1610912311-3cbc5b34357e1bf98e493aa337af68a6 (824698), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Определим функциюО при х==k:s(x)следующим образом:а иLs(x) ==множество всех точекXk<X(f(Xk + О) - f(Xk -О))+ (f(x) - f(x -О))Гл.14.Функции ограниченной вариациидля х Е (а, Ь]. Доказать, чтоs( х) -319корректно определённая функцияскачков.14.42. Пусть s(x) - функция скачков:s(x) ==LakX(Xk,b](x) + L bkX[Xk,b](X).kkДоказать, чтоs(x) непрерывна всюду, кроме точек {xk}. Более того,если ak == О, то s(x) непрерывна в точке xk справа, а если bk == О, тоs(x) непрерывна в точке xk слева.14.43.
Пусть f(x) Е V([a, Ь]) и s(x) - соответствующая функция скачков (см. задачу 14.41). Доказать, что g(x) == f(x) - s(x) ЕЕ V([a, Ь]) n С([а, Ь]).14.44. Пусть дано полукольцо S == {{а, Ь}: - 00 < а ~ Ь < оо} UU {0}, g(x) - неубывающая функция на IR, а функция т : S ~ [О, (0)определена формулами m((а, Ь)) == g(b - О) - g(a + О), m([а, Ь]) == g(b ++ О) - g(a - О), m([а, Ь)) == g(b - О) - g(a - О) и m((а, Ь]) == g(b + О) - g(a + О). Доказать, что т является а-аддитивной мерой на S (мераСmuлmьеса).14.45. Пусть f(x) - неубывающая функция на [а, Ь], s(x) - соответствующая функция скачков (см. задачу 14.41) и g(x) == f(x) - s(x).Доказать, чтоg(x) - также14.46. Пусть {t n } ~=1 -неубывающая функция на [а, Ь].не более чем счётное множество на [О, 1].Построить неубывающую функциюразрыва которой совпадает сf(x)на [0,1], множество точек{t n } ~= 1 .14.47.
Пусть f(x) - строго возрастающая функция на [а, Ь], даномножество Е с (а, Ь) и существует такое число Р ~ О, что1· . fХ == lШlllf- '()h---+Of(x+ h)h - f(x) ./~ Рдля любого хЕЕ. Доказать, что J-L*(f(Е)) ~ рм*(Е), где м*-классическая верхняя мера Лебега.14.48.
Пусть f(x) -строго возрастающая функция на [а, Ь], которая непрерывна в каждой точке множества Е с (а, Ь). Пусть такжесуществует такое число-,f(х)q>==О, чтоliшsuрf(x+ h)h---+Oh- f(x)~qпри всех хЕЕ. Доказать, что J-L*(f(Е)) ~ qJ-L*(Е), где м*-классическая верхняя мера Лебега.14.49. Пусть f(x) - неубывающая функция на [а, Ь]. Доказать, чтоконечнаяf'(x)существует п.в. на (а, Ь).Гл.320Пусть14.50.f'(x)ЕL((a, Ь))14.неубывающая функция на [а, Ь]. Доказать, чтоf(x) -иФункции ограниченной вариацииJ f'(x) dfL ::;; ЛЬ) - Ла).(а,Ь)Пусть14.51.f(x)ствует п.в.
на (а, Ь) иПостроить14.52.ЕV([a, Ь]). Доказать,f'(x) Е L((a, Ь)).непрерывнуючто конечнаямонотоннуюf'(x)сущеf (х)наО, где М-функцию[О, 1], для которойJ f'(x) dfL < Л1) -ЛО).(0,1)Пусть дано множество А с (а, Ь), причём м(А)14.53.классическаямерафункциюна [а, Ь], дЛЯ которойf(x)14.54.ПустьЛебега.Построитьнепрерывнуюf'(x) ====неубывающую00 при всех х Е А.неубывающая непрерывная функция на [а, Ь],f(x) -а множество А с [а, Ь] таково, чтоM(f(A)) == О, где М - классическаямера Лебега.
Пусть также В == {t Е А: f'(t) == О}. Доказать, что множество А \ в измеримо и м(А \ В) == о.14.55. Малая теорема Фубини. Пусть {!n (х) } ~= 1 - последовательность неубывающих функций на [а, Ь], ряд00Lfn(x)n=1сходится всюду на [а, Ь] иf(x) -сумма этого ряда. Доказать, что00f'(x) ==Lf~(x)n=1п.в. на [а, Ь].14.56. Построить такую последовательность {!n (х) } ~= 1 непрерывных неубывающих функций на [-1, 1], что ряд00сходится равномерно на[-1, 1]к функции00Ln=1ноf' (О) ==00.f~(O)==О,f (х)иГл.Функции ограниченной вариации14.32114.57.
Пусть S(X) - функция скачков. Доказать, что S'(X) == О п.в.на [а, Ь].14.58. Пусть дана последовательность {fn(x)}~=l с V([a, Ь]),0000LIfn(a)1 <Lи00n=1V;(fn) <00.n=1Доказать, что ряд00сходится к некоторой функцииf(x)ЕV([a,Ь]) равномерно на [а, Ь],и что00V;(f) ~LV;(fn).n=114.59. Пусть h(x) - функция скачков,00h(x) ==Lakgk(x),k=lгдеиgk(X) == XlCk,b] (х),gk(X) попарно различныи не постоянны на [а, Ь]. Доказать, что V;(h) == а < 00.14.60. Назовём функцию f(x) Е V([a, Ь]) сuнгулярной, если f(x) ЕЕ С([а, Ь]) n V([a, Ь]), f(x) Ф С на [а, Ь], но f'(x) == О п.в.
на [а, Ь].Построить строго возрастающую сингулярную функцию f(x) на [0,1].14.61.(Леммагде всек{!n (х) } ~= 1 - такая[а, Ь], что Ifn(x)1 ~ СCkЕ [а, Ь], функциитеоремеХелли(задача14.62).)Пустьпоследовательность неубывающих функций надля некоторого С>О и всех х Е [а, Ь], n Е N.Доказать, что существует подпоследовательность{!nk (х) } С:= l'котораясходится всюду на [а, Ь] к некоторой неубывающей функции на [а, Ь].14.62.
Вторая теорема Хелли. Пусть {fn(x)}~=l тельность функций изнекоторого С>ОпоследоваV([a, Ь]), причём Ifn(x)1 ~ С и V;(fn) ~ С дляпри всех х Е [а, Ь] и n Е N. Доказать, что существуетподпоследовательность{fnk(x)}C:=l' сходящаяся всюду на [а,Ь] к некоторой функции f(x) Е V([a, Ь]).14.63. Пусть {fn(x)}~=l с V([a, Ь]) и для любого Е > О существуеттакое N, что V;(fn - fm) < Е при всех n, т ~ N. Доказать, что11п.
л. Ульянов и др.Гл.32214.Функции ограниченной вариациисуществует такая функцияf(x)ЕV([a,Ь]), чтоlim V;(fn - f)== о.n----+оо14.64. Пусть f(x) Е С([а, Ь]). ДЛЯ заданного разбиения Т == {а ==== хо < хl < ... < х n -l < Х N == Ь} отрезка [а, Ь] определим отрезки!1 k == [Xk-l, Xk] и значения Mk == тах f(x) и mk == min f(x) дляXE~kk == 1,2, ...
,n.XE~kПустьn[2T(f) ==L(Mk - mk).k=1Доказать, чтоV;(f) ==limл(Т)----+ОVT(f) ==limл(Т)----+О[2T(f)(здесь вариация может быть конечной или бесконечной).14.65. Построить функцию f(x) ~ V([O, 1]) и последовательность{Ti }:1 разбиений отрезка [о, 1], для которых л(Тi ) -----+ О при i -----+ 00и VT~ (f) == О при всех i.14.66. Пусть f(x) Е С([а, Ь]) и g(y) (см. задачу 8.52). Доказать, чтоеё индикатриса Банахаv; (1) f g(y) dfL,=IRгде J-L -классическая мера Лебега наIR.14.67. Пусть f(x) Е V([a, Ь]) и f(x) == ф(х) + s(x), где s(x) функция скачков для f(x) (см.
задачу 14.41). Доказать, что V:(f) ==== (ф) + (s).V:V:14.68. Пусть {fn(x)}~=1 с V([a, Ь]) ций скачков. Пусть такжепри n -----+ 00. Доказать, чтопоследовательность функf(x) Е V([a, Ь]), f(a) == О и V:(f - fn) -----+ оf(x) - также функция скачков.14.69.
Пусть f(x) Е С([а, Ь]) n V([a, Ь]). Доказать, что существуетразложение f (х) == fl (х) - f2 (х), где fl (х) и f2 (х) - неотрицательныенеубывающие непрерывные функции на [а, Ь], причём V:(f) == V:(fl) ++ V:(f2).14.70. Пусть f(x) Е V([a, Ь]). Доказать, что существует разложение f(x) == fl (х) - f2(X), где fl (х) и f2(X) - неотрицательные неубывающие функции на [а, Ь], и V:(f) == V:(fl) + V:(f2).Гл.14.Функции ограниченной вариации323РЕШЕНИЯ14.1. Без ограничения общности можно считать, что f(x) - неубывающая функция на [а, Ь]. ТогдаVT(f) == f(b) - f(a) для любогобиения Т отрезка [а, Ь].
Следовательно, Vi(f) == f(b) - f(a) < 00.разD14.2. Для любого х Е [а, Ь] имеемIf(x)1 ~ If(a)1 + If(x) - f(a)1 ~ If(a)1 + V;(f) == C(f)·D< хl < ... < Xk-l < Xk == с} и Т2 ==== {с == Уа < Уl < ... < Ут-l < Ут == Ь} - разбиения отрезков [а, с]и [с, Ь] соответственно. Тогда Т == {а == Ха < хl < ... < Xk-l < Xk << Уl < ... < Ут == Ь} - разбиение отрезка [а, Ь]. Следовательно,14.3. Пусть Т1 == {а == ХаVT(f) == VT1 (f) + VT2 (f)· Так как разбиения Т1 и Т2 произвольны, тоf(x) Е V([a, с]), f(x) Е V([c, Ь]) и V~(f) + Vcb(f) ~ Vi(f). С другойстороны, пусть Т == {а == Ха < хl < ... < х n -l < Х N == Ь} - разбиениеотрезка [а, Ь].
Определим новое разбиение Т': Т'точку с,иТ'=={а==ха<Хlесли с ЕТ, если Т содержит(Xk, Xk+l)< ... <Xk<C<Xk+l < ... <х n -l <хn==ь},для некоторогоk.Заметим, что разбиение Т' является объединением разбиений Т1 и Т2 отрезков [а, с] и [с, Ь] соответственно. Следовательно,Так как Т произвольно, то отсюда следует утверждение задачи.14.4.
Пусть Т == {а == Ха< Хl < ... < х n -l < Х n ==разбиение [а, Ь]. Определим новое разбиение Т': Т'жит точку с,DЬ} - некотороеТ, если Т содер-иТ'=={а==Ха<Хl< ... <Xk<C<Xk+l < ... <х n -l <Хn==Ь},если с Е (Xk' Xk+l) при некотором k. Заметим, что разбиение Т' является объединением разбиений Т1 и Т2 отрезков [а, с] и [с, Ь] соответственно.
Следовательно,Так как Т произвольно, тоследует из задачи14.3.14.5. Пусть а ~ Х== Vl(f)11 *~ о.Df(x)ЕV([a,Ь]). Равенство для вариацийD<У~ Ь. Тогда (см. задачу 14.3)fl(Y) - fl(X) ==Гл.32414.Функции ограниченной вариации14.6. П ус ть f 1 ( х) == Vax (f) И f 2 ( х) == f 1 ( х) - f (х ) . То гда (с м. задачу 14.5) fl(X) - неубывающая функция на [а,Ь]. При этом для любыха ~ х < у ~ Ь имеем (учитывая результат задачи 14.3):f2(Y) - f2(X) == V%(f) - (f(y) - f(x))~ о.D14.7. Из задачи 14.6 следует, что существует представление f(x) ==== fl(X) - f2(X), где fl(X) и f2(X) - неубывающие функции на [а,Ь].Тогда f(x) == (fl (х) + х) - (f2(X) + х), где fl (х) + х и f2(X) + х строго возрастающие функции на [а, Ь].D14.8. Положим, например, fl(X) == Х[а,I](Х) И f2(X) == Х(а,I](Х).14.9.DПоложим, например,fl(X) ==при О ~ х ~1при2 < х" 2'2 + sinxпри2 <хОпри О ~ х ~1 - sin хпри2 < х" 2'2при2 <х1г31Г1г31Г2'~ 31ГИf2(X) ==1гSlnx~ 27Г1г2'~ 31Г~ 27Г.D14.10.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
