1610912311-3cbc5b34357e1bf98e493aa337af68a6 (824698), страница 38
Текст из файла (страница 38)
ТогдаD11.15. Пусть А n == {х Е А: f(x) Е А: f(x)1> -}приnА 1 С А 2 С ... иnЕ N. Тогда00А==U Аn .n=1Поэтому (см. задачу7.51) м(А n )-----+ а< 00при n -----+ 00. Следовательно,для некоторого ПО имеем м(А nо ) > ас - ~. Теперь для любого множества В Е М, вложенного в А, с М(В) ~ (3 имеем М(В n А nо ) > ~.
ТогдаJf(x)dM ~ Jв1 jЗf(х)dМ~--2·поВПА поD11.16. Пустьрого Е Е==00,(0,2).f (х) ==12" при х ЕхТогда (см. задачуи ВЕ(1, (0)2== (-, (0)сдля некото-11.8 б)) f(x) Е L((l,oo)), и М(В Е ) ==но00Jf(x)dM= (п)ВЕJdx---;tс2 < Е.=2/ЕПри Е ~ 2 можно взять множество В Е11.17. Пусть== (1, (0). Dgn,k(X) == X[k k+l] (х) для n == 2,3, ...и k== 1,2, ...n' n... , n - 1.Определим для т ~ 2 функциинаходятся из условий ттеперь1fm(x) == hm(x)хf (х )но (см. задачу11.1)== 1 + 2 + ... + nпри х Е- 2+kи1~ k(0,1).
Ясно, чтоlim su р f m ( х) ==т----+ооhm(x) == gn,k(X),~~хL ( (О, 1)),~ n -где1.nиkПустьГл.11. Сравнение интегралов Лебега и Римана257nf1fm(x) dJL =(0,1)Jk+l] - dJ-L == J ! dx == ln k +nхх[ kn'1 -ln k == ln k + 1nk~ ln 2.knnD11.18. Заметим, что D(x) ЕD(x)простая функция на (0,1), поэтомуиL((O, 1))fD(x) dJL = 1 . JL(Q n (0,1)) = О.(0,1)в то же времяD( х)разрывна в каждой точке [О, 1], поэтому в силурезультата задачи 11.311.19.D(x)~R([O, 1]).DПримером такой функции является функция Римана, разрывная на множестве Q[O;I] и непрерывная в остальных точках отрезка[0,1] (см.
решение задачи 4.3).D11.20. Ясно, что О ~ ХА(Х) ~ 1. Если G == [0,1] \ А, то J-L(G) == 1.При этом ХА(Х) непрерывна в каждой точке х Е G, так как G открыто.По критерию Лебега (см. задачу 11.3) ХА(Х) Е>R((O, 1]).D11.21. Пусть А - множество канторовского типа из [0,1] с м(А) >О (см. задачу 7.69). Тогда ХА(Х) разрывна в каждой точке х Е А,и по критерию Лебега ХА (х) ~R( [О, 1]).D11.22. Пусть F - множество канторовского типа в [О, 1] с М(Р) > О(см.
задачу 7.69). Найдём счётное множество А с Р, плотное в Р. Тогдам(А)==О, множество А нигде не плотно на отрезке, но ХА(Х) разрывнав каждой точке х Е Р, поэтому (см. задачу 11.3) ХА(Х) ~R([O, 1]).f (х)11.23. Заметим вначале, что так как м( Р) == О, то функцияэквивалентна на (0,1) функции g(x)=DXX[O,&J(X) + x2X(&,J/X)' Поэтомуf(L)f(x) dJL(L)=(0,1)fg(x) dJL=(0,1)1/2=(п)Jх1dx+ (п)ОJх 2dx =~ + ;4152'=1/2D11.24.Имеем00f f(x) dJL f ЛХ) dJL + L f f(x) dJL(L)=(0,1)РОD9Ьпп. л. Ульянов и др.n=1 а п00=0+ L Ь nn=1;аn=JL~G)=~.Гл.25811.25.11.Сравнение интегралов Лебега и Римана00ЬпИмеемJ f(x)d/1= L J ЛХ) d/1 + Jf(x)d/1=(L)n=1 а п(0,1)00(Ьп=О+ Lап )-РО2100=! L L з- 2k = ! L (~)4n=12k -0048k=1 n=1k==!.
~ ==9k=187_1 .28D11.26. Пусть Q == {rn}~=I. Обозначим А n == {(х, у) Е (0,1)2: ху ==== r n } при n Е N. Ясно, что для любого с > О можно покрыть А nконечным набором прямоугольников,Поэтому м(А n )==О при каждомсумма мер которых меньше с.Если теперьn.00то м(А) == о. Таким образом, f(x) эквивалентна на (0,1)2 функции g(x) о. Поэтому f(x) Е L((O, 1)2) ИJ ЛХ) d/1=О.(0,1)2D11.27. Так как1 на (О, 1) для каждого k, то второе равенство очевидно. Пусть k < j. Обозначим А: == {х Е (0,1): fr(x) == 1}и А; == {х Е (0,1): fr(x) == -1} для r == k,j. Пусть также Atj == {х ЕЕf'f (х)(0,1): fk(X)fj(x) == 1} и Ak,j == {х Е (0,1): fk(X)fj(x) == -1}. Ясно,что /1(A;t-) = /1(А;:-) = ~ при r = k,j и что/1(At,j n At)Аналогично, /1(At,j ПА;)=J fk(X)fj(X) d/1D~ /1(At)=~.~, Откуда следует, что /1(At,j)логично показывается, что /1(A;,j)(0,1)===~.
Поэтому/1(At,j) - /1(A;,j)=О.=~. АнаГл.11. Сравнение интегралов Лебега и Римана111.28. Так как (см. задачу 11.27) gk (х) == "2 (jk (х)домk,(L)J gk (x)gj (х) dfJ ±(J+ 1)при каж-тоfk(X)fj(x) dfJ +=(0,1)(0,1)J fj(X) dfJ + 1)+259=(0,1)J fk(X) dfJ +(0,1)J fk(x)fj(x) dfJ + 1)±(!если k == j,{ 4'если k -1- j.~'=(0,1)D111.29. Пусть j(x) == -хна (0,1/2),j(x) == j(l -х)1на== -1--х(1/2,1) и j(1/2) == j(O) == j(l) == о.
Из задачи 10.12 следует, чтоf ~ L((O, 1)). Положим fn(x) = Лх)х( ~,1-~) (х), где n = 3,4, ... Тогдаjn(x)j(x)-----+приn-----+ 00 для каждого х Е (0,1), но из соображенийсимметрииJ fn(x) dfJ=О(0,1)при всехn.11.30.DПусть j(x) == ~ sin ~ при х Е (О,хчуТогда (см. зада-1].х11.10 (б)) j(x) Е R((O+, 1]), но (см. задачи 11.6 и 11.10 (в))Ij(x)1 ~ R((O+, 1]). Пусть также g(x) == - j(x)h(x) == Ij(x)1 ~ R((O+, 1]).
D11.31. Пусть F [0,1] с м(р) > О иЕR((O+, 1]).Тогдазамкнутое множество канторовского типа на00n=1Пусть такжеfn (х)Тогда9*(х - а n )2 (х - ьn )2 sin (Ь n _ аn)(х ~ аn)(х _ Ь n ) Х(ап,Ь п ) (х).j~ (х)х Е [О,f~(x)=1] \=существуетвсюдуна[О, 1],j~ (х)==Опри(а n , ь n ) И2(х - аn)(х - Ьn )(2х - а n - Ьn ) sin (Ь n _ аn)(х ~ аn)(х - Ь n )-Гл.26011. Сравнение интегралов Лебега и Риманапри х Е (а n , Ь n ). Поэтому If~(x)1 ~ 2(Ь n - аn)З==с ~4.+2 ~4 и sup If~(x)1 ==[0,1]Пусть теперь00f(x) ==Lfn(x).n=1Если х Е G, то х Е (а n , Ь n ) для некоторогоn,и, следовательно, существует f'(x) == f~(x) Е [-4,4]. Пусть х Е Р. Тогда f(x) == о.
Пусть длянекоторого hо выполнено f(x + h)о. Без ограничения общности#-#-можно предположить, чтогоnиh>х+h-h>о. Далее, х+hЕ(а n , Ь n ) для некотороа n . Тогда+ h) - f(x)1 == Ifn(x + h)1 ~ (х + h - а n )2 ~ h2.существует f' (х) == о. Следовательно, f' (х) существуетIf(xПоэтомуна [0,1],где М(Р)~ 4 на [0,1]. Но f'(x) разрывна в каждой точке Р,О, поскольку в сколь угодно малой окрестности точки а nIf'(x)1>или Ь n производная принимает значения, близкие кf'(x)~всюдуR([O, 1]).D1ик-1.ПоэтомуГлава12ТЕОРЕМА ФУБИНИМы напомним, что, как доказано в задаче5.43,если даны полукольца 51 и 52, то система множествтакже является полукольцом.Пусть (Х l , М l , Мl) И (Х2 , М2 , М2) странства, Х==5 ==Х l Х Х2 ,а-конечные измеримые проМ l Х М2 .Определим нат5Aj== ml .
m2 формулой m(А l х А 2 ) == ml (А l )m2(А 2 ), гдеj == 1,2. Ниже в задаче 12.1 будет доказано, что т рез f-L == Мl Х М2 будем обозначать продолжение меры т(см. задачии12.112.2)с полукольцафункциюЕ5jпримера.Чепо ЛебегуСоответствующее измеримое5.пространство будет обозначаться через (Х, М, м).Пусть А с Х==Х l Х Х2 . Тогда для любого х Е Х l через А2(х) С Х2будем обозначать его соответствующее сечение, т. е.А 2 (х) == {у Е Х2 : (х, у) Е А}.Аналогично определяется сечение А l (у) С Х l для У Е Х2 .Ниже мы будем обозначать черезL( (а, Ь)),гдеn~ 1 и (а, Ь) сIRn,множество функций, интегрируемых по Лебегу относительно классической меры Лебега f-L на (а, Ь).ЗАДАЧИПусть 51 и 52 -является мерой наполукольца, 5==51 Х 52, а ml и m2 меры на 51 и 52 соответственно.
Доказать, что функция т == ml . m212.1.5.ml и m2 а-аддитивнына 51 и 52 соответственно. Доказать, что мера т а-аддитивна на 5.12.2.Пусть в условиях задачи12.1меры12.3. Пусть (Х l ,М l ,Мl) и (Х2 ,М2 ,М2) пространства сполнымимерами Мlи М2,а-конечные измеримыеа мералена на а-алгебре М. Пусть А Е М и м(А)<f-L==Мl Х М2опреде00. Доказать, что приГл.26212.Теорема Фу6uнuпочти всех (относительно Мl) х Е Х 1 сечение А2(х) принадлежит М2 ,функция М2(А 2 (х)) интегрируема по Лебегу на Х 1 иJ М2 (АfL ( А) =Х dfL 1.2( ) )Х112.4.Теоремаа-конечныеf-L==Фубини.измеримыеМl Х М2, М-(Х 1 ,М 1 ,Мl)ПустьпространствасполнымиИ(Х2 ,М2 ,М2)мерамисоответствующая а-алгебра, А Е М, аМl-иf(x,М2,у)-измеримая неотрицательная функция на А. Доказать, что функцияf(x,у) f-L2- изме рима для почти всех х Е Х 1 (относительно меры Мl),функцияФ(х)J=ЛХ, у) dfL2А2(х)f-L 1 - измеримаиJЛХ, у) dfL J Ф(х) dfLl J J=А=Хlf(x,у)dfL2 dfLl'Хl А2(х)Аналогичное утверждение верно, если поменять ролями Мl и М2.12.5.Теоремаа-конечныеФубини.измеримыепространства(Х 1 ,М 1 ,Мl)сполнымиИ(Х2 ,М2 ,М2)мерамиМlиМ2,f-L==f(x, у) Е L(A, м).Доказать, что f(x, у) Е L(A2(x)) для почти всех х Е Х 1 (относительномеры f-L 1), причём==Мl Х М2, МПустьсоответствующая а-алгебра, А Е М и-Ф(х)J=ЛХ, у) dfL2 Е L(Xl),А2(х)иJЛХ,у) dfL J Ф(х)dfLl J J=А=Хlj(x,y)dfL2 dfLl'Хl А2(х)Аналогичное утверждение верно, если поменять ролями Мl и М2.12.6.
Построить такую функцию f(x, у) ~ L((O, 1)2), что f(xo, у) ЕЕL( (О, 1))менноf(x,при каждом фиксированном хо как функция от у и одновреУо) ЕL((O, 1))при каждом фиксированном Уо как функцияот х, причём при любых хо и Уо верны равенстваJ f(xa, у) dfL(y)(0,1)=J ЛХ, Уа) dfL(X)(0,1)=О.Гл.12.Теорема ФуБUflU26312.7.
Построить такую конечную измеримую на (0,1)2 функциюf(x,у), чтоJ (J(0,1)иf(x,у) dfL(X)) dfL(y) = О(0,1)J (J ЛХ, у)(0,1)12.8.Пусть а, Ь ЕdfL(y)) dfL(X)=1.(0,1)JRи а#- Ь.Построить такую конечную измеримуюна (0,1)2 функцию f(x,y), чтоJ (J(0,1)иf(x, у) dfL(X)) dfL(y)а=Ь.(0,1)J (J ЛХ, у)(0,1)=dfL(y)) dfL(X)(0,1)12.9. Пустьf(x,y) == e-хУsiпхsiпучто f (х, у) Е L ( (О, 00 )2).на(0,00)2.Доказать,12.10. Пусть (Х 1 , М1 , Мl) и (Х2 , М2 , М2) - а-конечные измеримыепространства с полными мерами Мl и М2, J-L == Мl Х М2, f(x) Е LJLl (Х 1 )и g(y) Е L JL2 (X 2 ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
