < n + 1}, Еn == { (х, у)== {х Е А: n ~и fn(x) == f(X)XBn(X)ПоложимВn==Е Е: х Е Вn }при n Е N.
Тогда00ЕU Еn==n=lи, как показано выше, Еn измеримо относительно М2 при каждомn.Поэтому Е также измеримо относительно М2, и по теореме Б. ЛевиМ2(Е)00=Ln=lМ2(Еn )00=L Jfn(x) d{J\ = JЛХ) d{J\.n=l ААD12.13. Рассмотрим функцию f(x, у) -индикатор множества А.Она измерима относительно произведения мер, как и любой индикаторизмеримого множества. По теореме Фубини (задачаf(x,yo)12.4) функцияJ-LI-измерима как функция от х при почти всех значениях уоГл.12.Теорема ФуБUflU271(относительно меры М2). Следовательно, либо найдётся Уа, при которомфункцияf(x,Уа) МI- изме рима, либо М2А2втором случае м* Афункцияf(x,====о. Нетрудно видеть, что воо, что противоречит условию. Но при любом УаУа) есть индикатор множества А 1 , т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
