1610912311-3cbc5b34357e1bf98e493aa337af68a6 (824698), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Если f(x) - функция Кантора на [0,1], то (см. задачу 8.33)f'(x) == О п.в. на [0,1], откуда следует, чтоff'(x) dfJО.=(0,1)в то же времяf(l) - f(O) == 1.D14.53. Пусть {G n } ~= 1 - такая последовательность открытых множеств, что G 1 ~ G 2 ~ ... ~ А и J-L(G n ) < 2-n при каждом n.
Пусть приэтом00Lg(x) ==n 2 ХС п (х).n=1Так как00fg(x) dfJтоg(X)ЕL((a, Ь)).;n <L n м(с n ) = L=(а,Ь)2002n=100,n=1Поэтому можно определить для х Е [а, Ь] функциюf(x)f=g(t) dfJ·[а,х]Ясно, чтоf(x) -неубывающая функция на [а, Ь], и в силу абсолютнойнепрерывности интеграла Лебега (задача 10.67)х Е А. Тогда х Едля всехGnn.Е С([а, Ь]). Пустьf(x)Так как множестваGnоткрыты, тосуществует такая последовательность положительных чисел {h n } ~= 1 'что Х + h Е G n при~ h n для n Е N. Тогда для любого n при~ hnIhlIhlполучаемf(x+ h)- f(x) _h~hJ1g(t)dJ-L ~ h(x,x+h)Отсюда следует, чтоf' (х) ==J(x,x+h)00 всюду на А.D14.54.
Пусть D n == { х Е А \ В: f-, (х) ~ -;;;1 } для n Е N. Тогда в силурезультата задачи 14.48 получаем, чтоJ-L*(f(D n ))~1-nJ-L*(D n ).Так как00Dnс А, тоJ-L*(D n )~ nJ-L*(f(А))==о. Но А\в==U Dn .n=1множество А\в измеримо и м(А\В)==о.DПоэтомуЗЗ8Гл.14.Функции ограниченной вариации14.55. Заметим, что f(x) - также неубывающая функция на [а, Ь],поэтому f'(x) существует п.в. на [а, Ь] (см. задачу 14.51). Поскольку00n=kнеубывающая функция на [а, Ь] при каждомво всех точках дифференцируемости функцииkf'(x) ==kЕN.f,тоkLf~(x)+ g~(x)L~n=lдлядифференцируемаяk,f~(x)n=lОтсюда следует, что ряд00Lf~(x)n=lсходится п.в.
на [а, Ь]. Более того, g~ (х) ~ g~(x) ~и (см. задачуfk~ О п.в. на [а, Ь]14.50)g~(x) dfL :( gk(b) - gk(a)00=00Lfn(b) -n=k(а,Ь)при...-----+ 00. По теореме Б. Леви g~(x)Lfn(a)---7Оn=k1Оприk-----+ 00 п.в. на [а, Ь].Если сходимость имеет место в точке ха Е (а, Ь), тоkf'(xa) -Lf~(xa)==g~+l (ха) -----+ Оn=lприk-----+ 00, т. е. сумма ряда равнаf'(xa).D14.56. Все функции fn(x) будут нечётны, поэтому мы построим их на [О, 1]. Определим вспомогательные функции gn: gn (х) == Опри О ~ х ~и2- n -gn(x) == VXприgn(x) == 2n+1VX(x - 2- n - 1 ) при 2- n - 1 < х < 2- n12- n ~ х ~ 1.
Теперь положим fn(x) == 2 gn(X) при1,n Е N. Ясно, что все fn(x) [О, 1] и f~ (О)==О для всехn.nнепрерывные неубывающие функции наБолее того, ряд00n=lсходится равномерно на [О, 1]. Пусть теперьторомn.h Е (2- n , 2- n + 1] при некоТогдаf(h) - ЛО) _ f(h) :>- 9n(h) _hпри n -----+ 00. Поэтому-hf' (О) ==/"n 2h00.D-1n2 Дn~ 2 /:4n---700Гл.14.Функции ограниченной вариацииЗЗ914.57. Без ограничения общности можно считать, что s(x) неубывающая функция на [а, Ь]. Заметим, что00Ls(x) ==akgk(X),k=lгде всеak~ о,00Lak <00k=lИgk(X) ==XlCk,b] (Х) (всеCkЕ [а, Ь], а функцииТогда в силу результата задачиgk(X)попарно различны).получаем, что14.5500s'(x)==Lakg~(x) == Оk=lп.в. на [а, Ь].D14.58. Заметим, что в каждой точке Х Е [а, Ь]HepaBeHcTBol!n(x)I ~ l!n(a)1 + vi(!n) для n Е N и что00Ln=1выполнено00l!n(a)1 +LV;(!n) <00.n=1По теореме Вейерштрасса ряд00равномерно на [а, Ь] сходится к некоторой функции !(Х).
Пустьkgk(X) ==L!n(Х)n=1дляkчек.ЕN, а Т -Тогдадляsup I!(x) - gk(x)1некотороедостаточно< E/(2N)разбиениебольшихkотрезкаимеет[а, Ь]местоизNтонеравенствои в силу результата задачи 14.14 получаемхVT (!) ~ VT(gk) + Е ~ V;(gk) + Е ~k00LV;(!n) + Е ~n=1Отсюда следует утверждение задачи.LV;(!n) + Е.n=1D14.59. В силу результата задачи 14.58 величина vi(h) не превосходит а.
Пусть дано Е> о.Найдём такоеN,чтоГл.34014.Функции ограниченной вариацииЯсно, что еслиz2: akgk(X)hz(x) ==k=lдляlЕN,тоzV;(h z) ==2: lakl·k=lОтсюда следует (см. задачу14.58), чтоV;(h) ~ V;(h N ) - V;(h - hN ) ~N00k=lk=N+l2: lakl - 2: lakl~ аНо с>Опроизвольно, И потому vi(h) ~ а.~-сс"2 - "2 ==а-с.D14.60. Пусть ср(х) - функция Кантора на [0,1] (см. решениезадачи 4.19), go(x) == ср(х) при х Е [0,1], go(x) == О при х < Ои go(x) == 1 при х > 1. Пусть {In}~=l - множество всех интервалов из[0,1] с рациональными концами. Для I n == (а, Ь) определим функцииfn(x)=~2 go (~=:) .Затем определим функцию00f(x) ==2:fn(x).n=lЯсно, чтоf(x)корректно определена и непрерывна на [0,1].
Так каккаждая функциязадачиfn(x)неубывающая на [0,1], то в силу результата14.5500f' (х) == 2:п.в.и Ь,f~ (х)== Оn=lна [0,1]. Далее, пусть О ~ У < z ~ 1. Найдёмчто у < а < Ь < z. Пусть (а, Ь) == I r . Тогдаf(z) - f(y)~f(b) - f(a)~такие рациональные аfn(b) - fn(a) ==12·nОтсюда следует, чтоf(x) - строго возрастающая на [0,1]. D14.61. Пусть Е == {x r }~l - некоторое всюду плотное множество на [а, Ь], причём xl == а и Х2 == Ь. Так как Ifn(Xl)1 ~ с привсех n, то существует подпоследовательность p(l) == {fz(1) (х) }:l' которая сходится в точке xl. Поскольку последовательность p(l) равномерно ограничена в точке Х2, то существует её подпоследователь-ность р(2) == {f/ 2)(X)}:l' которая сходится и в Х2, И т.д.
ПоложимГл.14.Функции ограниченной вариации341fnk(X) == f~k)(x) при k Е N. Заметим, что эта последовательность сходится в каждой точке X r . Пустьдляr Е N.Тогда функция ф(Х) неубывающая на Е. Положимg(x) ==Ясно, что{ Xk<Xф(Х)'sup ф(х),если Х Е Е,если Х Е [а, Ь]\ Е.fnk (Х) -----+ g(x) приk -----+ 00 на Е. Множество А точек разрыва функции g(x) не более чемсчётно. Пусть t ~ А u Е. ДЛЯ заданного Е > О найдём такие Xi < t < Xj,что g(Xj) - g(Xi) < 2. Далее, существует такое N, чтоg(x) -неубывающая функция на [а, Ь] исиприk~N.Отсюда следует, чтоg(t) -Е< fnk(Xi)~fnk(t)~fnk(Xj) < g(t) + Е,т.
е. Ifnk(t) - g(t)1 < Е при k ~ N. Поэтому fnk(X) -----+ g(X) при k -----+ 00на [а, Ь] \ А. Так как множество А не более чем счётно, а последовательность {fnk(X)}~=l равномерно ограничена, то мы можем применитькнейописанныйвышедиагональныйпроцессивыделитьподпоследовательность, сходящуюся всюду на [а, Ь]. Нетрудно видеть,что предельная функцияf(x) будет неубывающей на [а, Ь]. D14.62. Пусть gi(X) == VaX(fi) и hi(x) == gi(X) - fi(X) при Х Е [а, Ь]и i Е N. Тогда все gi(X) и все hi(x) - неубывающие функции на[а, Ь], причём Igi(x)1 ~ с и Ihi(x)1 ~ 2С дЛЯ всех Х Е [а, Ь] и всех i.В силу 14.61 существует подпоследовательность {giz (Х) }~1' котораясходится на [а, Ь] к некоторой неубывающей функции g(x).
Затемприменим задачу 14.61 к последовательности {hiz(X)}~l и найдёмподпоследовательность{h jk (X)}ZO=l' {jk}~=l С {il}~l' которая сходится на [а, Ь] к некоторой неубывающей функции h(x). Но тогдаfjk (Х) -----+ g(x) - h(x) Е V([a, Ь]) при k -----+ 00 всюду на [а, Ь]. D14.63. Рассмотрим вначале функции gi(X) == fi(X) - fi(a). Тогда существует такое io, что vi(gi - gio) ~ 1 при i ~ io.
Поэтомуvi(gi) ~ Vi(gi o) + 1 при i ~ i o. К тому же,для всех Х Е [а, Ь] и всех i ~ io. Применяя задачу 14.62, найдём такуюподпоследовательность{gin(Х)} ~= l' чтоgin(Х) -----+f (Х)ЕV ([ а, Ь])приГл.34214.Функции ограниченной вариацииn -----+ 00 на [а, Ь]. Пусть Е > О И N таковы, что v:(fn - fm) < Е приn, т ~ N. Тогда для любого разбиения Т == {а == Ха < Xl < ... < Xn-l << Х n ==Ь} отрезка [а, Ь] и для любого т ~Поэтому V:(fm - f) ~ Е при т ~ N.NимеемD14.64. Ясно, что VT(f) ~ [2T(f) ~ V:(f) для любого Т.
Возьмём произвольное а==Ха< V: (f) и найдём такое разбиение T 1 == {а ==< Xl < ... < Xm-l < Х т == Ь} отрезка [а, Ь], что VT (f) > а. Так1как f(x) Е С([а, Ь]), то можно найти такое д Е (о, Л(~1)) , что еслиУ,zЕ [а, Ь] иIy - zl~ д, тоIf(y) - f(z)1 <где т-число точек вk == 1,2, ... , т - 1.T 1,0:,Ь} отрезка [а, Ь] таково, что л(Т)что существуют такие числаи-T 1• Предположим, что разбиение Т == {а == Уа< Yl < ... < Yn-l < Уn ==приЧ~VT\nl < n2 < ... < nm-l,Если разбиение Т2 -чтоYnk< д.~<Заметим,Xk < Ynk+ 1объединение разбиений Ттоm-lVT(f) == VT2 (f) -L(lf(Xk) - f(Ynk)1+ If(Xk)- f(Ynk+1)1 -k=l- If(Yn k+l)--2т VT \ Ч~ о:f(ynJI) ;?: VT2 (f) -;?:~V (f) - VT1 (1)- а >а/'" Тl2.Отсюда следует, чтоliminfVT(f) ~ а.л(т)--*аТак как а< V:(f)доказано.Dпроизвольно, то утверждение задачи тем самым14.65. Пусть f(x) - функция Дирихле, т.
е. f(x) == 1 в рациональных точках Х Е [0,1] и f(x) == О в иррациональных точках Х Е [0,1]. Яс-но, что Лх)t/:- V([O, 1]).ПустьTi={о = Ха < +< ~ < ... < XiТогда VT~ (f) == О при всех i и л(Тi ) == ~-----+~14.66.О приДля произвольного натуральноголtik,n== [ + (k - l)(Ь - а)а2n, аi-----+ 00.= 1} .Dn рассмотрим множества+ k(b2-nа))Гл.при14.k = 1,2, ... ,2nmk,n ==infXE~k,ngk,n(Y)=Функции ограниченной вариации-1и д.2 п ,n343п[а+ (2 _ ~~(b-a),ь].
Обозначим=f(x) и Mk,n == sup f(x). ПустьXE~k,n{~'если существует такое х Е-!1 k ,n,чтоf(x) ==у,иначеи2gn(y) ==пLgk,n(y)k=1при каждомgn+l (у) ~ gn (у) для любого n и для любогоу Е IR. В решении задачи 8.52 было доказано, что gn (у) -----+ g(y) приn -----+ 00 для любого у Е IR 1. Заметим также (см. задачу 14.64), чтоn.Ясно, чтоf gn(y) dfLчи.n -----+D=пL(Mk,n - mk,n)--tV;(f)k=1IRпри200. При меняя теорему Б. Леви, получаем утверждение зада14.67.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
