1610912311-3cbc5b34357e1bf98e493aa337af68a6 (824698), страница 43
Текст из файла (страница 43)
задачи 13.20 и 13.21)CYLЦecTByeT Lр-пределАналогично, если рассмотреть последовательностьkQk(X) ==LIfn(x)l,n=1гдеkЕN,на произвольном множестве конечной меры В С А, то с учётом задачи13.10мы получим, что она сходится вL 1 (B)к некоторойфункции Р(х), а тогда по теореме Б. Леви п.в. на В эта последовательность сходится. Поэтому ряд00n=1абсолютно сходится п.в. на А.
Наконец, так какрkL~fn(x)If(x)I Pn=1приk~ 00 П.В. на А и так какkL00n=1при всехk,~fn(x)рLn=1Ilfn(x)ll pто из теоремы Фату (см. задачуние задачи.D13.28. Пусть вначале fn(x) ::::} f(x) при n ~Е>Ополучаем утвержде10.35)выберем такоеN,что при каждомсЕ А: Ifn(x) - f(x)1 ~ 2(ft(A)+ 1)}n~Nна А. ДЛЯ любого00множество А nимеет меру ft(A n)с< "2'=={х ЕПри таких nимеемIfn(x) - f(x)11 + Ifn(x) - f(x)1 dJ-L ==JАJIfn(x) - f(x)11 + Ifn(x) - f(x)1 dJ-L+Ап+JА\А пIfn(X) - f(x)11 + Ifn(X) - f(x)1 dft :( ft(A n )+с2(ft(A)+ 1) ft(A \ А n ) < Е.Гл.13.ПространстваLpи некоторые другие nриложения293Пусть теперьIfn(x) - f(x)1 d1 + Ifn(x) - f(x)1 J-LО---+JАпри n ---+ 00. Тогда по неравенству Чебышёва для любого Е Е (О, 1)выполнена оценкаJ-L ({ х Е- f(x)1})А ..
1 +Ifn(x)Ifn(x) _ f(x)1 > Е_-(.с )1- fJ {х Е А. Ifn(x) - f(x)1 > 1 _ ) :( ЕJ1 +Ifn(x)- f(x)1Ifn(x) _ f(x)1 dx---7ОАпри n ---+ 00, откуда следует, чтоfn(x) ::::} f(x)при n ---+ 00 на А.D113.29. Пусть f(x) == О и fn(x) == ; X(-n,n)(Х) для х Е IR и n Е N.Тогдаfn(x)при---+ 00 наn---+f(x)IR.при n ---+ 00 равномерно на IR, поэтомуВ то же время1Ifn(x)1 dJ-L == 2n ;; == ~l+lfn(x)11+~n+lJАприn---+ 00.fn(x) ::::} f(x)~ОnD13.30. Ясно, что p(f,g) == p(g,f) и p(f,g) ~ О при всех f,g Е L.Если p(f, g) == О, то (см. задачу 10.52) f(x) == g(x) п.в. на А, т. е. f == 9в L.
Докажем неравенство треугольника. Заметим, что если а, Ь и с -+ С,неотрицательные числа и а ~ Ьто_а_ ~Ь+с~ _Ь_l+а" l+Ь+с" l+Ь+ _с_l+с·Отсюда следует, что- J +If(x)If(x)- -g(x)1g(x)1 dfJ "~ J +If(x)If(x)- -h(x)1h(x)1 dfJ +ри, g) -11АА+JIh(x) - g(x)11 + Ih(x) _ g(x)1-dfJ - ри, h) + p(h,g)Адля любых функцийf, 9иhизL.D13.31.
Предположим, что такая метрика p(f, g) существует. Рассмотрим последовательность{!n (х) } ~= 1 конечныхизмеримых функцийна [О, 1], которая сходится по мере к О при n ---+ 00 на [О, 1], но расходится в каждой точке (см. задачу9.18). Тогда существуют подпоследовательность {gk(X)И число Е== fnk (X)}~=l> О,дЛЯ которых p(gk' О) ~ Е294Гл.13.при всехk.НоПространстваgk (х) ::::}Lpо прии некоторые другие nриложенияn-----+ 00 на [О, 1], и по теореме Рисса(задача 9.19) существует подпоследовательность {gkz (х) }~1' котораясходится к О п.в. на [О, 1]. Тогда по предположениюlp(gkl' О)-----+ 00, что противоречит выбору последовательностиЗ а м е ч а н и е.Аналогичнодоказывается,что{nk}.-----+ О приDсходимостьпочтивсюду на отрезке не может быть задана никакой топологией.13.32.f(x)g(x)11 f ngЗаметим, что в силу результата задачиfn(x)gn(x)-f 9 111=f 1fпринадлежатХn ( )9(и13.2функции13.9L 1 (А) при всех n.
При этомх) - f( х )9 (х ) 1dfL :( 11 f nfll р 11 9 11 q-----tОАприn -----+13.33.f(x)g(x)D00.Заметим, что в силу результата задачи все функциипри n -----+ 00 ввсехn.Lq(A),fn(x)gn(x)принадлежатL 1 (A).>О, чтото существует такое ССледовательно (см. задачу13.2ифункция13.9Так какIlgnllqgn-----+9~ С для13.32),Ilfngn - fglll ~ Ilfngn - fgnlll + Ilgnf - fglll ~ Ilfn - fllpllgnllq ++ Ilgn - gllqllfll p ~ Cllfn - fll p + Ilfllpllgn - gllqприn -----+-----+ ОD00.13.34. Заметим, что Ф ( и) -----+ О при и -----+ 0+. Далее, из задачи 13.22следует, что Ф(lfn(х)Е>ОИr > о.- f(x)l) ::::} О при n -----+ 00 наПоложим с5 == Ф(Е) > о.
Затем найдёмм(В n )приПусть А n == {х Е А: Ifn(x)А n с В n при n ~ N, поэтому м(А n ) <n~м({х Е А: Ф(lfn(х)N.13.35. ЕслиIlfll p == О,- f(x)l)- f(x)1 >[.А. Пусть заданытакое~ с5})N, что<rЕ} дЛЯ такихn.ТогдаDто утверждение очевидно. ПустьIlfll p > о.Применяя неравенство Гёльдера, получаем, чтоJf(x)g(x) dfL:( Ilfll p . Ilgll q:(Ilfll pАдля любой функцииg(x)ЕLq(A)х) ==go(IсIlgll q~f (х ) Iр 111 sgnfll~-l1.
С другой стороны, пустьf (х ).Гл.Ясно, что== р,Пространства13.и некоторые другие nриложенияLp295измеримая функция на А. Далее, так как (рgo(x) -тоJIf(x)IIlfllP dfJ -- l)q ==PIlgollq q --АРIlfltP-lJlf(x)I1.Наконец,Jf(x)go(x) dfJ=АРPdfJ=Ilfll p 'АDТак как13.36.Jf(x)g(x) dfJ :( JIf(x)g(x) 1dfJ :( IlfllАp .Ilgll q = Ilfll p 'Ато из условий следует (см.
задачу 13.7), чтоf(x)g(x) == If(x)g(x)1 п.в.на А и что существуют такие а > О и fЗ > О, что alf(x)I P == fЗlg(х)lqп.в. на А. Так как Ilfll p > о, то fЗ > о. Поэтому Ig(x)1 == rlf(x)I P / ==q== r f (х ) Ip1-1,где r == !За. Поскольку11911q== 1, то r ==1 1.Ilfll~-Наконец,sgng(x) == sgnf(x)п.в. на А. Таким образом, мы однозначно восстановили функцию g.D13.37.
Ясно, что если g(x) Е Loo(A) иJf(x)g(x)dfJ:(Ilgll oo~ 1, тоIlflll'АДляgo(x) == sgnf(x)ЕимеемLoo(A)Jf(x )go(x) dfJ JIf(x) 1dfJ=А=Ilflll'АD13.38. Положим f(x) == gl(X) == X(o,~)(X) и g2(X) == 1 на (0,1).13.39. Если==Ilfll oo > о.Ilfll oo ==О,тоутверждениеочевидно.ПустьDа==Заметим, чтоJf(x)g(x)dfJ:(Ilfll oo ·llgl1 1 :( Ilfll ooАдля любой функцииg(x)ЕL 1 (A) с Ilglll ~ 1. Пусть дано некотоIf(x)1 > а - Е}. Тогда м(А Е ) > о. Можрое Е > О И А Е == {х Е А:но считать также, что м(А Е ) < 00, иначе вместо него рассмотримизмеримое множество В Е С А Е С О < м(В Е ) < 00. Пусть теперь296Гл.gE(X)113.Е= м(А )Далее,Так как Е>ОПространстваLpи некоторые другие nриложенияIlgEllIXAE(x)sgnf(x).
Заметим, что gE(X) Е LI(A) ипроизвольно, то точная верхняя грань равна а.= 1.D13.40. Пусть f(x) == х на (0,1). Тогда Ilfll oo == 1. Пусть g(x) ЕЕ L 1 ((0, 1)) и О < Ilglll ~ 1. Выберем r Е (0,1) так, что (см. задачу 10.67)J(0,1-,)ТогдаJ f(x)g(x) dfJ :( J xlg(x)1 dfJ + J(0,1)(0,1-,)~J(l- r )Ig(x)1 dfJ :((1-,,1)JIg(x)1 dfJ +(0,1-,)Ig(x)1 dfJ <IlgllI - ~ IlgllI <1.(1-,,1)D13.41. Положим gl(X)на (0,1).= 2 Х (о,&) (х),= 2XO,I) (х)иf(x)= 1D13.42. Докажем вначале, чтоIf(x)1 ==g2(X)00 на множестве Е с м(Е)множество Е 1 С Е с О<м(Е 1 )<конечнаf(x)> О,00.п.в.наЕслито можно выбрать измеримоеПустьg(x) == Х Е l (х)Тогда f(x)g(x) ~ L(A), и мы приходим К противоречию.конечна п.в.
на А. Представим теперь А в видегдеА.M(A k ) <00гдеnдля всехЕLq(A).Итак, f(x)k.ОбозначимПредположим, чтоf(x)~Lp(A),ЕN.и определим множества Е(n)== {х Еfn(x) == f(X)XE(n)(X) приЕ В n : If(x)1 ~ n} для n Е N. Пусть такжевсех n. По предположению (см. задачу 10.32)Ilfnllp -----+00 приn-----+ 00.Гл.13.LpПространства297и некоторые другие nриложенияПоэтому мы можем выбрать такую возрастающую последовательностьнатуральных чисел{nz}Сlr:l'чтоf=If(x)I P dfJ > 21E(nz+l)\E(nz)приlЕN,где nlпри l Е N. Тогда== 1.Определим функцииIlgzll q ==c 1/ q12.
Обозначим==Zp_l2 р[ CzZ00Lg(x) ==gz(x).[=1В силу результата задачи 13.27 функцияЯсно, чтокаждогоj(x)gz(x) -l,принадлежитg(x)Lq(A).измеримые неотрицательные функции на А дляпоэтому по теореме Б. Левиf f(x)g(x) dfJ00=АLf f(X)gl(X) dfJ100L=[=1 АfE.=l[=1 Z2 cZ р==13.43. Достаточно взять g(x)1.=E(nz+l)\E(nz)00Полученное противоречие доказывает, чтоlf(x)I P dfJj(X)Lc 1/ p~ ~[=1 ZЕLp(A).00L[=2Z/p-2-==00.1 ZDD13.44.
Аналогично решению задачи 13.42 показывается, что j(x)конечна п.в. на А. Предположим, чтоj(x)~Loo(A).Тогда можно выбрать такую последовательность непересекающихся множествС О</-L(А k )gk(X) ==<12k JL(A k )00,что Ij(x)1>kXAk(x)sgnj(x)2{A k } С:= 1при Х Е A k , где k Е N. Возьмёмпри каждомk,и пусть00g(x) ==Lgk(X).k=1Из задачи 13.27 следует, что g(x) Е L 1(А). Ясно, что j(X)gk(X) измеримые неотрицательные функции на А для каждого k, поэтомус учётом теоремы Б.
Леви получаем, что298Гл.Jf(x)g(x) dfL13.Пространства00=АLLpи некоторые другие nриложенияJf(X)gk(X) dfL=k=lA001k=lk JL(A k )LJ If(x)1 dfL ~ L001=00.а измеримые множества конечной мерыAk=2Полученное противоречие доказывает, чтоAf(x)k=lkЕL1(A).D13.45. Пусть вначале f(x) - простая функция. Тогдаnf(x) ==LCkXAk(X),k=lгде О< Cl <С2< ... < СП,попарно не пересекаются. Заметим, чтоn(f(x))P ==LcfxAk(x)k=lи+ ... + м(А n )м(А 2 ) + ... + м(А n )< t < Cl,Cl ~ t < С2,при ОM(A 1 )приF(t) ==при Cn-l ~приПолагая Со==tt<СП,~ Сп.О, получаем, чтои мы доказали в этом случае требуемое равенство. В общем случаепостроим (см. задачу 9.29) такую последовательностьнеотрицательных функций, чтоhn(x)r f(x)hn(x)простыхпри n -----+ 00 на А.
Применяя теорему Б. Леви, получаем, чтоnl~~ J(h n (х))Р dfLА(0),и (см. задачуJи(Х))Р dfL·АДалее, последовательностьЕ (О,={Fh n (t) }~= 1 неубывающая для каждого t Е7.51)lim Fh n (t) == Ff(t)n----+ооГл.13.для любогополучаем,ПространстваtЕ (О,(0).Lp299и некоторые другие nриложенияПоэтому, вновь применяя теорему Б. Леви,чтоJlimn----+ооJt p - 1Рh n (t)dМl ==(0,00)t P - 1 Рj(t)dМl.(0,00)в то же время из предыдущих рассуждений следует, чтоJ(hn(x))P d!LJР=Аt p - 1Fh n (t) d!Ll.(0,00)Из трёх полученных равенств следует утверждение задачи.D13.46.
Утверждение следует из задачи 13.45. D13.47. Пусть f(x) Е L(A 1 ). Тогда функции f+(x) и f-(x) -L(A 1 ).изЗаметим, чтоf+(x) > t}) ==Мl ({х Е А 1 :для каждогоtg+(y) > t})М2( {у Е А 2 :~ о. с другой стороны, при всехt~ О выполнено равенство{х Е А 1 :f-(x) > t} =={х Е А 1 :f(x) < -t} ==n=А 1 \{XEA 1 : Лх) ~ -t}=А 1 \{XEA 1 :Лх) > -t- ~},n=1где указанное счётное пересечение является пересечением вложенныхмножеств.Мl (А 1 )==Аналогичное< 00,М2(А 2 )мl({х Е А 1 :равенствовернодляфункции g.Таккакто по свойствам меры мы получаем, чтоf-(x) > t}) ==М2({У Е А 2 :Отсюда следует, что (см. задачу 13.46)g-(y) > t}).g+(x), g_(x)ЕL(A 1 )И чтоJ f+(x) d!Ll J g+(y) d!L2, J f-(x) d!Ll J g-(y) d!L2.==А1А1А2А2Из полученных формул следует утверждение задачи.13.48.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
