1610912311-3cbc5b34357e1bf98e493aa337af68a6 (824698), страница 40
Текст из файла (страница 40)
её измеримостьэквивалентна измеримости множества А 1 • Аналогично доказываетсяизмеримость множества А 2 .D12.14.В силу результата задачичай неотрицательной функцииf.10.24достаточно рассмотреть слуВозьмём такие множества A~ из М1И множества A~ из М2 , что их мера конечна, AJ с AJ+l при kи всех натуральныхj.== 1,2Определим функцииfn (х, У) == min {f(x, У), n }ХАl (х )ХА2 (У).ппЭти функции измеримы и интегрируемы по Лебегу на Х, посколькуJfn(x, у) dfL :( ЩL! (A~)M2(A;,) <00.хПо теореме ФубиниJ fn(x, у) dfL J( JIfn(x, y)1 dfL2(Y)) dfL!(X) :( 1.=хЗаметим, чтоХ1fn(x,У)Х2r f(x, У)теорему Б.
Леви, получаем, чтовсюду на Х при n -----+ 00. При меняяfЕL(X, М, м).DГлаваПРОСТРАНСТВАИLp13НЕКОТОРЫЕ ДРУГИЕПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛА ЛЕБЕГАв этой главе мы будем использовать следующие обозначения. Пусть1~ р ~ 00. Для заданного р положимррq == q(р) ==если- l'1< Р < 00,00 ,еслир==1,еслир==оо.Отметим, что во всех случаях1-р+ -q1 ==1,1,если считать, что-100==о.Мы будем считать, что нам дано а-конечное измеримое пространство(Х, М, м) и множество А Е М. ЧерезнекоторомL((a, Ь)),где (а, Ь) СIRnприn ~ 1, будем обозначать множество функций, которые интегрируемы по Лебегу относительно классической меры М на (а, Ь).Напомним, что если Е-линейное пространство, а Ео-линейноеподпространство в нём, то фактор-пространством Е / Ео называетсямножество классов эквивалентности элементов из Е относительно следующего отношения эквивалентности: хrvу, если х-у Е Ео , с индуцированными линейными операциями.ПустьJ(A) -линейное пространство всех измеримых функцийна А (с поточечным сложением и умножением на скаляр), а Jo(A) подпространство всех измеримых функций на А, равных нулю п.в.на А.
ОбозначимЕр(А) ={f(x)Jlf(x)IPdfL < оо}.Е J(A):АПространствомLp(A) == Lp(A, М, м)Ер(А) / Jo(A) с нормойIlfll=Ilfll p= (называется фактор-пространствоJPlf(x)I dfL )Аl/р.Гл.13.ПространстваLp273и некоторые другие nриложенияКорректность этого определения будет показана в задаче13.4.Там, гдеэто не приводит к недоразумениям, мы будем называть элементы этогопространства функциями.Вэтойглавебудутвстречатьсяфункции на а-алгебрах (заряды).нечнымиа-аддитивнымимерамитакжеконечныеа-аддитивныеРазличие между зарядами и косостоиттребуется неотрицательности. Пусть М-втом,чтодляа-алгебра и Фпервых-неконечнаяа-аддитивная функция на М.
Множество А Е М называется положительным (относительно Ф), если для любого В Е М, В с А, выполнено условие Ф(В) ~ о. Аналогично, если А Е М и для любогоВ Е М, В с А, выполнено условие Ф(В) ~ о, то множество А называется отрицательным. Предположим, что Ма-аддитивная мера-(конечная или а-конечная) на М и для любого такого А Е М, чтом(А)==о, выполнено условие Ф(А)==о. Тогда Ф называется абсолютнонепрерывной относительно М.ЗАДАЧИ1<Р <13.1.Пусть00 и а, Ь ~ о.
Доказать, что13.2.Неравенство Гёльдера. Пустьи1<Р<функции00,j(x)g(x) измеримы на А и таковы, что Ij(x)I и Ig(x)I из L(A). Доказать,что j(x)g(x) Е L(A) иPlf(x)g(x)1 dlL:::; (} lf(x)I PdlL У/РJА13.3.QхА(} Ig(x)l dlLy/q,АНеравенство Минковского. Пустьиqg(x) измеримы на А и таковы,что Ij(x) + g(x)I P Е L(A) ичтоIj(x)IPи1~рIg(x)IP< 00,изфункцииL(A).j(x)Доказать,(JIf(x)+g(X)IPdILY/P:::; (JIf(X)IPdILY/P + (Jlg(X)IPdILY/P,А13.4.АДоказать, чтоLp(A)Ас введённой в нём нормой -корректноопределённое линейное нормированное пространство.13.5.аJo(A) -на А, иПустьJ(A) -множество всех измеримых функций на А,множество всех измеримых функций на А, равных нулю п.в.274Гл.13.LpПространстваL А) == {! (х) ЕJ ( А):00 (11f11и некоторые другие nриложения== ess su р f (х ) ==0011> О: М ( {хЕ А:хЕА{а== inf1f (х ) > а}) == О} < оо} .1Доказать, что Loo(A) == Еоо(А)! Jo(A) с нормойIlfll oo-линейноенормированное пространство.зать,f -Пусть13.6.измеримаяфункциянамножествеА.Докачто> О: М ( {хinf {аПусть13.7.1<Е А:<Р1f (х ) >1а})==Доказать,00.О}== inf su р 9 (х )что11·grvfXEAнеравенствоГёльдера(см.
задачу13.2) обращается в равенство тогда и только тогда, когдадля некоторых а ~ О и fЗ ~ О с а + fЗ > О равенство alf(x)I P == fЗlg(х)lqвыполнено п.в. на А.1 < Р < 00. Доказать, что неравенство Минковского(см. задачу 13.3) обращается в равенство тогда и только тогда, когдаПусть13.8.длянекоторых а ~ О и fЗ ~ О с аравенствоaf(x) ==+ fЗ >О п.в.на А выполненоfЗg(х).13.9. (Расширение неравенства Гёльдера.) Пусть f(x) Е L 1 (А)иg(x)ЕДоказать, чтоLoo(A).L(A)иJIj(x)g(x)1 dfJ ~ Ilflll .
Ilglloo 'f(x)g(x)ЕА<13.10. Пусть м(А)зать, чтоff(x)ЕL P1 (А)f(x)~f(x)Еf(x)Пусть1L p ((l, (0)),13.14.~00Иf(x)ЕL p2 (A).Дока<рдля00.Построитьr >любогортакуюфункциювыполненоусло-Пустьчто1Lp((O, (0)),чтор ~ 00.ЕLr((O, 1))<рf(x)~Построитьр~~функциюf(x)~при всех r Е [l,р).00.ПостроитьL r ((l, (0))~такую00.такуюфункциюдля любого r Е [l,р).Построитьтакуюфункциюf(x) ~ Lr((O, (0)) для любого r Е [1,00] \ {р}.13.15. Пусть м(А) == 00, 1 ~ s < r < р ~ 00 и f(x) Е Ls(A) n Lp(A).Доказать, что f(x) Е Lr(A).f(x)Е<чтоLp((O, 1)),13.13.< Р2Lr((O, 1)).13.12. Пусть 1~1 ~ Рlи13.11.
Пусть1 ~(х) Е L p ( (О, 1)),чтовие00,Гл.Пространства13.и некоторые другие nриложенияLp27513.16. Пусть 1 ~ s < р ~ 00 и [s,p] -1- [1,00]. Доказать, что сущеf(x), что f(x) Е Lr((O, (0)) при r Е [s,p], ноf(x) ~ Lr((O, (0)) при r ~ [s,p].13.17. Пусть f(x) Е Lp(A) при всех р ~ ро ~ 1. Доказать, чтоствует такая функциясуществует конечный или бесконечный предел величинв случае его конечностиfЕlim11fа если предел бесконечен, то==р ==11f1111СХ),~LCX)(A).f(x) - измеримая13.18. Пусть м(А) ~ 1 изать, что функция ф(р)fпричёмиLCX)(A)Р---+СХ)Ilfll p'Ilfll p неубывает нафункция на А. Дока[1,00] (мы допускаембесконечные значения).13.19.
Пусть 1 ~ рвательность ви {fn(x)}~=l< 00-фундаментальная последоДоказать, что существует подпоследовательностьLp(A).{fnk}~=l' сходящаяся п.в. на А к некоторой конечной измеримой на Афункцииf(x)приk00.< 00.-----+13.20. Пусть 1 ~ рДоказать, что пространствоLp(A)полно.13.21. Доказать, что пространство LCX)(A) полно.что13.22. Пусть 1 ~ р< 00fпри n -----+00вLp(A).Доказать,f n (х) ::::} f (х)00 на А.< 00 и fn -----+ fпри n -----+00вLp(A).Доказать,приn13.23. Пусть 1 ~ риfn-----+-----+что существует подпоследовательностьприk-----+00{!nk }~= l'сходящаяся кf (х)п.в.
на А.13.24. Построить такую последовательность {fn(x)}~=l ограниченных функций на (0,1), что fn(x) -----+ О при n -----+ 00 при каждомх Е (0,1), но Ilfnlll -----+ 00 при n -----+ 00.13.25. Пусть 1 ~ рс< 00,Lp(A), функции f(x) ина А и Ifn(x)1 ~ IF(x)1 припри n -----+ 00 в Lp(A).13.26. Пусть м(А){fn(x)}~=l сLp(A),дана последовательность {fn(x)}~=l сР(х) изLp(A), fn(x) ::::} f(x)всех х Е А и всех< 00, 1 ~функцияrf(x)n.Доказать, чтоn -----+ 00fn -----+ f< р < 00,дана последовательностьЕпричёмLp(A),00 на А и существует такое С > О, чтоДоказать, что fn -----+ f при n -----+ 00 в Lr(A).nпри-----+Ilfnllpfn(x) ::::} f(x)при~ с при всехn.13.27.
Пусть 1 ~ р ~ 00, дана последовательность {fn(x)}~=lфункций изLp(A)иСХ)L Ilfnllp < 00.n=1276Гл.LpПространства13.и некоторые другие nриложенияДоказать, что ряд00сходится вLp(A),сходится абсолютно п.в. на А и что0000n=1n=1р13.28. Пусть {fn(x)}~=l и f(x) -< 00.на А, где м(А)и только тогда,конечные измеримые функцииДоказать, что fn(x) ::::} f(x) при n -----+ 00 на А тогдакогдаIfn(x) - f(x)1 d -----+ О1 + Ifn(x) - f(x)1 мJАприn -----+00.13.29. Построить такие конечные измеримые функции {fn(x)}~=lи f (х) на IR, что f n (х) ::::} f (х) при n -----+ 00 на IR, ноIfn(x) - f(x)1 dM ~ О1 + Ifn(x) - f(x)1JАприn -----+00.13.30.
Пусть J(A) - множество всех конечных измеримых функций на А и Jo(A) == {f(x) Е J: f(x) == О п.в. на А}. Доказать, что- J +If(x)If(x)- -g(x)1g(x)1 d!Jри, g) -1А-метрика на фактор-пространствеL o == J(A)/Jo(A).13.31. Доказать, что не существует метрики на фактор-пространстве L == J([O, l])/Jo([O, 1]) (с классической мерой Лебега), сходимостьпо которой эквивалентна сходимости п.в. на [О, 1].13.32.Пусть1~ р ~ 00,р{fn(x)}~=l функций изПусть такжевL 1 (А)fn-----+1-fвLp(A),Lp(A)функциипри n -----+1,даныf(x)ЕпоследовательностьLp(A)иg(X)00.
Доказать, чтоЕLq(A).fng -----+ f 9при n -----+ 00.13.33.Пусть1~ р ~ 00,1-р{fn(x)}~=l функций изций из+ -q1 ==Lq(A),функции+ -q1 ==1,даныпоследовательностьLp(A), последовательность {gn(x)}~=l функf(x) Е Lp(A) и g(X) Е Lq(A). Пусть при этомГл.13.LpПространстваи некоторые другие nриложения277f в Lp(A) при n -----+ 00 и gn -----+ 9 В Lq(A) при n -----+ 00. Доказать,что fngn -----+ fg в L 1(A) при n -----+ 00.13.34. Пусть Ф(u) - неотрицательная неубывающая непрерывнаяна [О, (0) функция, причём Ф(О) == О и Ф(u) > О при и > о.
Пусть f(x)и {fn(x)}~=1 - конечные измеримые функции на А иfn-----+JФ(lfn(х) -f(x)l) dp,---7ОАпри n -----+ 00. Доказать, что13.35. Пусть 1fn(x) ::::} f(x)< Р < 00,1-р+ -q1 ==Доказать, чтоIlfll p =supg(X)ELq(A):при n -----+ 00 на А.1 и дана функция f(x) Е Lp(A).Jf(x )g(x) dp,АIlgllq~ 1и что существует такая функция11fll pgo (х)ЕL q (А)с11 go 11 q == 1,чтоJf(x )go(x) dp,.=А13.36. Пусть 1 < РIlfll p > о. Доказать,которого Ilgo 11 q == 1 ии<100, -р+ -q1 ==1, дана функция f(x) Е Lp(A)что элемент (см. задачу 13.35)11fll p=g(x)ЕLq(A),дляJf(x )go(x) dp"Аединственен.13.37. Пусть дана функция f(x) Е L 1(А).
Доказать, чтоIlflll=supg(X)EL(X) (А):Jf(x)g(x)dp,АIlgll(X)~1и что существует такая функция11go(x)ЕLoo(A),чтоIlgoll oo == 1 иfll l = Jf(x )go(x) dp,.А13.38. Построить такие функции f(x) Е L 1((0, 1)) и gl(X),g2(X) ЕЕLoo((O, 1)),чтоIlgllloo == IIg21100 == 1 иJJААО < Ilflll = f(x )gl (х) dp, = f(x )g2(X) dp"ноgl(X) -1- g2(X)вLoo((O, 1)).278Гл.13.LpПространстваи некоторые другие nриложения13.39. Пусть f(x) Е Loo(A). Доказать, чтоIlfll oosup=g(X)E L 1(A):Jf(x)g(x) dfL·АIIgl1 1 ~113.40.
Построить такую функцию f(x) Е Loo((O, 1)), что для любойg(x)ЕсL 1((0, 1))Ilglll~1 выполненоJ f(x)g(x) dfLнеравенство<Ilfll oo ·(0,1)13.41. Построить такие функции f(x) Е Loo((O, 1)) и gl (х), g2(X) ЕЕIIgl111 == IIg2111 == 1 иL 1 ((0, 1)), чтоО < Ilfll oo=Jf(x)gJ (х) dfL Jf(X)g2(X) dfL,=Ановgl(X) -1- g2(X)13.42. ПустьL 1 ((0, 1)).1 < Р < 00, q == ~1' функция f(x) измеримар-на А ичтоАf(x)g(x) Е L(A)f(x) Е Lp(A).дЛЯ любой функцииg(x)ЕLq(A).Доказать,13.43.
Пусть функция f(x) измерима на А и f(x)g(x) Е L(A) дЛЯлюбой функцииLoo(A). Доказать, что f(x) Е L 1 (А).13.44. Пусть функция f(x) измерима на А и f(x)g(x) Е L(A) дЛЯкаждой g(x) Е L 1 (А). Доказать, что f(x) Е Loo(A).13.45. Пусть 1 ~ р < 00, функция f(x) измерима инеотрицательнана А и Ff(t) == F(t) == м({х Е А: f(x) > t}) при t > о. Доказать, чтоg(x)ЕJи(х))Р dfLАгде мl-=РJt p - JF(t) dfLJ,(0,00)классическая мера Лебега на(0,00)(возможно, обе частиравенства бесконечны).13.46. Пусть (х 1 ,м1 ,мl) и (Х2 ,М2 ,М2) - а-конечные измеримыепространства, А 1 Е Мl, А 2 Е М2 , конечная неотрицательная функцияf (х) измерима на А 1 , конечная неотрицательная функция g(y) измерима на А 2 иГл.13.при всехПространстваLp~ о. Доказать, что для любого р ЕtвенствоJIflP279и некоторые другие nриложения[1, (0)выполнено ра-JIglP dfL2dfLl =А2А1(возможно, оба интеграла бесконечны).13.47.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
