1610912311-3cbc5b34357e1bf98e493aa337af68a6 (824698), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Здесь мы не предполагаем, чтоCk -1- Cjk -1- j.Еслиf(x) -неотрицательная измеримая функция на А, то мыобозначим через Qj==Qj,A множество всех простых функцийна А, удовлетворяющих всюду на А условию О ~h(x)~f(x).h(x)Гл.10.Интеграл Лебега201Определим интеграл Ле6ега от неотрицательной измеримой функциипо множеству А формулойf(x)Jf(x)dfJJh(x)dfJsup=Аh(X)EQj А(заметим, что мы допускаем бесконечное значение интеграла). Еслиинтеграл конечен, то скажем, чтоf(x)ЕL(A)(чтоf(x)интегрируемапо Ле6егу на А).ДЛЯ произвольной измеримой функцииf(x)на А мы определим двефункции:f + (х) ==шах(! (х ) , О)иf - (х) ==шах( - f (х ) , О) == - (! (х) - f + (х ) ) .Скажем, чтоf(x) Е L(A) (что f(x) интегрируема по Ле6егу на А),если f+(x) Е L(A) и f-(x) Е L(A). Назовём интегралом Ле6ега отфункции f(x) Е L(A) по множеству А величинуJЛХ) dfJ Jf+(x) dfJ - Jf-(x) dfJ·defАААКорректность этого определения будет показана в задачеНиже черезL( lа, Ьl),гдеlа, Ьl с IRn,n10.1 з.~ 1, будем обозначать множество функций, интегрируемых по Лебегу относительно классическоймеры Лебега наlа, Ьl.
Отметим, что в этом случае,из задачи 10.18, нет разницы между классамикак будет следоватьL([a, Ь])иL((a, Ь)).ЗАДАЧИ10.1. Пусть f(x), g(x) -простыеДоказать, что функции аЛх) + bg(x),О ~функцииlf(x)l,наАиа, Ь ЕIR.ЛХ) . g(x), ;~:j (еслитакже простые на А.g(A))10.2. Пусть f(x) и g(x) - простые функции на А. Доказать, чтофункция шах10.3.Доказать,функциижеств(f(x),g(x))корректно,чтот. е.также простая на А.определениеегоинтегралазначениенеЛебегазависитототпростойвыборамноAk .10.4. Пусть f(x), g(x) - простые функции на А и а, Ь Е IR. Доказать,чтоJ(аЛх) + bg(x)) dfJА=JJААа ЛХ) dfJ + Ь g(x) dfJ·10.Гл.20210.5. Пусть f(x)Интеграл Лебегапростая функция на А иДоказать, чтоf(x)~ О на А.f ЛХ) dfL ~ О.А10.6. Пусть f(x) и g(x) - простые функции на А, причём f(x) ~~g( х)на А.
Доказать, чтоf f(x)dfL ~ f g(x)dfL·АА10.7. Пусть f(x) - простая функция на А, м(А)< 00и С1 ~f(x)~~ С2 на А. Доказать, чтоfС 1 м(А) :( f(x) dfL :( С2 м(А).А10.8. Пусть f(x) - простая функция на А. Доказать, чтоJЛХ) dfL :( Jlf(x)1 dfL·АА10.9. Пусть f(x) - простая функция на А и А == В u С, где В, С ЕЕ М. Доказать, чтоf ЛХ) dfL f ЛХ) dfL + f f(x) dfL·=АВ10.10.
Пусть {gn (х) }~= 1Снеубывающая последовательность про-стых неотрицательных функций на А,g(x) -простая неотрицательнаяфункция на А иlim gn(x) ~ g(x)n----+оодля каждого х Е А. Доказать, чтоnl!..~ f gn(x) dfL ~ f g(x) dfL·А110.11. Пусть f(x) == 2Аи М -классическая мера Лебега на (0,1).хДоказать, чтоff(x)dfL= 00,(0,1)используя только определение интеграла Лебега.10.Гл.Интеграл Лебега203110.12. Пусть f(x) == - и J-L - классическая мера Лебега на (0,1).хДоказать, чтоff(x)dfJ =00,(0,1)используя только определение интеграла Лебега.10.13. Доказать, что если f(x) - простая функция на А, то значения интеграла Лебега от неё как от простой функции и полученноесогласно общему определению совпадают.f (х) -10.14.
Пустьизмеримая функция на А, дано множествоВ С А и В Е М. Доказать, чтоf(X)XB(X)ЕL(A),и еслиf(x)Еf(x)ЕL(B)L(B), тотогда и только тогда, когдаf Лх) dfJ f ЛХ)ХВ(Х) dfJ·=В10.15. ПустьА{gn (х) }~= 1неубывающая-неотрицательных простых функций на А ипоследовательностьg( х) == lim gn (х)на А.n----+ооДоказать, чтоlim f gn (х) dJ-Ln----+оо== f g(x) dJ-L.АА10.16. Пусть f(x) и g(x) - неотрицательные измеримые функциина А.
Доказать, чтоf и(х) + g(x)) dfJ f f(x) dfJ + f g(x) dfJ·=ААЗдесь, как обычно, 00==Вu00.f (х) -10.17. Пустьи А+ 00 ==Анеотрицательная измеримая функция на АС, где В, С Е М. Доказать, чтоf Лх) dfJ f Лх) dfJ + f f(x) dfJ·=АВС10.18. Пусть функция f(x) измерима на А и м(А) == о. Доказать,чтоf(x)ЕL(A)иf Лх) dfJ=О.А10.19. Пусть мера J-L полна, f(x) Е L(A) и функция g(x) эквивалентна функцииf(x)на А. Доказать, чтоg(x)f g(x) dfJ f f(x) dfJ·=ААЕL(A)иГл.20410.Интеграл Лебега10.20.
Пусть j(x) Е L(A). Доказать, чтоМ ({х Е Е:j(x) ==±оо})==о.10.21. Пусть j(x) Е L(A). Доказать, что для любого а Е IR 1 функцияaj(x)принадлежитL(A)иJaf(x) dfJа Jf(x) dfJ·=АА10.22. Пусть функции j(x) и g(x) из L(A). Доказать, что j(x)+ g(x)ЕL(A)+иJи(х) + g(x)) dfJ Jf(x) dfJ + Jg(x) dfJ·=ААА10.23. Пусть функции j(x) и g(x) из L(A) и а, Ь Е IR. Доказать,чтоaj(x)+ bg(x)ЕиL(A)J(аЛх) + bg(x)) dfJА10.24.
Пусть j(x) -j(x)ЕL(A)=JJААа ЛХ) dfJ + Ь g(x) dfJ·измеримая функция на А. Доказать, чтотогда и только тогда, когдаIj(x)1ЕL(A).10.25. Пусть j(x) Е L(A). Доказать, чтоJЛХ) dfJ ~ Jlf(x)1 dfJ·АА10.26. Пусть j(x) и g(x) - такие измеримые функции на А, чтоIg(x)1 ~ Ij(x)1 при х Е А. Доказать, что g(x) Е L(A).10.27. Пусть j(x) Е L(A) и j(x) ~ О при х Е А. Доказать, чтоj(x)ЕL(A)иJЛХ) dfJ ~ О.А10.28. Пусть функции j(x) и g(x) из L(A) и g(x) ~ j(x) при х Е А.Доказать, чтоJg(x)dfJ ~ Jf(x)dfJ·А10.29.
Пусть j(x) иIj(x)1Аизмеримая функция на А, где м(А)<00,~ с для некоторого С ~ О при всех х Е А. Доказать, чтоf(x)ЕL(A)иГл.10.f ЛХ)dfLИнтеграл Лебегаf If(x)~А10.30.ПустьI dfL205~ См(А).Атакая измеримая функция на А, чтоf(x) -f(A)счётно, т. е.00f(x) ==L00aiXA~ (х),гдеА==i=lДоказать, чтоЕf(x)U Ai ·i=lтогда и только тогда, когдаL(A)00LlaiIM(A i ) <00,i=lи еслиf(x)ЕL(A),то00f ЛХ) dfL L аф(Аi ).=А10.31.Пустьна А, что -00м(А)<а<i=lа00,< f(x) <f(x) -Ь<такаяизмеримаяпри х Е А.00функцияПусть Траз-биение отрезка [а, Ь], т. е.
а == УО < Yl < У2 < ... < Уn == Ь. Положим R k == {х Е А: Yk-l ~ f(x) < Yk} при k == 1,2, ... , n, и пустьл(Т) == тах (Yk - Yk-l). Доказать, что еслиl:::;;k:::;;nnртL==YkM(R k )k=l(эта величина называется интегральной суммой Ле6ега) , то существуетlimл(т)--*о10.32.АТеорема Б. Леви для неотрицательных функций.{fn(x)} - такие~ ... ~ fn(x) ~== lim f n ( Х ), тоn--*оорт == (L) f f(x) dM·измеримые функции на А, что О ~привсехf ЛХ) dfLАх Е А.=Доказать,fl(X)что~еслиПустьf2(X) ~f(x) ==nl~~ f fn(x) dfLА(здесь допускаются бесконечные значения функций и интегралов).Гл.20610.33.Теорема{fn(x)} - такие~ fn(x) ~ ... дляБ.10.ЛевиИнтеграл Лебегадляфункции изL(A),интегрируемыхчто -00функций.< fl(X)~всех х Е А. Пусть существует такое Сfs~p fn(x) dfJ:(f2(X)> О,Пусть~...~чтоС.АДоказать, что функцияинтегрируема по Лебегу на Аf(x) == lim fnn----+оо(в частности, функцияf(x)конечна п.в.
на А) иf f(x)d/-L== lim ffn(x)d/-L.n----+ооАА10.34. Теорема Б. Леви для рядов. Пусть {fn(x)}~=l - последовательность измеримых неотрицательных функций на А, а00f(x) ==Lfn(x).n=1Доказать, что00f ЛХ) dfJ L f fn(x) dfJ·=Аn=lА10.35. Теорема Фату. Пусть /-L - полная мера, а {fn}~=l - такаяпоследовательность неотрицательных измеримых функций на А, чтоfn(x)-----+при n -----+ 00 п.в.
на А. Доказать, чтоf(x)f ЛХ) dfJ :( l~~~f f fn(x) dfJ·АА3 а м е ч а н и е. Теорема Фату, так же как и теорема Лебега (задача 10.37), остаётся справедливой, если заменить условие полнотымеры /-L на условие измеримости предельной функции10.36.Доказать, что теорема Фатуесли заменить условие«!n (х) ::::} f (х)приn«fn(x)-----+(10.35)приf(x)nf (х).остаётся справедливой,-----+ 00 п.в. на А» условием-----+ 00 на А».10.37. Теорема Лебега. Пусть /-L - полная мера, а {fn(x)}~=l такая последовательность измеримых функций на А, что f n (х) -----+ f (х)при n -----+ 00 п.в.
на А. Пусть к тому же существует такая функцияР(х) ЕL(A),чтоIfn(x)1~ Р(х) при всехназывается мажоранmоЙ). Доказать,n для всех хчто f(x) Е L(A)f f(x)d/-L== lim ffn(x)d/-L.n----+ооААЕ А (функцияиFГл.10.Интеграл ЛебегаДоказать, что теорема Лебега10.38.вой, если заменить условие«!n (х) ::::} f (х)условиемпри«fn(x)(10.37)f(x)-----+207остаётся справедлипри n -----+ 00 п.в.
на А»-----+ 00 на А».n10.39. Построить такую последовательность {fn(x)}~=l неотрицательных функций из L([O, 1]), что fn(x) -----+ О при n -----+ 00 для каждогоХЕ[О,l],ноffn(x) dfJ -fr о[0,1]приn -----+00.10.40. Построить такую последовательность {!n (х) } ~= 1 неотрицательных функций из L((O, 1)), что fn(x) -----+ О при n -----+ 00 для каждогох Е [0,1] иIfn(x)1~1-хпри всехfдля всех х Е (0,1), ноnfn(x) dfJ -fr о[0,1]приn -----+00.10.41. Построить такую последовательность {!n (х) } ~= 1 неотрицательных функций из L((O, 1)), что fn(x) -----+ О при n -----+ 00 для каждогоХЕ[О,l]иffn(x) dfJ---7О[0,1]приn-----+ 00, но Р(х)==SUpfn(x)~L(O, 1).n10.42. Пусть f(x) Е L(A) и00где все А n Е М.
Доказать, чтоf ЛХ) dfJА10.43.f(x)00=LЕL(A n )f ЛХ) dfJ·n=1 А пПусть00для каждого n иГл.208где А n Е М, и10.Интеграл Лебеганеотрицательная измеримая функция на А n приf(x) -n Е N. Доказать, чтоf ЛХ) dfL00f ЛХ) dfL·L=n=1 А пА10.44. Построить такую функцию f(x) на (0,1), что если А n ===[n ~ l' ~)приnЕ N, то f(x) Е L(Aдля всехn )%;\ Jf(x)dfLn,< 00,Апноf(x)~L((O, 1)).10.45. Пустьf (х) fn(x)приизмеримая неотрицательная функция на А и={~(x),если-f(x)~nиначеn Е N.
Доказать, чтоf f(x)d/-L== lim ffn(x)d/-L.n----+ооАА10.46. Построить такую последовательность {!n (х) } ~= 1 функцийиз L(IR), что fn (х) -----+ О при n -----+ 00 равномерно на IR, ноприn -----+00.10.47. Пусть f(x) Е L(A), g(x) ихIg(x)1 ~ с дляg(x) Е L(A) иизмеримаяфункциянекоторого С при всех х Е А. Доказать, чтоJf(x)g(x) dfL::;;АнаАf(x)хС JIf(x)1 dfL·А10.48. Пусть f(x) Е L(A), f(x) ~ О на А, g(x) - измеримая функция на А и о; ~ g(x) ~ (3 при некоторых 0;, (3 для всех х Е А. Доказать,что существует r Е [о;, (3], для которогоf f(x )g(x) dfLА=f'у f(x) dfL·АГл.что10.Интеграл Лебега10.49.Построить пример таких функцийg(x) -измеримая ограниченная функциядля некоторых0;,fЗ при всех х Е209f(x) Е L((O, 1)) и g(x),на (0,1) и о; ~ g(x) ~ fЗно не существует(0,1),rЕ [о;, fЗ], длякоторогоJf(x)g(x) dfLJf(x) dfL·= IА10.50.Пустьх Е А. Доказать,10.51.Аf(x),g(x) Е L(A)что h(x) Е L(A).иh(x) == max(f(x),g(x))Неравенство Чебышёва.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
