1610912311-3cbc5b34357e1bf98e493aa337af68a6 (824698), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Занумеруем== {rn}~=I. Тогда8.Измеримые функции169некоторым образом все рациональные числа:Q ==(х)ВU ({х Е А:==f(x) > rn } n {х Е А: g(x) < rn }) Е М.n=1Аналогично,А==\D ==u D)(В{х Е А:Е М.f(x) < g(x)}Е М. Следовательно, и С==D8.15. Пусть А о == {х Е А: f(x) -1- g(x)}. Так как мера М полна,то любое множество В С А о принадлежит М. Далее, для каждогос Е IR выполнено равенствоg-I((c, +00]) == (f-l((c, +00]) U В 1 ) \ В 2 ,где В 1 ,В 2 Е М. Действительно, достаточно взять В 1 == {х: f(x) ~~ с, g(x) > с)} С А о и В 2 == {х: g(x) ~ с, f(x) > с)} С А о .
Отсюдаследует, что функция g(x) измерима на А. D8.16. Пусть А -м(А)1== "2такое множество на[0,1], что (см. задачу 7.78)и для любого невырожденного отрезка [а, Ь] С [О, 1] выполне-но условие Одачу 8.6)< м(А n [а, Ь]) < Ь -f(x)а. Пустьf(x) ==ХА(Х). Тогда (см. заизмерима относительно классической меры Лебега на[0,1]. Предположим, что g(x) эквивалентна f(x) на [0,1]. Тогда длякаждого интервала 1 с [0,1] найдутся такие точки у, z Е 1, что g(y) == 1иg(z) ==о. Поэтому функцияg(x)разрывна в каждой точке.D8.17.
Для каждого с Е IR выполнено условие (! + а) -1 ( (с, +00]) ==== f-l((c -а,+00])Е М.З а м е ч а н и е. Для конечных функций этот результат, так же каки результаты задаччи8.12,а8.18, 8.20 и 8.22, немедленно следуетрезультаты задач 8.19 и 8.21 - из задачи 8.13.Dиз зада8.18. Если а == О, то af(x) == О и, очевидно, измерима. Приа > О для каждого с Е IR выполнено условие (af) -1 ( (с, +00]) ==== f- 1 (( ~, +00]) Е М.
При а < О для каждого с Е IR аналогичноа(af)-I((c, +00]) == f-l([-oo, ~)) Е М.Dа8.19. Пусть В - множество, где обе функции f(x) и g(x) конечны.Заметим (см. задачу 8.3), что В Е М. Тогда в силу результата задачи 8.13 (при n == 2 и h(s, t) == s + t) функция f(x) + g(x) измеримана В. Пусть теперь D == {х Е А: f(x) == +оо}. Тогда согласно нашимопределениям операций над бесконечными величинами для всех х Е Dполучаемf(x) + g(x)={;оо,еслиеслиg( х) > -00,g(x) == -00.Гл.1708.Отсюда следует, что если ЕИзмеримые функции=={х ЕD: g(x) ==-оо}, тоесли с< О,если с ~ о.f(x) + g(x)Поэтомуизмерима наD.Аналогично доказывается, чтоэта сумма измерима на множествах, гдеПрименение задачи8.2илиf(x) == -00завершает доказательство.g(x) ==±оо.D8.20.
Измеримость f2(x) на множестве, где f(x) конечна, немедленно следует из задачи 8.12 (при g(t) == t 2 ). Если D == {х: f(x) ==== ±оо}, то f2(x) == +00 на D, поэтому она измерима на D. Теперьутверждение следует из задачи 8.2.D8.21. Пусть В - множество, где обе функции f(x) и g(x) конечны.Заметим (см. задачу 8.З), что В Е М.
Тогда в силу результата задачи 8.1З (прииn == 2функцияh(s, t) == st)измерима на В.f(x)g(x)Отметим также, что на множестве, где хотя бы одна из функций равнанулю, функциятеперьD == {хопределениямf(x)g(x) равна О и, следовательно,Е А: f(x) == +oo,g(x) -1- О}. Тогда,операцийнадбесконечнымиимеемf(x)g(x)= {+::еслиеслиизмерима. Пустьсогласно даннымзначениями,длях ЕDg(x) > О,g(x) < о.Поэтому если Е == {х Е D: g(x) > О}, то (fg)v ((c, +00]) == Е Е М для1каждого с Е IR, т.
е.измерима наf(x)g(x)D. Аналогично доказывается,что это произведение измеримо на множествах, где-1-О илиf .9g(x) ==измерима.±оо,f(x) -1-f(x) == -00, g(x) -1-о. в силу результата задачи 8.2 функцияD18.22. Измеримость функции f(x) на множестве, где лх) конечна,следует из задачи 8.12 (при==±оо, то1f(x) ==1tg(t) == -).D - множество, где f(x) ==О, поэтому она измерима наполучаем измеримость функции8.23.Если1f(x).D.При меняя задачуDУтверждение вытекает из задач8.21и8.22.8.24.
Для каждого с Е IR выполнено равенство== (f3) - 1((с 3 , + 00 ]) ЕМ.Df- 1 ( (с, +00])D8.25. Пусть Е - неизмеримое подмножество на [О, 1], алх)1,= {-1,8.2,если х Е Е,если х Е[0,1] \Е.Гл.Так как j-l((О,j2 (х)Измеримые функции8.171Е ~ М, то функция+00]) ==j(x)1 на [О, 1] и, следовательно, измерима.неизмерима, ноD8.26.
Имеем: (j(x))9(X) == e9(x)lnj(x). В силу результата задач 8.12и 8.21 функцияg(x) lnj(x) измерима начу 8.12, получаем, что (j(x))9(X) измерима.8.27. Пусть, для определённости, j(x) -А. Вновь применяя зада-Dневозрастающая функцияна [а, Ь]. Тогда для каждого с Е IR множестволибо полуинтервалом [а,d), dj-l((c, +00])Е (а, Ь], либо отрезком [а,d], dЕ [а, Ь],либо пустым множеством. ПоэтомуЕсли8.28.приn -----+00.tl > t2,j(x) измерима.
Dочевидно, g(tl) ~ g(t2). Пусть tявляетсято,Е IR иtn 1 tТогда00{х Е А:U {х Е А:j (х) > t} ==00j (х) > t n }n=1Так как Е 1 С Е2 С .... , то (см.== lim g(t n ).U Еn .n=1задачу 6.17)g(t) == limn----+оом(Еn )==Dn----+оо8.29.ПустьО на [0,1].
Тогдаj(x)g(t)={~:Эта функция разрывна в точкеt ==еслиеслио.t<t?О,о.D8.30. Пусть j(x) == х на [0,1]. Тогдаg(t)=={t < О,1,если1-t,еслиtЕ[0,1],О,еслиg(t) Е С([О, 1]). D8.31. Пусть g(u) == м({х Е А: j(x) >t > 1.Мы видим, чтотающая функция наIR.и}) при и Е IR. Это невозрасОпределим функциюh (у) == inf { и: 9 (и)~ у}.Ясно, чтоh(y) - невозрастающая функция на [О, 1]. Докажем, чтом( {у Е [О, 1]: h(y) > t}) == g( t) для всех t Е IR. Если для данного увыполнено неравенство h(y) > t, то inf {и: g( и) ~ у} > t, и поэтомуg(t) > у. Аналогично, если h(y) < t, то g(t) ~ у. Поэтомум( {у Е [О,D1]: h(y) > t}) == sup {уЕ [О,1]: h(y) > t} == g(t).Гл.172Измеримые функции8.8.32.
Предположим, что h(x) ~ С([О, 1]). Так как h(x) - невозрастающая функция, то существует такой непустой интервал (а, Ь), что[а, Ь]n h([O, 1]) == 0,а некоторые числа с им({х Е [0,1]:Так какf(x)каждогосf(x)f(x) >Ь})м({х Е [0,1]:==х Е [а, Ь],h([O, 1]).имыприходимКd>Ь принадлежатf(x) >а}).n f([O,1])==0.f(x)~ а длясусловиемпротиворечиюDфункция Кантора (см. задачу 4.19), аканторово открытое множество (см. задачучуи~ Ь для каждого х Е [а, Ь], либо8.33. Пусть ср(х) т.
е.<аЕ С([О, 1]), то отсюда следует, что (а, Ь)Поэтому либоd}сТогда получаем, чтоh([O, 1]).{с,d,G -2.22). Мера его дополнения,мера канторова замкнутого множества,равна нулю(см.зада7.67). Но функция ср(х) постоянна на каждом интервале из G,поэтому ср'(х)==О для х Е G.D8.34. Пусть f (х) - функция Кантора (см. решение задач 4.19и 8.33) и А == РО - канторово замкнутое множество.
Тогда м(Ро ) == о.Так как f( [О, 1]) = [О, 1] и 1([0, 1] \ РО ) = {2~ }~~~~k=O' то 1(Ро ) = [О, 1].Поэтомуf(Po)измеримо и8.35. Пусть ср(х) 1== 2 (ср(х) + х)и ф(х)M(f(Po)) == 1.Dфункция Кантора (см. решение задачи 8.33)на [0,1]. Тогда ф(х)строго возрастающая-непрерывная функция на [О, 1], и она переводит отрезок [О, 1] в себя.Пусть00U (аn , Ьn ).G == [0,1] \ РО ==n=1Ясно,м( ф( (а n , Ь n )))чтом(ф(G))1== 2·1== 2 (Ь nТак как ф([О, 1])-== [0,1],аn )длякаждогото м(Ф(Ро ))поэтомуn,11== 1 - 2 == 2·8.36.
Возьмём функцию ф( х), построенную в решении задачи 8.35.Тогда существует непрерывная функция f (у) == ф-l (у) из [О, 1] на [О, 1].Пусть В - неизмеримое подмножество в Ф(Ро ) (оно существует в силурезультата задачи 7.90) и А == ф-l(в) == f(B). Тогда А с Ро , поэтомуА Е 9J1 в силу полноты меры Лебега, но8.37.иg(x) ==Пусть А-f- 1 (А) == В~ 9J1.Dмножество, построенное в решении задачиф(х) (см. решение задачи 8.35). Тогдаg(A) ==В ~9J1.8.36,D8.38.
Возьмём функцию f (х) и множество А из решения задачи 8.36. Тогда А Е 9J1. Предположим, что А Е В. Тогда, так как f(x)измерима, то (см. задачу 8.5) В == f-l(А) Е 9J1. Но по построениюГл.(см. задачу 8.36) В ~ством.Измеримые функции8.173поэтому А не является борелевским множе9J1,D8.39.
Возьмём функцию f(x) И множество А из решения задачи 8.36 и множество g( х) == ХА (х). Тогда g( х) измерима относительноклассической меры Лебега, ноДля каждого с Е8.40.IRg(f(x)) ==ХВ(Х) неизмерима.Dвыполнено равенство00{х Е А: ср(х) Е (с, +оо]}U {х Е А:==fn(x)Е (с, +оо]} Е М,n=lоткуда следует, что ср(х) измерима. Так как ф(х)== - sup( - fn(x)),тоnона тоже измерима.D8.41. В силу результата задачи 8.40 функция СРn(Х) == sup fk(X)k~nизмерима для всех n Е N. В силу той же задачиизмерима.
Аналогично, функцияg(x) == inf sup fk(X)n~l k~nh(x) == sup inf fk(X)n>-l k~nизмерима.D/"В силу результата задачи8.42.9 (х) == limn----+ооизмеримыВнаА.Тогдаfn (Х)8.41ифункцииh (х) == limвсилурезультатазадачи{х Е А:==римойg(x) == h(x)} из М. На В функция f(x)функцией g(x). Поэтому f(x) измерима на В.8.43.fn (Х)n----+оомножество8.14совпадает с измеDПустьВ{х Е А:==существуетlim fn(x)}.n----+ооВсилурезультатазадачи8.42множествоВизмеримо.ЧерезB1обозначим множество тех точек из В, где указанных предел равенf(x).Так как М(Ва тогдам(АB1Е М и\ B 1 ) ==\ B 1) == о, то В \ B 1 Е М в силу полноты меры,(см.
задачу 8.1) функция f измерима на B 1 • Далее,о. В силу полноты меры любая функция измерима на этоммножестве, в частности функцияна множестве А.D8.44.гдаСf(x)ПустьВ-f.множество,А тогда (см. задачуопределённоев8.2)fзадачеизмерима8.42.Тоизмерима на В. В силу результата задачи 8.3 множество== f B1 (IR) принадлежит М. Наконец, в силу результата задачи 8.1функция f(x) измерима на с. D8.45. Пусть Е - неизмеримое подмножество (о, 1) иГл.174Измеримые функции8.если х1,f(x,y)={01,если х-====у Е Е,у ~ Е,иначе.Так какf(x, у) == О при х -1- у, то в силу результата задачи 8.15 f(x, у)измерима на (0,1)2.
При каждом хо Е (0,1) функция f(xo,y) отличнаот нуля не более чем в одной точке (0,1), поэтому функция измерима. Аналогично,Но ср(х)f(x,yo) измерима на (0,1) при каждом Уо Е (0,1).== sup f(x, у) == ХЕ(Х) И ф(х) == inf f(x, у) == -Х(О,l)\Е(Х)УЕ(О,l)УЕ(О,l)и обе функции неизмеримы на (О,1) в силу результата задачи 8.6.8.46. Пусть множество Е и функция f(x, у) -дачи8.45.Обозначим В Nлим функции иn(х,у)==(0,1)х(n ~ l' ~)из решения за-nЕ N опреде-и для1))f (х, (у - n~ 1) n(n+Dпри (х,у) Е В nи иn(х, у) == О при (х, у) Е (0,1)2 \ В n . Положим теперь00и(х, у)==Lиn(х, у).n=1Так как (см. решение задачи 8.45) f(x, у) измерима на (0,1)2, токаждаяфункцияиn(х, у)измериманаВnи,следовательно,на(0,1)2. Тогда в силу результата задачи 8.44 функция и(х, у) также измерима на (О, 1)2.
Аналогично, функция и(хо, у) измерима на(О, 1) для каждого хо Е (О, 1), и функция и(х, УО) измерима на (О, 1)для каждого Уо Е (0,1). В то же времяИи(х, у)h(x) == lim==g(x) == limу----+о+и(х, у)==ХЕ(Х)-Х(О,l)\Е(Х), так что обе функции неизмеримыу----+о+на (0,1).8.47.Е(с)==DПусть с ЕIR.Определим множества{х Е (0,1): ср(х)Тогда Е(с)==U> с}иЕу(С)=={х Е (0,1):f(x,у)> с}.Еу(С).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
