1610912311-3cbc5b34357e1bf98e493aa337af68a6 (824698), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Опре1h(x) == f(x) + -nХВ(Х) при х Е х. Для любого А Е МполучаемJh(x) dfL Jf(x) dfL + ~ м(А n В) :(=АА:( J Лх) dfL + Ф(А n В):( Ф(А \ В) + Ф(А n В)А\ВСледовательно,h(x)Е Р, ноJh(x) dfL JЛх) dfL + ~ м(В) > S.=хх=Ф(А).Гл.LpПространства13.Полученное противоречие показывает, что лно утверждению задачи.313и некоторые другие nриложенияо на М, что эквивалентD0013.81. Пусть Х ==U Еn ,<где м(Еn )при n Е N.00В силуn=1результата задачиfn(x)Е13.80 для каждого n существует такая функциячто для любого множества А Е МNL(En ),выполнено условиеФ(А)=={Вn Еn :В Е М}Jfn(x) dfL·=АЗаметим, чтонулём на Хfn(x)неотрицательна на Еn , n ЕN.Продолжимfn(x)\ Еn и положим00Lf(x) ==fn(x).n=1Тогда00J f(x) dfL=f(x)Ф(А)ЕL(X).00L=Jfn(x) dfL=n=1 ХхпоэтомуL00LФ(Еn )=Ф(Х) <00,n=1Но для произвольного А Е МФ(А n Еn )00JL=n=1Лх) dfL =n=lАПЕ пJЛх) dfL·АD13.82.Х1==Обозначим{х Е Х:f(x) > g(X)}ТогдаХ2и=={х Е Х:f(x) < g(X)}.Jи(х) - g(X)) dfL = О.Х1Поэтому М(Х 1 )на Х.==о.
Аналогично, М(Х2 )==О, так чтоf(x) == g(x)п.в.D13.83.ПустьФ(А)=={1,если ~ Е А,-ОЯсно, что Ф-такая функцияиначе.а-аддитивная мера на М. Предположим, что существуетf(x)ЕL((O, 1)),Ф(А)что=Jf(x) dfLА314Гл.13.ПространстваLpи некоторые другие nриложениядля любого А Е М. ТогдаJj(x)dfL=OАдля любого А Е М, дЛЯ которогоп.в. на [0,1], а потому Ф(А)13.84.1"2~ А.
Отсюда следует, чтоf(x) ==О, и мы пришли к противоречию.Предположим, что такая функцияfОDсуществует. Так какзаряд Ф не является абсолютно непрерывным, то найдётся такое множество А, что мА==О, но Ф(А)#- о.в то же время согласно свойстваминтеграла Лебега интеграл по множеству нулевой меры всегда равеннулю. Таким образом,JЛх) dfLАи мы пришли к противоречию.D=О -1- Ф(А),Глава14ФУНКЦИИ ОГРАНИЧЕННОЙ ВАРИАЦИИВ этой главе мы будем рассматривать конечные вещественнозначные=={афункции==Хонаотрезке[а, Ь] С IR.< Xl < ... < Xn-l < Х n ==ДЛЯлюбогоразбиенияТ==Ь} отрезка [а, Ь] обозначимnVT(f) == L If(Xk) - f(Xk-l)l·k=lВариацией функции f на отрезке [а, Ь] называется величина V;(f) ==== sup VT(f) (точная верхняя грань берётся по всем разбиениям оттрезка). Если она конечна, то мы скажем, чтоf(x) -функция огра-ниченной вариации на [а, Ь].
Множество всех функций ограниченнойвариации на этом отрезке будет обозначаться через<Пусть Оа ~ 1. ЧерезLip(a,V([a,Ь]).[а, Ь]) обозначим класс вещественнозначных функций на [а, Ь], дЛЯ которых существует такая положительная постояннаянеравенствоG == G(f), что дляIf(x) - f(y)1 ~ Glx - yla.любых Х и у из [а, Ь] выполненоМы будем также использовать обозначения для односторонних пределов функции:f(x + О) == lim f(x + t)f(x -иt----+O+Если в некоторой точке разрываtфункцииоба этих значения, то будем называтьtО)f (х)== lim f(x + t).t----+O-существуют и конечныточкой разрыва первого рода.Пусть на отрезке [а, Ь] заданы попарно различные точки{xk}нечный или счётный набор) и даны такие вещественные числаи{bk},что при каждомkвремявыполнено условиеL(lakl + Ibkl) <lakl + Ibkl > О,(ко{ak}но в то же00.kТогда функцияs(x) == L akX(Xk,b](x) + L bkX[Xk,b](X)kназывается{xk}, {ak}функциейи{bk}).скачковk(ссоответствующимипараметрамиГл.31614.Функции ограниченной вариацииЗАДАЧИ14.1.
Пусть f(x) -f(x)ЕV([a,монотонная функция на [а, Ь]. Доказать, чтоЬ]), и найти её вариацию.14.2. Пусть f(x) Е V([a, Ь]). Доказать, что f(x) ограничена на [а, Ь].14.3. Пусть f(x) Е V([a, Ь]) и с Е (а, Ь). Доказать, что f(x) ЕV([a, с]), f(x) Е V([c, Ь]) и Vi(f) == V~(f) + Vcb(f).14.4. Пусть а < с < Ь и функция f(x) Е V([a, с]) n V([c, Ь]). Доказать, что f(x) Е V([a, Ь]) и Vi(f) == V~(f) + Vcb(f).14.5.
Пусть f(x) Е V([a, Ь]). Доказать, что fl (х) == VaX(f) - неубыЕвающая функция на [а, Ь].14.6. Пусть f(x) Е V([a, Ь]). Доказать, что её можно представитьв видеf(x) == fl (х) - f2(X),гдеfl (х)инеубывающие функцииf2(X) -на [а, Ь].14.7. Пусть f(x) Е V([a, Ь]). Доказать, что её можно представитьв видеf(x) == fl (х) - f2(X),гдеfl (х)иf2(X) -строго возрастающиепри х==а Е [О, 1],функции на [а,Ь].14.8.Пустьлх)={~Представитьf(x)ввидепри х Е [0,1] \ {а}.разностидвухнеубывающихна[0,1]функций.14.9.
Пусть f(x) == sinx на [О, 27Г]. Представить f(x) в виде разности двух неубывающих на [0,27Г] функций.14.10. Пусть f(x) Е V([a, Ь]). Доказать, что f(x) - неубывающаяфункция на [а, Ь] тогда и только тогда, когда14.11. Пусть f(x) -f(x)ЕV([a,Vi(f) == f(b) - f(a).конечная функция на [а, Ь]. Доказать, чтоЬ]) тогда и только тогда, когда существует такая неубывающая функцияg(x)на [а, Ь], чтоIf(x) - f(y)1~g(y) - g(x)для любогоотрезка [х, У] с [а, Ь].14.12.
Пусть f(x) - конечная функция на [а, Ь], а ср(х) - строговозрастающая непрерывная функция на [а, Ь], причём ср(а)== Ь. Доказать, что f(x)== f(cp(x)) Е V([a, Ь]).ЕV([a,f(x)го возрастающую функцию ср(х), для которых~V([O, 1])ср(О) == О,и==g(x) ==строср(l)== 1ЕV([O, 1]).14.14. Пусть f(x), g(x) Е V([a, Ь]).Е V([a, Ь]) и Vi(f + g) ~ Vi(f) + Vi(g)·g(x) == f(cp(x))а и ср(Ь)Ь]) тогда и только тогда, когда14.13.
Построить конечную функциюи==Доказать, чтоf(x) + g(x)ЕГл.Функции ограниченной вариации14.14.15. Построить такиеV01(! + g) < V(} (j) + V01(g).функцииj(X),g(X)317ЕV([O, 1]),что14.16. Пусть j(X) Е V([a, Ь]) и а Е IR. Доказать, что aj(x) ЕЕ V([a, Ь]) и Vi(aj) == laIVi(j).14.17. Пусть j(x) -j(x)Ев видеконечная функция наV([a, Ь]) тогда и только тогда, когдаj(x) == jl (х) - j2(X), где jl (х) и j2(X) -[а, Ь]Доказать, чтоеё можно представитьнеубывающие функциина [а, Ь].14.18. Пусть j(x) и g(x) из V([a, Ь]). Доказать, что j(x) .
g(x) ЕЕV([a,Ь]) иV;(jg) ~ sup Ig(x)l· V;(j) + sup ·lj(x)IV;(g).хЕ [а,Ь]хЕ [а,Ь]14.19. Построить такие возрастающие функции j(x) и g(x) нанекотором [а, Ь], что14.20. Пусть1зать, что Лх) Еj(x) . g(x) j(x) Е V([a, Ь])немонотонная функция на [а, Ь].иIj(x)1~ С>Опри х Е [а, Ь]. Дока-V([a, Ь]).14.21. Пусть j(x),g(x) Е V([a,b]) и Ij(x)1 ~ Сg(x)Доказать, что Лх) Е>О при х Е [а,Ь].V([a, Ь]).14.22. Построить положительные функции j(x),g(x) Е V([O, 1]),g(x)ДЛЯ которых f(x) ~ V([O, 1]).14.23. Пусть j(x), g(x) Е V([a, Ь]).== шах (g (х ), j (х )) Е V ( [а, Ь]).Доказать,чтоh(x) ==14.24.
Пусть j(x) Е V([a, Ь]). Доказать, что Ij(x)1 Е V([a, Ь])и Vi(ljl) ~ Vi(j)·14.25. Построить j(x) ~ V([O, 1]), для которой Ij(x)1 Е V([a, Ь]).14.26. Пусть j(x) Е С([а, Ь]) и Ij(x)1 Е V([a, Ь]). Доказать, чтоj(x) Е V([a, Ь]) и Vi(ljl) == Vi(j).14.27. Пусть j(x) Е Lip(l, [а, Ь]). Доказать, что j(x) Е V([a, Ь]).14.28. Пусть О < а < 1. ПостроитьЕ Lip(a, [0,1]), что j(x) ~ V([O, 1]).14.29.такуюфункциюПостроить функциюf(x)Е(nаЕ(О,I)Lip(a, [0,1])) \ V([O, 1]).j(x)ЕГл.31814.Функции ограниченной вариации14.30. Построить функцию f(x) Е V([O, 1]) n С([О, 1]), не принадлежащую классу Lip(a, [0,1]) ни при каком а Е (0,1].14.31. Пусть f(x) Е V([a, Ь]), g(x) - функция на IR, и существуеттакое G > О, что Ig(x) - g(y)1 ~ Glx - yl для любых Х,у Е IR. Доказать,чтоg(f(x))ЕЬ]).V([a,14.32.
Для данного а Е (О, 1) построить такие функцииf(x) Е V([O, 1]) и g(x) на IR, что существует G > О, дЛЯ которогоIg(x) - g(y)1 ~ Glx - yla при всех х, У Е IR, но g(f(x)) ~ V([a, Ь]).14.33. Пусть f(x) дифференцируема на [а, Ь] и f'(x) ограничена на[а, Ь]. Доказать, что14.34.f(x)где а Е IR и (з? о.V([O, 1]).14.35.V([a,Ь]).Пустьлх)классуЕ={а.~ sшх(3при х==О,Найти, при каких а и (з функцияf(x)принадлежитf(x)принадлежитПустьf(x) == {x a sinx(3Огде а Е IR и (зклассуПРИХЕ(О,l],< о.при х Е (0,1],при х == О,Найти, при каких а и (з функцияV([O, 1]).14.36. Пусть f(x) Е V([a, Ь]).
Доказать, что f(x) непрерывна на[а, Ь] всюду, кроме не более чем счётного множества точек, в которыхона имеет разрывыпервого рода.14.37. Пусть f(x) Е V([a, Ь]) и непрерывна в точке ха Е [а, Ь]. Доказать, что функцияfl(X) == VaX(f) также непрерывна в точке ха.14.38. Пусть f(x) Е V([a, Ь]) и функция fl (х) == VaX(f) непрерывнав точке ха Е [а, Ь]. Доказать, что f(x) также непрерывна в точке ха.14.39. Пусть f(x) Е V([a, Ь]) n С([а, Ь]). Доказать, что её можнопредставить в виде f(x) == fl (х) - f2(X), где fl (х) и f2(X) - неубывающие непрерывные функции на [а, Ь].14.40.Доказать, что функция скачков корректно определена и является функцией ограниченной вариации на отрезке, где она задана.14.41. Пусть f(x) Е V([a, Ь]) и {Xn}~_1 разрываs(x) ==f(x)на [а, Ь].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
