1610912311-3cbc5b34357e1bf98e493aa337af68a6 (824698), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Пусть функциярицательна на А и Ал=={х Е А:f(x)~ л} при лfL(А л ) ::;;±JЛХ) dfL·f(x)> о.Епри всехL(A)неотДоказать, чтоА10.52.ПустьЕf(x)L(A), f(x)~ О на А иJЛХ) dfL=О.АДоказать, чтоf(x) == О п.в. на А.10.53. Пусть f(x) Е L(A) и длялюбого множества В С А, В Е Мвыполнено равенствоJЛХ) dfL=О.вДоказать, что10.54.f(x) ==О п.в.
на А.Пусть м(А)Пусть такжеДоказать, что< 00,Ek(f) == {хf(x) Е L(A)а функцияf(x) измерима и конечна на А.If(x)1 < k + 1} при k == 0,1, ...Е А: k ~тогда и только тогда, когда00LkfL(Ek(f)) <00.k=l10.55.Построить функциюклассическоймерыи (см. задачу10.54)Лебеганаf (х),IR,которая измерима относительнонеотрицательна00Lk=lноf(x)~L(IR).kfL(Ek(f)) <00,иконечнанаIR10.Гл.21010.56. Пусть м(А)<00Интеграл Лебегаи функциятакже Fk(f) == {х Е А: If(x)1 ~ k} приЕ L(A) тогда и только тогда, когдаf(x) измерима на А.
Пустьk == 0,1, ... Доказать, что f(x) Е00L/L(Fk(f)) <00.k=l10.57. Построить функциюклассическоймеры Лебега наи (см. задачу10.56)f (х),IR,которая измерима относительнонеотрицательнаиконечнанаIR,00L/L(Fk(f)) <00,k=lноf(x)~L(IR).10.58. Пусть функция f (х) измерима на множестве А, и Dk (f) ==== {х Е А: If(x)1 ~ 2- k } при k == О, 1,2, ... Доказать, что f(x) Е L(A)тогда и только тогда, когда (см.
задачу 10.56)00L00/L(Fk(f)) <00k=l10.59. Пусть/L(Fk(f))2- k/L(Dk(f)) <L00.k=lf(x)о (~) при=иkЕL(A). Доказать, что(см.задачу10.56)----+ 00.10.60. Построить такую измеримую функцию f(x) ~ L((O, 1)), что(см. задачу10.56) /L(Fk(f))=о (~) приk----+ 00.10.61. Пусть f(x) - конечная измеримая функция на А. Доказать,что существует положительная измеримая функциякоторойf(x) . g(x)10.62.Вn==Еg(x)на А, дЛЯL(A).Пусть А 1 , А 2 , ... -измеримые подмножества А и{х Е А: х принадлежит не менее чемnразличнымA i }.Доказать, что10.63. Пусть {!n (х) } ~= 1 И f (х) - неотрицательные функции изL(A), fn(x) =:} f(x) при n ----+ 00 на А иlimn----+ооJfn (х) d/L == Jf(x) d/L.АА10.Гл.Интеграл Лебега211Доказать, что для любого В с А, В Е М, выполненоnl~~ Jfn(x) dfL =В10.64.ВПостроить пример, показывающий, что в задачезя отбросить условие10.65.Е>Jf(x) dfL·Пусть10.63нель~ О на А».«fn(x)м(А) == 00иЕf(x)L(A).Доказать, что для любогоО существует такое множество В С А, В Е М, удовлетворяющееусловию м(В)< 00,чтоJ If(x) I dfL < Е.А\В10.66.ПустьЕf(x)L(A).Доказать, что существует непрерывнаяположительная неубывающая функция Ф( и) на [О,(0),для которойФ ( и) -----+ 00 при и -----+ 00 и в то же времяJlf(х)IФ(If(х)l) dfL <00.А10.67.f(x)ЕАбсолютнаяL(A).непрерывностьДоказать, что для любого Еинтеграла>ПустьО существует такое дчто для каждого множества В Е М, В с А, с м(В)неравенствоЛебега.<>О,д выполненоJIf(x) dfL < Е.IВ10.68.
Пусть м(А) <f n (х) ::::} f (х)приn -----+0000,{fn(x)}~=l ина А и функцииf(x) - функции из L(A),{!n (х) } ~= 1 имеют равностепенно абсолютно непрерывные интегралы на А, т. е. для любого Есуществует такое ди для любого>О, что для любого В Е М, В с А, с м(В)>О<дn выполнено неравенствоJfn(x) dfL< Е.ВДоказать, чтоlimn----+ооJfn (х) dM == Jf(x) dM·А10.69.для ААДоказать, что утверждение задачи10.68не выполняется== IR.10.70. Пусть дана система {fW(X)}WES1 С L(A) и функции из этойсистемы имеют равностепенно абсолютно непрерывные интегралы на АГл.212(см.
задачу10.Интеграл Лебега10.68). Доказать, что система {lfw(x)I}WES1 обладает темже свойством.10.71. Пусть {fn(x)}~=1 и f(x) - функции из L(A), fn(x) ~ f(x)п.в. на А,при n -----+ 00 на А иfn(x) ::::} f(x)limn----+ооJfn(х) dJ-L == Jf (х) dJ-L.ААДоказать, что функции {fn(x)}~=1 имеют равностепенно абсолютнонепрерывные интегралы на А.10.72. Пусть дана система V == {fW(X)}WES1 С L(A) и существуеттакая непрерывная положительная неубывающая функция Ф ( и) на[О,(0),что Ф(u) -----+ 00 при и -----+ 00 иsupJlf(х)IФ(lf(х)l) dJL =f(X)EV АДоказать,чтофункциисистемыимеютС < 00.равностепенноабсолютнонепрерывные интегралы на А.10.73.
Построить измеримое пространство (Х, М, м), где МХи систему измеримых функций {fn(x)}~=1 из< 00,L(X) с равностепенноабсолютно непрерывными интегралами на Х, дЛЯ которыхJs~p fn(X) dJL =00.х10.74. Пусть k ~ 1, А с JRk, м(А) < 00, дана система V ==== {fW(X)}wES1 С L(A) и функции из системы имеют равностепенно абсолютно непрерывные интегралы на А.
Доказать, что существует такаянепрерывная положительная неубывающая функция Ф(u) на [О,(0),чтоф ( и) -----+ 00 при и -----+ 00 иsupJlf(х)IФ(lf(х)l) dJLf(X)EV А10.75.АДоказать, что результат задачи=С < 00.10.74не выполняется при== JR.РЕШЕНИЯ10.1.Проверим только первое утверждение; остальные проверяются аналогично. Пустьmnf(x) ==Lk=1CkXAk(X)иg(x) ==Lj=1djXB J (х),10.Гл.Интеграл ЛебегагдеmnU A k == U B jk=1mn+ bg(x) == L L(aCkk=1 j=1Заметим также, что еслиА.==j=1Тогдаaf(x)213aCk+ bd j #-+ bdj )ХАkПВJ (х).О, то хотя бы одно из чиселCk,<00.то хотя бы одно из чиселCk,<00.отлично от нуля.
Поэтому J-L(А k П B j ) ~ min (J-L(А k ) , J-L(Вj ))Следовательно, af(x) + bg(x) - простая функция на А. Ddj10.2.Пустьmnf(x) ==LCkXAk(X)g(x) ==иLj=1k=1гдеdjXB J (х),mnU Ak==k=1U BjА.==j=1Тогдаmnmax(f(x),g(x)) ==L LmаХ(Сk,dj)ХАkПВJ(Х).k=1 j=1Если тах(Ck' d j ) #-о при некоторыхkиj,отлично от нуля.
Поэтому J-L(АkПВj ) ~ miП(J-L(Аk),J-L(Вj ))Следовательно, max(f(x),g(x)) - также простая функция на А.dj10.3.Пустьmnf(x) ==LCkXA k (х) ==k=1гдеU Ak==k=1<чиселС2Ck.< ... <Lj=1djXB J (х),mnи СlU Bj==Аj=1Сп. В этом случае каждое числоОпределим множестваrk == {j: d j == Ck}djравно одному изприk == 1,2, ... , n.Ясно, чтоСледовательно,mпппLk=1DCkJ-L(А k )==Lk=1CkLJ-L(Вj )==jEr kоткуда следует утверждение задачи.L Lk=1 jEr kDdjJ-L(Вj )==Lj=1djJ-L(Вj ),10.Гл.21410.4.Интеграл ЛебегаПустьmnf(x) ==LCkXAk(X)Lg(x) ==иk=1djXB J(х),j=1гдеmnU AkU Bj==k=1==А.j=1В силу результата задачи10.1 функция af(x)+ bg(x)простая.Мы будем использовать выражение для неё, полученное в решениизадачи10.1.ПолучаемJ(аЛх) + bg(x)) dfLmnL L=А(ack+ bdj)fL(A k n B j ) =k=1 j=1mn==LаCkk=1mLJ-L(А knn Bj ) + Ь Lj=1djj=1LJ-L(А kmn= а L CkfL(Ak) + ь L djfL(Bj )k=1n B j ) ==k=1а=Jf(x) dfL + Ь Jg(x) dfL·Аj=1АD10.5.Пустьnf(x) ==LnU AkгдеCkXAk(X),k=1==А.k=1Тогда все числа Ck неотрицательны, поэтомуnJЛХ) dfL L CkfL(Ak) ;?: О.=Аk=1D10.6.
В силу результата задачи 10.1 функция f(x) - g(x) простаяна А. Более того, f(x) - g(x) ~ О на А. При меняя результаты задач 10.4и 10.5, получаем, чтоJЛХ) dfL - Jg(x) dfL Jи(х) - g(x)) dfL ;?: О.=АААD10.7. Так как м(А)<00,то функцииgl(X)С1иС2g2(X)простые на А. Далее,Jgj(X) dfL=CjfL(A)при j= 1,2.АПрименяя результат задачи10.6,получаем нужные неравенства.DГл.10.Интеграл Лебега21510.8. Так как -lj(x)1 ~ j(x) ~ Ij(x)1 при всех х Е А, то утверждение следует из задачи 10.6.D10.9. Пустьnj(x) ==nLU AkгдеCkXAk(X),k=l==А.k=lТогда на множестве В имеет место представлениеnj(x) ==nLСkХАkПВ(Х),гдеk=lа на множестве С==В,==С.k=lпредставлениеnj(x) ==U (A k ПВ)nLгдеСkХАkПС(Х),k=lU (A k n С)k=lОтсюда следует, чтоJf(x) d{Jn=АLnck{J(Ak)=k=lck{J(Ak n В)L+k=lnck{J(Ak n С)+L=Jf(x) d{J + Jf(x) d{J.Вk=lСD10.10.Если предел интегралов бесконечен, то утверждение оче-видно.
Пустьlimn----+ооJgn (х) dM <00.АВозьмём произвольное Е> о.Пустьmg(x) ==LakXA k (х),k=lгде A k n A z == е; при k -1- l, M(A k ) < 00 при всех k и О < аl < ... << а т . Определим множества рn == {х Е А: gn(x) < g(x) - Е} при n Е N,и пустьmF ==U Ak ·k=lТак как последовательность{gn}nмонотонна, то Р1 ~ Р2 ~ ... При этом00рn==е;n=1им(р1 ) ~ м(р)<00.Отсюда,согласнозадаче 7.52,следует,М(Рn ) -----+ О при n -----+ 00.
Следовательно, для каждого n получаемчто10.Гл.216f g(x) dfL f g(x) dfL + fРпРпР\Рпm=FfL=f g(x) dfL + f(gn(x) + Е) dfLg(x) dfL :(=АИнтеграл ЛебегаakfL(Fn n A k ) + gn(x) dfL+ EfL(F):(Аk=1f gn(x) dfL + EfL(F).:( amfL(Fn) + nl~~АТак как числадоказано.>n Е N и ЕО произвольны, то утверждение задачиD10.11. Пусть fn(x) = n 2х (о,*) (х) при n Е N и х Е (0,1). Тогдаfn(x)Е Qj. Поэтомуf(x)dJ-L~SUр f fn(x)dJ-L==suрn==оо.f(0,1)/" (0,1)/"n>-1n>-1D10.12. Пусть CPk(X) == kX(_l 1) (х) при k Е N и х Е (0,1), аk+l' knfn(x) ==LприCPk(X)n Е N.k=1Тогда все функцииfn(x)принадлежат множеству Qj. Поэтому1nf f(x)dJ-L ~ sup f fn(x)dJ-L == sup L k ==n>-1(0,1)00.n>-1 k-l/" (0,1)/"-D10.13.В силу результата задачиждение для случаяf(x)10.4~ О на А.
Еслидостаточно доказать утверh(x)Е Qj, то (см. задачу 10.6)f h(x)dfL:( f f(x)dfL·ААС другой стороны, в нашем случаеsupf(x)Е Qj, поэтомуf h(x)dfL f f(x)dfL·=h(X)EQj ААD10.14.функций.ДостаточноИздоказатьопределенияясно,утверждениечтоh(x)~f(x)неотрицательныхутверждениестых функций. Но если простая функциявию О ~дляh(x)вернодляпроудовлетворяет услона В, то простая функцияh(X)XB(X)удовле-Гл.творяет условию О ~10.Интеграл Лебега217f(X)XB(X) на А. Обратно, еслиО ~ h(x) ~ f(X)XB(X) на А, то h(x) == О на множестве А \ В, т.
е.h(x) == h(X)XB(X), И О ~ h(x) ~ f(x) на В. Поэтому значения интегралов ЛХ) dfL и f(X)XB(X) dfL совпадают. DffвАh(X)XB(X)~10.15. Существование функции g(x) очевидно (возможно, g(x) ==== 00 на некотором множестве). В силу результата задачи 8.44 функцияg(x)измерима на А. Так какполучаем,чтоgnЕQg,nl!..~ f gn (Х) dfL ::;; f g( Х) dfL·АПустьh(x)Ето по определению интегралаТогдаQg.Аlim gn(x) ~ h(x) при х Е А, откуда следует,n----+оочто (см. задачу10.10)nl!..~ f gn(x) dfL;?:Аf h( х) dfL·АПереходя к точной верхней грани по всемждение задачи.10.16.h(x)ЕQg,получаем утверDИспользуярезультатзадачи9.29,построимпоследовательности неотрицательных простых функцийИ {gn(x)}~=lна А. Тогдазадачтакиедве{!n (х) } ~= 1fn(x) r f(x) и gn(X) r g(X) при n ----+ 00(fn(x) + gn(x)) r (f(x) + g(x)) и, при меняя результатына А, что10.15 и 10.4, получаем, чтоf и(х) + g(x)) dfL=fnl!..~ иn(х) + gn(x)) dfL =АА== lim f fn(x) dJ-L + lim f gn(x) dJ-L == f f(x) dJ-L + f g(x) dJ-L.n----+ооn----+ооААААD10.17.Используя задачу9.29,построим такую последовательностьrнеотрицательных простых функций {fn(x)}~=l на А, что fn(x)f(x)при n ----+ 00 на А == В u с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
