1610912311-3cbc5b34357e1bf98e493aa337af68a6 (824698), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Пусть (Х 1 , М1 , мl) и (Х2 , М2 , М2) - а-конечные измеримыепространства, А 1 Е М 1 , А 2 Е М2 , мl (А 1 ) == М2(А 2 ) < 00, конечная функция f(x) измерима на А 1 , конечная функция g(y) измерима на А 2 ипри всехкогдаtg(y)ЕЕIR. Доказать,L(A 2 ), и что вчтоЕf(x)L(A 1 )тогда и только тогда,случае, когда обе функции интегрируемы,выполнено равенствоJ f(x)dfLl J g(y)dfL2'=А113.48.А2Построить две конечные измеримые относительно классической меры Лебега J-L нам({х Епр и всехtЕIR,иIRфункцииIR: f(x) > t}) ==f (х)ЕL (IR ),ноf(x)им({у Е9 (х)~g(x),для которыхIR: g(x) > t})L (IR ) .13.49.
Пусть f(x) и g(x) - измеримые неотрицательные функциина А, Ау== Ay(g) =={х Е А:g(x) >Р(у)=у} при у>оиJ f(x) dfL·АуДоказать, чтоJf(x)g(x) dfL=Агде мl-JР(у) dfLl,(0,00)классическая мера Лебега на(0,00).13.50. Пусть n ~ 1, дан конечный промежуток [а, Ь] С IRn, J-L классическая мера Лебега на [а, Ь], 1 ~ р < 00 и дана функцияf(x)g(x)ЕLp([a, Ь]).Доказать, что при любом ЕЕ С([а, Ь]), дЛЯ которойфункций всюду плотно вIlf -gllp < Е,>О существует функцият. е. множество непрерывныхLp([a, Ь]).13.51.
Пусть дан конечный отрезок [а, Ь] С IR и число р Е [1; (0).Доказать, что множество всех многочленов всюду плотно вLp([a, Ь]).280Гл.13.LpПространстваи некоторые другие nриложения13.52. Пусть n ~ 1, дан конечный отрезок [а, Ь] С IRn, М - классическая мера Лебега на [а, Ь] иLp([a, Ь])1~р< 00.Доказать, что пространствосепарабельно.13.53. Пусть 1 ~ р < 00 и Co(IR) - множество всех таких функцийf (х) Е С (IR), что существует N == N (f), для которого f (х) == О приIxl ~ N. Доказать, что Co(IR 1) - всюду плотное множество в Lp(IR).13.54. Пусть 1 ~ р<00.Доказать, что пространствоLp(IR 1)сепарабельно.13.55. Пустьи р(А, В)==м(А(Х, м, м)Lпространство-сконечноймерой,В) дЛЯ А и В из М. Доказать, что (М, р)квазиметрическое пространство,т.
е.чтор-неотрицательная-симметричная функция и для неё выполнено неравенство треугольника.13.56. Пусть (Х, м, м) - пространство с конечной мерой и 1 ~ р< 00.Доказать, что нормированное пространствоLp(X)сепарабельнотогда и только тогда, когда квазиметрическое пространствос р(А, В)==м(АL<(М, р)В) при А и В из М сепарабельно.13.57. Доказать, что пространство Loo([O, 1]) несепарабельно.13.58. Пусть 1 ~ р < 00, м(А) < 00 и f(x) Е Lp(A). Доказать, чтосуществует такое со Е IR, что inf Ilf - cll p == Ilf - coll p ·cEIR13.59.
Пусть 1 < Р < 00, м(А) < 00 и f(x) Е Lp(A). Доказать, чточисло со Е IR, дЛЯ которого inf Ilf - cll p == Ilf - coll p (см. задачу 13.58),cEIRlединственно.13.60. Построить функцию f(x) Е L((O, 1)), для которой множествоА == {с Е IR1:Ilf -infdEIRldll p ==Ilf - cll p }состоит более чем из одной точки.13.61.
Пусть f(x) Е Loo(A). Доказать, что существует единственное со Е IR, дЛЯ которого inf Ilf - cll oo == Ilf - coll oo ·cEIR13.62. Пусть [а, Ь] С IR, 1 ~ р< 00,дана функцияОпределим её модуль непрерывности вw(f; б)р == supO~h~bДоказать, чтоw(f; б)р(ЕLp([a, Ь]).формулойl/рJIf(x + h) - f(x) I dM )P.[a,b-h]-----+ О при б -----+13.63. Пусть [а, Ь] С IR, 1 ~ рпричём её модульLpf(x)0+.< 00,непрерывностидана функция(см.задачуf(x)ЕLp([a, Ь]),13.62) удовлетворяетГл.условию13.Пространстваw(f; 6)р == 0(6)Lp281и некоторые другие nриложенияпри 6 -----+ 0+.Доказать, чтоf(x) ==с п.в.на [а, Ь].13.64.
Пусть f(x) Е L(IR). Доказать, чтоf If(x + t) - f(x)1 dfJ----tОIRприt-----+ о.13.65. Пусть f(x),g(x) Е L(IR 1 ), причём f(x) - ограниченнаяфункция на IR. Доказать, что их свёртка (! * g) (х) (см. задачу 12.11)непрерывна на IR.13.66. Пусть f(x) Е L(IR), дано h > О иfh(X)f1= 2hf(t) dfJ·(x-h,x+h)Ilfhlll~Ilf11 1 ·13.67. Пусть 1<Р<00,Ilfhll p~Ilfll p .Доказать, что(см. задачу 13.66)h >О иf(x)ЕLp(IR).Доказать, что13.68. Пусть 1 ~ р < 00 и f(x) Е L p (IR 1 ). Доказать, что (см. задачу 13.66) Ilf - fhll p -----+ О при h -----+ 0+.13.69.
Пусть f(x) Е L 1 ((0, 1)) иfk(X)=kJпри х Еf(t) dfJ[i ~ 1 , ~),гдеi=1,2, ... , k(i k l,i)для k Е N. Доказать, что13.70. Пусть 1 ~ рдачу 13.69)Ilfkll p~Ilfklll< 00Ilfll pи~IIfl1 1 приf(x)Евсех k.Lp((O, 1)).Доказать, что (см. задля любого k.13.71. Пусть 1 ~ р < 00 и f(x) Е Lp((O, 1)). Доказать, что (см.
задачу 13.69) Ilf - fkll p -----+ О при k -----+ 00.13.72.Пусть М-для любых множества-алгебра, а ФAi-заряд на М. Доказать, чтоиз М таких, что А 1 ~ А 2 ~ ... , выполненоравенство13.73.зать,Пусть М-а-алгебра, Ф-заряд на М и А Е М. Дока-что{(А)==supBEM,B~AФ(В)< 00.282Гл.13.ПространстваПусть М13.74.Lpи некоторые другие nриложенияа-алгебра, Ф-- заряд на М, А Е М и Ф(А)< о.Доказать, что существует отрицательное множество В С А.Пусть М13.75.а-алгебра с единицей Х, а Ф-заряд на М.-Доказать, что существуют положительное множество А+ Е М и отрицательное множество А_ Е М, дЛЯ которых Х==А+u А_(это представление называется разложением Хана множества Х относительнозаряда Ф).13.76.Привестипример заряда Фна а-алгебре с единицей Х,относительно которого множество Х имеет два различных разложенияХана.13.77.и Х==Пусть Мu А_ ==А+а-алгебра с единицей Х,-В+ U В_Ф(Еn В_).3== Ф + -n А+) ==n В+)Ф(Еи Ф(ЕnЭто означает, что можно определить две мерына М, связанные с Ф: Ф+(Е)Выражение Фзаряд на М-два разложения Хана.
Доказать, что для-любого Е Е М выполнены равенства Ф(Еn А_) ==Ф==n А+)Ф(Еи Ф_(Е)n А_).-Ф(Е==Ф _ называется разложением Жордана заряда Ф.а м е ч а н и е. Из утверждения задачи видно, что разложение Жордана единственно.Пусть М13. 78.мера на М, Ф-тельно М, а Ф==чуа-алгебра с единицей Х, м--а-аддитивнаязаряд на М, который абсолютно непрерывен относиФ+-Ф--разложение Жордана заряда Ф (см. зада13.77). Доказать, что меры Ф+ и ф_ также абсолютно непрерывныотносительно меры М.13.79.ПустьМа-алгебра-а-аддитивная мера на М, а Ф Ф- ос-единицейХ,Мконечная-конечная а-аддитивная мерана М, которая абсолютно непрерывна относительно меры М. Доказать,что существуют такие натуральное числом(В)>Ои В13.80.nи множество В Е М, чтоположительно относительно заряда Фn-==Теорема Радона-Никодима.
Пусть (Х, М, м)ство с конечной мерой, а Ф-1Ф - - М.n-пространзаряд на М, который абсолютно непрерывен относительно М. Доказать, что существует функцияf(x)ЕL(X),для которойФ(А)=JЛХ) dp,для всех А Е М.А13.81.(Х, М, м)-13.82.функцииДоказатьтеоремуРадона - Никодимавслучае,когдаа-конечное измеримое пространство.Пустьf(x)иL(X) и(Х, М, м)g(x)иза-конечноеJЛХ) dp, Jg(x) dp,=АДоказать, чтоf(x) == g(x)Ап.в. на Х.измеримоедля всех А Е М.пространство,Гл.Пространства13.Lpи некоторые другие nриложения13.83. Пусть ([О, l],М,м) -283пространство с классической меройЛебега.
Построить такую а-аддитивную меру Ф на М, что не существует функцииf(x)ЕФ(А)=L((O, 1)),для которойJЛХ) dp,при всех А Е М.А13.84. Пусть (Х, М, м) - пространство с конечной мерой, а Ф заряд на М, который не является абсолютно непрерывным относительно М. Доказать, что не существует функцииФ(А)=JЛХ) dp,f(x)ЕL(X),дЛЯ которойдля всех А Е М.АРЕШЕНИЯ13.1.Ясно, что достаточно рассмотреть случай положительных аи ь. Рассмотрим кривую на плоскости усоотношения на р и==yq-l.Пусть 51 -==ОХ и прямой хqх р - l , где х ~ о. в силу==эта же кривая является графиком функции хплощадь фигуры, ограниченной этой кривой, осьюа, аплощадь фигуры, ограниченной той же52 -==кривой, осью ОУ и прямой уаЬ :::; SI + S2а=ь. Тогда нетрудно видеть, чтоJх -р IЬdxрq+ Jyq-I dy = ~ + bq .ооЗаметим, что равенство достигается тогда и только тогда, когда Ь==lа - . Данным фактом мы воспользуемся ниже.р13.2.==DЗаметим, что если хотя бы один интеграл в правой частинеравенства, скажем первый, равен нулю, тослучае==f(x)g(x) ==f(x) ==О п.в.
на А. В этомО п.в. на А, и неравенство принимает вид О ~ о.Пусть теперьJlf(x)IPdp,=аР > ОJIg(x)l q dp,иАОбозначим ср(х)А==1~f(x)и ф(х)J1<p(x)IАPdp,===1Ьg(x).JIФ(х)lАqТогдаdp,= 1.=bq > О.284Гл.13.ПространстваПрименяя результат задачиIср(х)Ф(х)1 dJ-L ~JАLp13.1,JIcp(x)Iи некоторые другие nриложенияполучаем, чтоPdJ-Lр+АJ11jJ(x)Iпри всех х Е А, тоIf(x)! +! ==qр1,АD13.3. При р == 1 утверждение следует(задача 10.23). Пусть р > 1. Так как+ g(x)I PdJ-L ==qоткуда вытекает неравенство Гёльдера.If(x)Qиз свойств интеграла Лебега~ 2 Р шах (lf(x)I P , Ig(x)I P ) ~ 2 Р (lf(x)I P+ Ig(x)I P )If(x) + g(x)I P Е L(A).
Заметим, что+ g(x)I P ~ If(x) + g(x)l p - 1 If(x)1 + If(x) + g(x)l p - 1 Ig(x)1для каждого х Е А. Поскольку (р- l)q ==р, то, при меняя неравенствоГёльдера, получаем, чтоJIf(x) + g(x)IPdfL:::;А(JIf(x) + g(x)Il/qPdfL )ХАЕслиа=JIf(x) + g(x)IPО,dfL =Ато справедливость неравенства ~инковского очевидна. В противномслучае поделим обе части последнего неравенства на a 1/ q и получимнеравенство ~инковского.D13.4. ~ножество 'Ер(А) является линейным пространством (см. задачу 10.21 и начало решения задачи 13.3). Так как для функций fи g, равных нулю п.в., их сумма тоже равна нулю п.в., тоJo(A) -его подпространство, т. е.
фактор-пространство определено. Из свойствинтеграла Лебега ясно, что еслиf(x) == g(x)норма определена корректно. Отсюда же вытекает,и только тогда, когдаf(x) ==О п.в, т. е.f(x) ==Ilfllp == Ilgllp, т. е.что Ilfll p == о тогдап.в., тоО в смыслеLp(A).Неотрицательность нормы очевидна из свойств интеграла Лебега. Далее,Ilafllp == lalllfll p дляа ЕIR.каждого элементаf(x)ЕНаконец, неравенство треугольника вLp(A) и любого числаLp-это неравенство~инковского (с точностью до замены функции на класс эквивалентныхфункций).DГл.13.ПространстваLpи некоторые другие nриложения285Ilfll oo ~ о, чтоL oo , и что II00fll ==13.5. Линейность Loo(A) очевидна. Ясно также, чтоIlfll oo == о== 10011Ifllтогда и только тогда, когдаf(x) == О вдля любого элемента f(x) Е Loo(A) и любого числа о; ЕЕ IR.
Пусть теперь f(x) и g(x) из Loo(A), а == Ilfll oo и Ь == Ilgll oo . Тогдам({х Е А: If(x)1 > а}) == О и м({х Е А: Ig(x)1 > Ь}) == о. Следовательно,м({х Е А: If(x) + g(x)1 > а + Ь}) == о, откуда следует, что Ilf + glloo ~0000~ а+ Ь.D13.6. Положим А а == {х Е А: If(x)1 > о;}. Пусть мА а == о. Возьмёмфункцию g, равную нулю на А а и совпадающую с f вне этого множества. Тогда 9 rv f и g(x) ~ о; всюду на А. Обратно, если нашлась такаяфункция 9 rv f, что g(x) ~ о; всюду на А, то А а с {х: g(x) -1- f(x)},и потому мА а == о. Таким образом, если хотя бы одна из указанныхв условии величин конечна, то конечна и вторая, и они равны.+ fЗ > о13.7. Пусть вначале о;Предположим, что fЗ> о.o;lf(x)I P == fЗlg(х)lиDп.в. на А.Тогдаf If(x)g(x) 1dfL J(~) l/qlf(x)IP-IIf(х)1 dfL=Аq=(~) I/qll!ll~.АС другой стороны,11!ll p . Ilgllq= 11!ll p'( (3а) l/q .
11!llftр.. =(а)(3l/q. 11!l1~,поэтому внеравенстве Гёльдера имеет место равенство. Пусть теперьf If(x)g(x) 1dfL=11!ll p . Ilgll q·АБудем считать, что обе функции не эквивалентны нулю на А, иначедоказывать нечего. Из доказательства неравенства Гёльдера (см. ре-шения задач 13.1 и 13.2), следует, что Ig~)1 = Сf~Х)I)Р-I П.В. на Аqпри а == Ilfll p > о и Ь == Ilgllq > о. Поэтому aPlg(x)l == bqlf(x)I P п.в.на А.D13.8. Пусть вначале о;считать, что fЗ> о.иo;f(x) ==fЗg(х) п.в. на А.
МожноТогда111 + gllp =Пусть теперь+ fЗ > о(1 + ~) 11!llp =Ilf + gllp == Ilfll p + Ilgll p ·11!ll p + Ilgll p 'В этом случае (см. решениязадач 13.3 и 13.7) имеем o;llf(x)I P == fЗllf(х) + g(x)I P и== fЗ2If(х) + g(x)I P п.в. на А, где 0;1,0;2, fЗl, fЗ2 ~ о, 0;1 + fЗl+ fЗ2 > о.0;2Ig(x)I P ==>О ИОтсюда непосредственно следует утверждение задачи.0;2D+286Гл.13.Пространства13.9.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
