1610912311-3cbc5b34357e1bf98e493aa337af68a6 (824698), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Пустьf(x) ==12 Х(l,оо)(Х)Иg(x) ==х+;1 Х(-оо,о)(х).Ясно, чтом({х Едля любогоtDt<О12 Х(l,оо)(Х)хЕL(IR), g(x)IR: f(x) > t}) ==~ о. Но прим({х Еf(x)Dм({х Е~L(IR)иIR: g(x) > t})выполнены равенстваIR: f(x) > t}) ==00==м({х ЕIR: g(x) > t}).+300Гл.13.ПространстваLpи некоторые другие nриложения13.49. Пусть вначале g(x) - простая функция. Тогдаng(x) ==LCkXAk(X),k=lгде О< Cl <С2< ...
< СП,а измеримые множества конечной мерыпопарно не пересекаются. Получим, что Р(у)Р(у)при Ci-l< У < Ci,гдеf=i == 1,2, ... , n==AkО при у ~ СП Иf(x) dp,и Со==о. Поэтомуn=Lв общем случае построим (см. задачуf ЛХ) dp, f f(X)g(X) dp,.=Ci~=l9.29)A~Атакую последовательностьgn (х)простых неотрицательных функций, чтона А. Так как00gn (х)r g( х)приn -----+ 00U Ay(gn)Ay(g) ==n=lРn(у)fЛХ) dp, l' Р(у)Ay(gn)при n -----+00для каждого у Е(0,00).Так какfn(x)g(x)r f(x)g(x),то,вновь применяя теорему Б.
Леви, получаем, чтоf Р(у) dJ-Ll == limn----+оо(0,00)f Рn (у) dJ-Ll ==(0,00)=fnl~~ f(x)gn(x) dp,А=f f(x)g(x) dp,.АD13.50.Ясно, что достаточно доказать утверждение для неотрицательных функцийf(x).Пусть последовательность {fn(x)}~=l простыхнеотрицательных функций на [а, Ь] такова, чтоfn(x)r f(x)при n -----+00Гл.13.LpПространства301и некоторые другие nриложенияна [а, Ь]. Тогда, при меняя теорему Лебега (см. задачу 10.37), получаем,чтоJ 11(х) - In(x)I111 - Inll~ =PdfL----tО[а,Ь]приn -----+00. Отсюда следует, что достаточно доказать утверждение дляf (Х).простыхНО простая функция является линейной комбинациейхарактеристических функций измеримых множеств. Поэтому достаточно доказать утверждение дляf(x) ==ХА(Х), где А с [а, Ь] измеримое.По определению измеримого множества существует такое множествоmА1nU П (ai(q), bi(q)),==q=l i=lчто м(А L.
А 1 ) < (~y. Отсюда следует, чтоТеперь при достаточно малых д>О рассмотрим непрерывные функции hi,q,б(Хi), равные 1 приЕ(ai(q) +приXi(ai (q), bi (q) ) и линейные наq == 1,2, ... ,т и i == 1,2, ... ,n. Положимxi~mhб(Х)==Lд,bi(q) -оставшихсяд), равные нулюинтервалах,гдеnП hi,q,б(Хi) Е С([а, Ь]).q=l i=lЗаметим, что hб(Х)r ХА 1 (Х)всюду.
По теореме Лебега при достаточно малом д>IIXA - hll p < Е,откуда следует утверждение задачи.О выполнено неравенство13.51. Пусть даны f(x) Е Lp([a, Ь]) и Есуществует такая функцияg(x)IIXA 1> о.-hбll рс< 2.ПоэтомуDТогда (см. задачу 13.50)Е С([а, Ь]), чтореме Вейерштрасса существует такой многочленсIlf - gllp < 2.q(x),По тео-чтосx~[~] Ig(x) - q(x)1 ~ 2(м([а, ь]))l/ р 'ТогдасIlg - qllp < 2'13.52.поэтомуПусть вначале nIlf - qllp < Е.== 1.DТогда в силу результата задачимножество всех многочленов всюду плотно вLp([a, Ь]).13.51Но тогда счётное множество всех многочленов с рациональными коэффициентами302Гл.13.Пространстватакже всюду плотно вLp([a, Ь]).членаР(х) ==LpnLи некоторые другие nриложенияДействительно, если даны два многоnCk xkQ(x) ==иk=Odkx k ,Lk=Oто имеет место оценкаSUp[а,Ь]IP(x) - Q(x)1 ~ mах{1, lal n , Ibln}nLICk - dkl·k=OПоэтому, заменяя коэффициенты многочлена достаточно близкими рациональными числами, получим достаточно близкий в метрике пространстваПриnLp([a, Ь])>многочлен с рациональными коэффициентами.можно провести аналогичное доказательство с исполь1зованием многомерных аналогов теоремы Вейерштрасса.
Мы проведёмдругое рассуждение.Как показано в решениизадачи13.50, любую функцию из L pможно сколь угодно точно приблизить ВLp([a, Ь])функцией видаnf(x) ==LCkXEk (х),(i)k=lгдеEk-измеримые множества. Обозначим черезWсовокупностьnвсех множеств вида В==U lak, bkl,k=lно видеть, что совокупностьakЕQnиbkЕQn.Нетруд-счётна и для любого измеримого АW, что м(А L В) < еР, т. е.IlxA - XBllp < е. Поэтому любую функцию вида (i) можно сколь угодноточно приблизить В метрике L p функцией видапри каждом е>WгдеО найдётся такое В Еng(x) ==LQjXB J(х),k=lа множество таких функций счётно.D13.53. Пусть даны f(x) Е Lp(IR) и е > о. Тогда в силу теоремыЛебега (см.
задачу 10.37) найдётся такое N, что( J lf(x)I PdlL У/Р <~.Ixl>NПрименяя задачу 13.50, найдём такую функцию(J[-N,N]h(x)l/рPIj(x) - h(x)I dlL )<~.ЕC([-N, N]),чтоГл.LpПространства13.и некоторые другие nриложениязазВыберем Ь > О так, чтобы шах (Ih( -N)I, Ih(N)I)b 1/ p < ~, и определимфункциюIxlдляЕg(x)~Co(JR)Е+дNсовпадающую сC(JR),h(x)и линейную на оставшихся[-N, N], g(x) == оинтервалах.
Тогда g(x) Епри х Еи( J Ig(x)IPdfL )l/рJ:( (Ixl~NПусть Pn,k -Ilf -gllp <с.Ixl > n,где n ЕNDмножество функций, равных многочлену с рациональными коэффициентами степени не вышеприl/р <~.N~lxl~N+8Из полученных оценок вытекает, что13.54.Ig(x)I P dfL )иkЕN.k[-n, n]наи нулюЯсно, что множество00РU==Pn,kn,k=lсчётно. Пусть теперь даны функция f(x) Е L p (JRl) И число с> о.
В силу результата задачи 13.53 найдётся такая функцияIlf -сgllp < 2·Выберем такоеn, что g(x) == О приВейерштрасса найдётся такой многочленшах1XE[-n,n]ql (х),9 (х) - q1 ( Х ) ~1чтос2(2n)1/ .рМожно считать (см. решение задачи 13.52), чтональные коэффициенты. Обозначим черезиндикатор отрезкаIlf -Qllp < с.[-n, n].g(x) Е Co(JR) , чтоIxl ~ n. По теоремеТогдаq(x)произведениеq(x)Е Р иимеет рациоql(X)Ilg -ql(X)сqllp < 2'натак чтоD13.55. Ясно, что р(А, В) ~ О и р(А, В) == р(В, А) дЛЯ любых множеств А и В из М. Далее, так как АLВ с (АLС)любых множеств А, В и С из М, то р(А, В) ~ р(А, С)u(ВLС) дЛЯ+ р(В, С).D13.56.
Пусть вначале пространство Lp(X) сепарабельно. Тогдаегоподмножеством(А L В)==пространствоIlxA -{ХА (х)} АЕМтакжесепарабельно.ПосколькухВ II~ дЛЯ любых множеств А и В из М, то(М,р)сепарабельно.Обратно,пустьпространство(М, р) сепарабельно. Тогда сепарабельно и множество всех простыхфункций. Но простые функции всюду плотны вLp(X) сепарабельно. D13.57. Пусть ft(X) == X[O,t](x) дляLp(X),так что и всёпространствотакихфункцийимеетмощностькаждогоконтинуума,tЕ [0,1]. Множествоноеслиtl#-t2, то304Гл.IIft1 - f t211ство.13.ПространстваПоэтому== 1.00Lpи некоторые другие nриложениянесепарабельное пространL oo ([O,l]) -DIlf - cll p .13.58.
Пусть а == infcEIRТогда найдётся последовательность1f -вещественных чисел {сп} ~= l' для которойсп 1 р<а1+n приn Е N. Она ограничена, так какCIпривсех1nn.~Ilcnll p-(м(А))l/ Р-(м(А))l/ Р"Поэтому можноk---+ooLp(A)Cnk_111_II_p +_a_+_l"(м(А))l/ Рвыбрать такую{c nk } ~= l' что существует limв~11111 p + 111 - cnll pподпоследовательностьсо· Тогда cnk -----+ Со при k -----+==00и, следовательно,D13.59.Предположим, что существуют два различных вещественных числа сl,Пусть сз==сlС2, дЛЯ которых+2 С2 .ТогдаОтсюда следует, чтоIlf -сзll р==а. Поэтому в предыдущей оценке имеет место равенство. Тогда в силу результата задачитакие неотрицательные (З и {' что (З+f >Ои (З(f(х)-сl)существуют== f(f(x) -- С2) п.в.
на А. Поскольку сl#-равенство лх)С4. НО ясно, что в этом случае С4=fЗс~ - ,С2-!=единственное число, для котороголучили противоречие.С2, то (ЗIlf -#- {'13.8С411 р==а тогда п.в. выполненоО== inf Ilf - cll p .13.61.DIlf - cl1 1 >1 приIcl >1.Ilf - cl1 1 ==DПустьЬ1== inf {ЬЕ IR: fL ( {х Е А:f (х) > Ь}) == О}== su Р {ЬЕ IR: fL ( {х Е А:f (х) < Ь}) == О}.иЬ2Мы поcEIR13.60. Пусть f(x) == X(o,~)(x) - X(~,l))(X). Тогдалюбого С Е [-1,1] и-1 дляГл.13.Пространстваи некоторые другие nриложенияLpЗ05Ilfll oo == шах (lb 1 1, Ib2 1), и для любого с Е IR имеем: Ilf - cll oo ==== шах (lb 1 - cl, Ib 2 - cl). ПоэтомуЯсно, чтоl~~ 111 - cll oo = Ь 1 ; Ь2И искомое число со13.62.ы1==+2 Ь 2Пусть дано Е>единственно.(fЬ211оо;D13.50, наидем такую111 - gllp < ~. По теореме Кантора най-дётся такое д > о, что Ig(x) - g(y)1 <Ix - yl1о.
Используя задачуфункцию g(x) Е С([а, Ь]), чтопри111 - Ь=~ д. Тогда при О ~hЗ(Ь-с 1/ для любых х, У Е [а, Ь]а)р~ д получаем, чтоl/р11(х + h) -P::;; 2111 - gllp +f(x)I dfJ )[a,b-h]+f(Ig(x+h)-g(х)IРdJ-L )l/р2Е< з +З(Ь-Еа)1/р.(Ь-а)l/ Р =Е,[a,b-h]откуда следует утверждение задачи.13.63. Пусть вначале рнекоторое числоЕ (о, Ьh>D1 и, как обычно, q== ~1. Возьмёмр-а). Тогда для любого натурального-n понеравенствам Гёльдера и ~инковского получаемf11(х + h) -l(x)1 dfJ ::;;(Ь -Qa)l/ II I (x+ h) - l(x)IILp([a,b-h]) ::;;[a,b-h]::;;(Ь - а)l/ рf Ilf (х +k=lkh) nf (х +(k - l)h)n11Lp([a,b-h])::;; (Ь - a)l/ Q nшприn -----+(1; ~) р00.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
