1610912311-3cbc5b34357e1bf98e493aa337af68a6 (824698), страница 51
Текст из файла (страница 51)
В силу результата задачи14.43 функция ф(х) непрерывна на [а, Ь]. Согласно задаче 14.14, имеет место неравенствоVi(f) ~ Vi(Ф) + Vi(S). Пусть задано Е > о. Заметим, что (см. задачу 14.57)00s(x) ==Lakgk(X),k=1гдеиgk(X) ==XlCk,b] (х) (всеТогда (см. задачуCk Е [а, Ь] и функции gk(X) попарно различны).14.59)00V;(s) ==Llaklа.k=1Выберем такоеN,чтоОбозначимNSN(X) ==Lk=1akgk(X).Гл.344Положим Лl ==14.Функции ограниченной вариацииICk - Cj 1. Заметим, что если разбиение ТCk-/:-CJNЬе{Ck}k=1и л(Т) < Лl, то VT(SN) == Va (SN) > а - В.min-51l~j<k~N,содержит все точки> О таково, что (см.
задачу 14.64) если Т - разбиение отрезкаьее[а, Ь] и л(Т) < Л2, то Vт(ф) ~ Va (ф) - В(3 - В· При этом можно считать Л2 > О столь малым, что если У, z Е [а, Ь] и Iy - zl ~ Л2, то IФ(у) - Ф(z)1 < 8N· Пусть теперь разбиение Т == {а == Ха < Хl < ... < Х n == Ь}Пусть Л2еотрезка [а, Ь] содержит все точки {Ck}r=1 и л(Т) < min (Лl, Л2).
ПустьCk == x nk при k == 1, 2, ... ,N (если Ck == Cj при k #- j, то число такихточек будет меньшим). Заметим, что (см. задачуОбозначим черези пусть ИЕслиl==Е И, тоLISN(Xl) - SN(Xl-l)1 ==IФ(Хl)- Ф(Хl-l)1 +LI(ФlЕо. Отсюда следует, что+ SN)(Xl) -(ф+ SN)(Xl-l)1~lEWn~LnIФ(Хl)-Ф(Хl-l)1l=1Lk == 1,2, ... , N,[1, n], что l ~ w.где==lEU- 2+ 1,множество всех таких натуральных-Vт(ф+SN)множество всех nk и nkW14.59)IФ(Хl)+ L ISN(Xl) - SN(Xl-l)ll=1еее3е- Ф(Хl-l)1 ~~ (3 - В + а - В - 2· 2N· 8N == а + (3 - 4·lEWVT(f) ~ а + (3 - Е, и, поскольку Е > О произвольно, то Vi(f) ~ Vi(Ф) + Vi(s).
D14.68. Пусть f(x) == ф(х) + s(x), где s(x) - функция скачков.Тогда ф(х) Е С([а, Ь]) n V([a, Ь]), ф(а) == О и (см. задачу 14.67)Vi(f - fn) == Vi(Ф) + Vi(s - fn) для каждого n. Поэтому Vi(Ф) == оОтсюда следует, чтои, следовательно, ф(х)14.69.Всилуо.Dрезультатаf(x) == fl (Х) - f2 (х),гдеfl (Х)задачиИфункции на [а,Ь]. Заметим, что14.39существуетразложениеf2(X) - неубывающие непрерывныеfl(X) и f2(X) порождают некоторыеа-аддитивные меры Vl и V2, которые являются продолжениями по Лебегу мер Стилтьеса, определённых в задаченазывать мерами Лебега-Стилтьеса).14.44 (такие меры мы будемОбозначим через М 1 и М2 а-алгебры, на которых определены эти меры.
Тогда заряд Vделён на а-алгебре М==М1n М2 •==vl -v2 опреЗаметим, что М содержит все борелевекие подмножества [а, Ь]. Пусть V==V+ -V_ -разложение ЖорданаГл.14.Функции ограниченной вариации345зарядаиv (см. задачу 13.77). Определим функции gl (х) == v+([a, х])g2(X) == v_([a,x]) при х Е [а,Ь]. Тогда gl(X) и g2(X) - неотрицательные неубывающие функции на [а, Ь].Докажем их непрерывность.
Непрерывность справа следует из а-аддитивности мерДалее, как показано в задачеv±.ет разложение Хана [а, Ь]Е+ U Е_, где Е+==v и Е_ отрицательноv_(A) == v(A n Е_) дЛЯ всех13.77,существуположительно отноv, v+ (А) == v(A n Е+)Если бы функции gl И g2сительноотносительноиА Е М.были обе разрывны в точке ха, то это означало бы, что одновременноv+ ({ ха}) >о иv_ ({ ха}) >о, но такое невозможно, поскольку точка Хапринадлежит только одному из множеств Е+ или Е_.
Наконец, таккакgl (х) - g2(X) == v([a, х]) == f(x) - f(a)иf(x)Е С([а, Ь]), то в фиксированной точке не может быть разрыва только у одной из функцийИСледовательно,g2.Пусть дано Еgl(X)> о.иglнепрерывны на [а,Ь].g2(X)Выберем такое множествоnВ+U [ak, bk],==k=1+ v_)(B+что(v+гдаv+(B+ L Е+) < 4ее<4Е_)v+(B_ Lие< 4.L Е+)ПоложимВ_[а, Ь] \ В+.==еv_(B+ L Е+) < 4.иЕ_)v_(B_ L[а, Ь], состоящее из всех точеке< 4.ak, bkПусть тпри-То-Следовательно,разбиение отрезкаk == 1,2, ... ,nи точек а и Ь.Тогда мы получим, чтоVT(f)~v(B+) - v(B_) == v+(B+) - v_(B+)~- v+(B_)v+(E+) - v+(B+ L Е+) - v_(B+ L Е+) - v_(E+)+ v_(E_) - v_(B_~+ v_(B_)v+(E+)LЕ_)- v+(E_) - v+(B_ L~+Е_) ~е+ v_(E_) - 44 == v+([a, Ь]) + v_([a, Ь]) == V;(gl)Е==+ V;(g2)- Е.О произвольно, то отсюда следует, что Vi(f) ~ vi(gl) ++ vi(g2). Обратное неравенство следует из простейших свойств вариТак как Еации.>D14.70. Возьмём разложение f(x) == ф(х)ция скачков и ф(х) Е С([а, Ь])n V([a, Ь]).+ s(x),гдеs(x) -функТогда (см.
задачу14.67)Vi(f) == Vi(Ф) + Vi(s) и (см. задачу 14.69) существует разложениеФ (х)==фl (х)-Ф2 (х), где фl (х) и Ф2 (х)-неотрицательные неубываю-щие непрерывные функции на [а, Ь], причём Vi(f)== Vi(фl)+ Vi(Ф2).Гл.34614.Функции ограниченной вариацииИмеем00s(X) ==Lakgk(X),k=lгдеиgk(X) == XlCk,b](X)(всеCkЕ [а, Ь] и ФУНКЦИИgk(X)попарно различны).ОбозначимиS2(X) == -Lakgk(X).k:ak<OТогдаиS2(X) -и (см. задачу14.59)Sl(X)неубывающие неотрицательные ФУНКЦИИ на [а,Ь],00V;(s) ==L lakl == V;(Sl) + V;(S2).k=lПусть fl(X) == фl(Х) + Sl(X) И f2(X) == Ф2(Х) + S2(X).ции - неотрицательные и неубывающие на [а,Ь], f(x) ==И (см.
задачуЭТИфУНКfl(X) - f2(X)14.67)V;(f) == V;(ф) + V;(s) == V;(фl) + V;(Ф2) ++ V;(Sl) + V;(S2) == V;(fl) + V;(f2).DГлава15АБСОЛЮТНО НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИв этой главе мы будем рассматривать конечные вещественнозначные функции на отрезке [а, Ь] С IR. Через П([а; Ь]) будем обозначатьмножество всехловконечных системпопарнонепересекающихсяинтерва-S == {(ak' bk)}~=l' принадлежащих [а, Ь].
ДЛЯ системы S Е П([а, Ь])положимn8(В)L==nIb n - anlY(f;иВ)==k=lабсолютно непрерывна на [а, Ь]f(x)Е АС([а, Ь])), если для любого слюбойствоY(f;системыВ)If(b n ) - f(an)l·k=lСкажем, что функциядляLS>Е П([а; Ь])О существует такое дс8(В)<двыполнено(f(x)>Ео, чтонеравен< с.Как обычно, черезL([a, Ь])обозначается множество функций, интегрируемых относительно классической меры Лебега на [а, Ь].
в этойглаве выражение «п.в. на [а, Ь] » всегда будет относиться к классическоймере Лебега на [а, Ь].Скажем, что конечная функцияf(x)на [а, Ь] обладает N-свойством Лузина на этом отрезке, если для любого измеримого относительно классической меры Лебегамножествоf(E)измеримо и J-L(f(Е))Напомним, что функция[а, Ь], еслиf'(x) ==f(x)J-LЕ С([а, Ь])====Оо.f(x) называется сингулярной на отрезкеи f(x) Е V([a, Ь]), f(x) Ф С на [а, Ь], ноО п.в. на [а, Ь].Пусть Е сгамножества Е с [а, Ь] с м(Е)J-LIR -измеримое относительно классической меры Лебемножество.
Точка х ЕIRназывается его точкой плотности, еслиlim М([Х - h, Хh---++OПустьфункцииf(x)f(x),ЕL((a, Ь)).· -111т12hТочкаесли величинаh---+oh+ h] n Е) ==J(t,t+h)tf(t)Е (а, Ь) называется точкой Лебегаконечна иIf( и) - f(t) I dJ-L( и) ==о.Гл.348Абсолютно непрерывные функции15.ЗАДАЧИ15.1. Пусть f(x) Е АС([а, Ь]). Доказать, что f(x) Е С([а, Ь]).15.2. Пусть f(x) и g(x) -функции из АС([а, Ь]) и а, (З Е IRJ.af(x) + (Зg(х) Е АС([а, Ь]).15.3. Пусть f(x) и g(x) - функциичто f(x) .
g(x) Е АС([а, Ь]).15.4. Пусть f(x) и g(x) - функции изДоказать, чтоизАС([а, Ь]).АС([а, Ь]) иДоказать,g(x) -1-О наf(x)[а, Ь]. Доказать, что g(x) Е АС([а, Ь]).15.5. Пусть f(x) Е АС([а, Ь]). Доказать, что If(x)1 Е АС([а, Ь]).15.6. Пусть f(x) Е С([а, Ь]) и If(x)1 Е АС([а, Ь]). Доказать, чтоf(x)Е АС([а, Ь]).3 а м е ч а н и е. Первое условие существенно, см. задачу 14.25 и еёрешение.15.7.
Пусть f(x) Е АС([а, Ь]). Доказать, что f(x) Е V([a, Ь]).15.8. Построить функцию f(x) Е С([О, 1])жащую классу АС([О,n V([O,1]), не принадле1]).15.9. Пусть f(x) Е АС([а, Ь]) и fl (х) == VaX(f) для Х Е [а, Ь]. Доказать, чтоfl (х)Е АС([а, Ь]).15.10. Пусть f(x) Е АС([а, Ь]). Доказать, что существует представлениеf(x) == fl (х) - f2(X),гдеfl (х)Е АС([а, Ь]) иf2(X)Е АС([а, Ь])-неубывающие функции на [а, Ь].15.11. Пусть f(x) Е АС([а, Ь]). Доказать, что для любого Есуществует такое д>О,>Очто для любой счётной системы попарнонепересекающихся интервалов S== {(ak' bk)}~=100из [а, Ь] с00выполнено неравенствоk=13а м е ч а н и е. Тривиальным образом выполнено обратное утверждение.15.12.
Пусть f(x) Е L([a, Ь]) иР(х)=J f(t) dp,при х Е [а, Ь].[а,х]Доказать, что Р(х) Е АС([а, Ь]).15.13. Пусть f(x) Е Lip(l; [а, Ь]). Доказать, что f(x) Е АС([а, Ь]).15.14. Построить функцию f(x) Е АС([О, 1]), не принадлежащуюLip(a; [а, Ь]) ни при каком а Е (0,1].Гл.15.15.>Ого сАбсолютно непрерывные функции15.Пустьf(x) -конечная>существует такое дфункцияна349[а, Ь]и для любоО, что для любой конечной системыS == {(ak, bk)}~=1 интервалов из [а, Ь], удовлетворяющей условиюnnLIb n - anl <д,Lвыполнено неравенствоk=1k=1Доказать, что15.16.с [с,If(b n ) - f(an)1 < с.Еf(x)П ус тьLip(l; [а, Ь]).f (х)Е А С ( [а, Ь]) и 9 (х) ЕLi р ( 1; [с, d]) , гдеf ([а, Ь])сg(f(x)) Е АС([а, Ь]).15.17.
Пусть g(x) - конечная функция на [с, d], причём для любого[а, Ь] С IR и для любой f(x) Е АС([а, Ь]), переводящей [а, Ь] в [с, d], выполнено условие g(f(x)) Е АС([а, Ь]). Доказать, что g(x) Е Lip(l; [с, d]).15.18. Пусть f(x) Е АС([а, Ь]), g(x) - неубывающая функция на[с, d], g(x) Е АС([с, d]), g(c) == а и g(d) == Ь. Доказать, что f(g(x)) ЕЕ АС([с, d]).15.19. Построить такие функции f(x),g(x) Е АС([О, 1]), чтоf([O, 1]) с [0,1], но f(g(x)) ~ BV([O, 1]). (Согласно задаче 15.7, темболее f(g(x)) ~ АС([О, 1]).)15.20. Построить такую функцию g( х) на IR, что для любого отрезка [а, Ь] и для любой функции f(x) Е АС([а, Ь]) выполненоусловие g(f(x)) Е АС([а, Ь]), но не существует такого С > О, чтоIg(x) - g(y)1 ~ Clx - yl при всех х,у Е IR.15.21.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
