1610912311-3cbc5b34357e1bf98e493aa337af68a6 (824698), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Ясно, что если f(x) -неубывающая функция на [а, Ь], тоVT(f) == f(b) - f(a) для любого разбиения Т отрезка [а, Ь]. ПоэтомуVi(f) == f(b) - f(a). Пусть теперь f(x) Е V([a, Ь]) и Vi(f) == f(b) - f(a). Предположим, что существуют такие точки а ~ х < у ~ Ь, чтоf(y) < f(x). Тогдаf(b) - f(a) == V;(f) ~ (f(x) - f(a)) + (f(x) - f(y)) + (f(b) - f(y)) ==== f(b) - f(a) + 2(f(x) - f(y)) > f(b) - f(a),и мы пришли к противоречию.D14.11. Если существует такая функция g(x), то для любого разбиения Т отрезка [а, Ь] имеем:VT(f)~g(b) - g(a),V([a, Ь]).
Если f(x) Е V([a, Ь]), то можно взятьg(x) == VaX (f). D14.12. Пусть Т == {а == ха < хl < ... < х n == Ь} [а, Ь]. Тогда Тер == {а == СР(ха) < СР(Хl) < ... < СР(Х n ) ==Епоэтомуf(x)Е(см. задачу 14.5)разбиение отрезкаЬ}-также разби-Гл.14.Функции ограниченной вариации325ение [а,Ь] иVT(f(cp)) == VTlP(f).
Поэтому Vi(f(cp)) ~ vi(f). Заметим,что функция ф( Х) == cp-l (Х) - строго монотонная и непрерывная на[а, Ь], причём ф(а) == а и ф(Ь) == Ь. Повторяя предыдущие рассуждения, получаем, что Vi(f) == vi(f(ср(ф))) ~ vi(f(cp)). Окончательно:vi(f(cp)) == Vi(f)· D([±' ~])Пусть h(x) ~ V14.13.на этом отрезке), лх)при х Е [±'~] и лх)h(x)=(например, h(x) неограниченах Е [0,1] \ [±'~] . Тогда f(x) ~ V([O, 1]). Положим <р(0)х1== "2 + "2 при Х[0,1], ср(l) == 1Е (О,1]. Тогдаf(cp(x)) Оср(х)иЕ=- строго возрастающаяV([O, 1]) на [0,1]. D=О приО и <р(х)=функция на14.14. Для любого разбиения Т отрезка [а, Ь] имеем: VT(f~ VT(f) + VT(g). Поэтому Vi(f + g) ~ Vi(f) + Vi(g) < 00. D+ g)~14.15.
Пусть f(x) == Х и g(x) == -х для х Е [0,1]. Тогда Vr}(f) ====vo (g) == 1, но vo (! + g) == vo (О) == о.111D14.16. Для любого разбиения Т отрезка [а, Ь] имеем: VT(af) ==== laIVT(f)· Поэтому Vi(af) == laIVi(f). D14.17. Если f(x) Е V([a, Ь]), то (см. задачу 14.6) существует разложениеf(x) == fl(X) - f2(X),ции на[а, Ь].и14.16.гдеfl(X)иf2(X) -неубывающие функОбратное утверждение следует из задач14.1, 14.14D14.18. Пусть Т == {а == ха< Xl < ... < Xn-l < Х n ==Ь} - некотороеразбиение отрезка [а, Ь]. Так как согласно задаче 14.2 функции f и 9ограничены,тоnVT(f· g) ==LIf(Xk)g(Xk) -f(Xk-l)g(Хk-l)1 ~k=ln~LnIf(Xk) -f(Xk-l)llg(Хk)1k=l+ L Ig(Xk) -g(Xk-l)llf(Хk-l)1 ~k=l~VT(f)· sup Ig(x)1+хЕ [а,Ь]sup If(x)l· VT(g) ~хЕ [а,Ь]~ V;(f)· sup Ig(x)1+хЕ [а,Ь]sup If(x)l· V;(g),хЕ [а,Ь]откуда следует утверждение задачи.14.19.
Пусть f(x) == g(X) == Х на отрезке [-1,1]. Ясно, что онистрого возрастают на этом отрезке, нофункция на [-1,1]. Df(x) . g(x) ==х2-немонотоннаяГл.326Функции ограниченной вариации14.14.20. Пусть Т == {а == ха< Xl < ... < Xn-l < Х n ==Ь}разбиение-отрезка [а, Ь]. Тогда1)VT ( !1n~1=1j(Xk) - j(Xk-l)==fk=l 1!(Xk)1!(Xk) - !(Xk-l)1 ~1!(Xk-l)I.IОтсюда следует, что !/Х) Е V([a, Ь]), и что Vd>(14.21. Утверждение немедленно следует14.22. Пусть g(x) == 1 на [О, 1] иf(x) ==Тогдаf(x)V([O, 1]),иg(x) -но ~~:~g(x)дачу 14.2) Лх) ~-{Х,1,_1с2VT(f) ~_1с27) ~ ~2 Vd>(f).из задач14.20иVb(f).аD14.18.DеСЛИХЕ(О,l],если Х==о.положительные функции на [0,1], принадлежащиенеограниченная функция наV([O, 1]).[0,1],поэтому (см.
заD14.23. Заметим, что для любых о; и (3 из [а, Ь] выполнена оценка1шах(f((3), g((3)) -шах(f(o;), g(o;))1~~ шах (lf((З)- f(o;)l, Ig((3) - g(o;)I)·Поэтому для любого разбиения Т отрезка [а, Ь] имеем:+ VT(g).Следовательно,vi(h) ~ Vi(f) + Vi(g) <00.VT(h)~VT(f)+D14.24. Для любых 0;,(3 Е [а,Ь] имеем: Ilf((з)I-lf(о;)11 ~ If((З)- f(o;)l. Поэтому для любого разбиения Т отрезка [а, Ь] получаем, чтоVT(lfl) ~ VT(f)· Следовательно, Vi(lfl) ~ Vi(f) < 00. D14.25. Пусть f(x) == 1 для рациональных х Е [0,1] и f(x) == -1 дляиррациональных х Е [0,1]. Ясно, что f(x) ~ V([O, 1]), но If(x)1 == 1 ЕЕ V([O, 1]). D14.26.
Пусть Т == {а == Ха < xl < ... < xn-l < Х N == Ь} - разбиение отрезка [а,Ь], г == {k Е [1,n]: sgn(f(xk) . f(Xk-l)) == -1}и Ф == {1, 2, ... , n} \ г. Заметим, что если k Е Г, то в силу непрерывности функции f существует такая точка Yk Е (Xk-l, Xk), что f(Yk) == о.Добавим к Т все точки {Yk}kEr и обозначим новое разбиение через Т/.ТогдаkЕфkErГл.14.Функции ограниченной вариацииkЕф327kErОтсюда следует, что f(x) Е V([a, Ь]) и Vi(f) ~ Vi(lfl). Обратное неравенство доказано в задаче14.24.14.27. Пусть Т == {а == ХоD< Хl < ... < х n -l < Х n ==Ь}некоторое-разбиение отрезка [а, Ь]. ТогдаnVT(f) ==nLIf(Xk) - f(Xk-l) I ~ сk=1LIXk - Xk-ll == С(Ь - а).k=1Dl-а14.28.
Пусть (3 == 2 _ а· Тогда (3(1 -а) (1L00==(прикаждомlщим образом:о. Нетрудно проверить, чтоПоложим- (3) == (3.СО>k-(I+(3))-1Xl == СОиk=1Е00.Lk-(I+(3)k=lОпределимN.1(0)=О,l(xl)функцию(_/)1=прии непрерывна на каждом отрезке[Xl+l, Xl]т (l) == {о < Х l < Х l- 1 < ... < Х 1 == 1}, тоlLVT(l) ~наf(x)lприЕN[0,1]следуюи Лх) линейнаl Е N. Ясно, что если1k-+ 00k=1приl-+00. Поэтомуf(x)~V([O, 1]).найдутся такие натуральные числаЕ [Х т +l, Х т ]. ЕслиПусть теперь Оn<Х <у1.Тогда~ т, что Х Е [х n +l, Х n ] И У Еn == т, тох n +l==соn-(1+(3)(у - х) . Ij(x n ) - лх п +l) IIx n - Х n +l1::((у _ х) . 2 n НО~<У-Х ~ Хn-иIf(x) - Лу) I::( !соIx -=yl'" Ix n-х n + 11 1-"'n 13::(!1Ix -САП::(yl'" c6-"'n13 - (1-",)(1 +13)=СО== :СОIx -yla.Гл.328Еслиn ==т+ 1,Функции ограниченной вариации14.==то х nх т -l, И по доказанному+ Ij(X m +l) - j(y)1Ij(x) - j(y)1 ~ Ij(x) - j(xn)1~~ : (Ix - xnl a + IX m +l - yla) ~ ~ Ix _ yla.СОСО+ 2,то мы найдём такие точки z Е [х n , х n -l] И t ЕЕ [Х т +2, х т +l], что j(z) == j(t) == О (если n == т2, то z == t).
Тогда,Если же n ~ т+согласнопредыдущимIj(x) - j(y)1~рассуждениям,Ij(x) - j(z)1+ Ij(z) - j(t)1 + Ij(t) - j(y)1~~ ~ (Ix - zla + It - yla) ~ ~ Ix _ yla.СОТеперь, если взять<У~Так как1.и при х==14.29.СО ==о.8G == ----а, то Ij(x) - j(y)1 ~ Glx - yla при О < х <j(x)СОнепрерывна в точке О, то неравенство выполненоDПоложим(f _1_)-1+k=1при каждомlk . ln 2 (kЕN.Xz ==и1)Определим функциюСО .j(x)- - 2- -на[0,1]k=Zk( _1)lVT(Z)~zL100Lj(O) == О, j(xz) == -z- при l Е N и j(x)[XZ+l, xz], где l Е N. Ясно, что если T(l) ==== 1}, тообразом:отрезке. ..
< х 1СО. ln (k+ 1)следующимлинейна на каждом{О< Xz < XZ-l < ...1k-+ 00k=1приl-+<У~1.00. Поэтомуj(x)~V([O, 1]).Пусть теперь а ЕТогда существуют такие натуральные числачто х Е [х n +l, х n ] и У Е [х т +l, х т ]. Если nО<У-х ~ х n - х n +l==Ix n -j(x n +l)1 ~Х n +l1т, то1Со-2 --иIj(x) - j(y)1 == (У - х) .
Ij(x n )==nln (n(0,1)и О<х<n и т, где n ~ т,+ 1)Гл.14.Функции ограниченной вариации329где положительная величина С(о;) зависит только от0;.Здесь мывоспользовались тем, чтоЕслиn==+ 1,тто по доказанному+ Ij(Xm+l) - j(y)1 ~aC(o;)(lx - xnl + IXm+l - yla)Ij(x) - j(y)1 ~ Ij(x) - j(xn)1~ЕслиnЕ [Х т +2,~ т+ 2,то мы найдём такие точкичтоxm+l],О (еслиj(z) == j(t) ==n == тz~2C(0;)lx _ yla.Е [х n ,+ 2,тоxn-l]z == t).ИtЕТогда,согласно предыдущим выкладкам,+ Ij(z) - j(t)1 + Ij(t) - j(y)1 ~~ 2C(0;)(lx - zla + It - yla) ~ 4C(0;)lx _ yla.Ij(x) - j(y)1 ~ Ij(x) - j(z)1Если теперь взять С<у~==4С(0;), тоIj(x) - j(y)1 ~ Clx - yla при О < х <1.
Так как j(x) непрерывна в точке О, то неравенство выполненои при х==о.14.30.DПусть{j(x) ==j(x) Е С([О, 1])j(x) Е V([O, 1]). В~ при х Е (0,1],lnхОпри х==о.Ясно, чтоипоэтомуто же время для любого о; Е (О,j(x) -возрастающая функция на[0,1],1] выполненоравенствоlimх----+о+If (х) ~ f (О) I == limХ1х----+о+ ха ln ~==00,хпоэтомуj(X)~Lip(o;, [0,1]).D14.31. Для любого разбиения Т == {а == хо< xl < ... <хn==Ь}имеемnVT(g(j)) ==LIg(j(Xk)) - g(j(Xk-l))1 ~k=l~ СnLk=lоткуда следует утверждение задачи.DIj(Xk) - j(Xk-l)1 ~ CV;(j),ззоГл.14.32.=k14.Функции ограниченной вариации=Ixl a .
Пусть 1(0) = О, 1 (2n ~ 1)Пусть g(X)n- 1ja при n Е N и l(х) линейна на отрезкахЕN.=О, 1 (2~)=[k ~ 1'~] для всехТогда100Vo1 (f) == 2 L n-с;<00.n=1Заметим, чторальногоn,9(1 (2~))поэтому=g(f(x))*и 9(1 (2n 1_ 1))~О для любого нату=Наконец, пусть О ~ хV([O, 1]).< У < 00.Если х < ~, тоЕсли х ~ ~, то Ix - yll-a :( x l -И потомуa,Ig(x) - g(y)1 ~ шах Ig'(t)lly - xl ~ l~a Iy - xl a x 1ХtE[X,y]Так как функцияg(x)== alx - yl a .aчётна, то она удовлетворяет наложенным в условиях требованиям и на всёмIR.DIf'(t)114.33.
По теореме Лагранжа имеем: If(x) - f(y)1 ~ supхtE[X,y]ХIx - ylпри всех х и У из [а, Ь]. Поэтомурезультата задачи 14.27 при этом14.34.Если (З> О,Еf(x)f(x) Е Lip(l,V([a, Ь]). Dто в силу результата задачи[а, Ь]). В силу14.12 (применённой1к функции с.р(х)==х(3) получаем, чтоЕf(x)тогда и толькоV([O, 1])тогда, когда функцияg(x) ==принадлежитV([O, 1]).{х а / {3 sin хОПРИХЕ(О,l],при хОаПоложим I = (3' Если Iничена на [0,1], и поэтому (см. задачу 14.2)SlllXg_l(x)-==={~f(x)< -1,~тоV([O, 1]).неогра-Так какпри х Е (0,1],при х==Оограниченная единицей и убывающая функция на (О,g(x) == g_1(X)X r + 1 при r > -1,g(x)то (см.
задачу 14.18)1]и посколькуf(x) Е V([O, 1]) приr ~ -1, т. е. при а + (З ~ о. Если (З == О и а < О, то f(x) неограничена на[0,1], и поэтому (см. задачу 14.2) f(x) ~ V([O, 1]). Если (З == О и а ~ О,то f(x) - неубывающая функция на [0,1], поэтому f(x) Е V([O, 1]).Гл.Следовательно,~ о.14.f(x)Функции ограниченной вариацииЕV([O, 1])ЗЗlтогда и только тогда, когда а+ (з~D14.35. При меняя задачу 14.12 к функции ср(х) == х-1/{З, получаем,что f(x) Е V([O, 1]) тогда и только тогда, когда функцияg(x) ==принадлежитV([O, 1]).{х-а/ {З sin !при х Е (0,1],Опри ххадля любого натуральногоN-----+ 00. Поэтому в данном случаеr< О,тоg(x)V([O, 1]).неограни-При О ~r~ 1имеем1Пусть теперь~g(x)vo (!) ~ Еl f (27Гn ~ 7Г/2) - f (2~n)NОПоложим "( = - (3' Если "(чена на [0,1], и поэтому (см. задачу 14.2)при===g(x)Еl (27Гn - ;) -'У~---t00V([O, 1]).Е (1,2]. Докажем, что в этом случаеg(x)ЕV([O, 1]).Заметим, чтоg'(x) == rx,-l sin! - х,-2 cos!.хВозьмём разбиение Т=={О==Хах< xl < ...
<Можно считать, что разбиение удовлетворяетвсехk~== 1} отрезка [О, 1].условию xk ~ 2Xk-l прииначе добавим к нему достаточное количество дополни2,тельных точек. При этом условии верна оценкаполучаем,Xk - Xk-lnXk-l,И мыnIg(Xk) - g(Xk-l)1 == Ig(Xl)1 +k=lLIg(Xk) - g(Xk-l)1 ~k=2n~ х7~чтоLVT(g) ==хn+ L IXk - Xk-ll·k=2nшахtE[Xk-l,Хk]Ig'(t)1 ~ х7 +Lk=2(Xk - Xk-l) Хn+ xz=i) ~ 3 + 22-, L (Xk - Xk-l) . xZ- 2 ~Х (2k=2n~ 3+2 L1Xkf2x'Y- dx == 3 + 2k=2 Xk-lоткуда следует, что в этом случаеf x'Y-2dx~ 3 + ry =- 1 'Xlg(x)ЕV([O, 1]).Так какg(x) ==== х 2 sin! х,-2 при r > 2, то мы получаем (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
