1610912311-3cbc5b34357e1bf98e493aa337af68a6 (824698), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Поэтому [а, Ь]в силу результата задачи7.18иFЕ 9]1.Е 9]1, а тогдаD7.38. Пусть М(Р) == о. Тогда для любого Евательность таких n-мерных промежутков\ F>Осуществует последо{Ik == {a(k), b(k)} }~=1'чтоиДлякаждогоkm(Gk) ~ m(Ik)выберемс+ -т.2такойоткрытыйинтервалGk~Ik,чтоТогда00реU Gkk=1и,используяN,чтолемму Гейне-БореляNF е(задачаU Gk.k=13.78),мынайдём такоеГл.134Продолжение меры7.Отсюда следует, чтоNJ-Lj(F) ~NLL~m( Gk )k=1Так как Е>m(lk )+ Е < 2Е.k=1О произвольно, тоJ-Lj(F) ==о, а тогда в силу результатазадачи7.17 множество F измеримо по Жордану и J-LJ(F) == о. D7.39. Для любого заданного Е > О найдём такую последовательность n-мерных промежутков 1k == {la(k), b(k)l}~=I' чтом*(А) ~и00m(Ik) - ~.Lk=1Для каждоготак, чтобыkвыберем открытый промежутокm( Gk )~m(lk )+с2Gk~ 1k ,GkС (о;,(3)Тогдаk+l.00А сU Gk == Gk=1и, так какGоткрыто, то00м*(А) ~Lm(G k )-Е ~J-L(G) -Е ~ МТ(А)-Е.k=1Поскольку Е>Опроизвольно, мы получаем, что м*(А) ~ МТ(А).
С другой стороны, пусть открытое множество Е с (о;,и МТ(А) ~ м(Е)-(3)Е. Далее (см. решение задачитаково, что А с Е7.34),мы можемпредставить Е в виде00ЕU 1k,==k=1где все1kсуть открытые промежутки и поэтомуk-lLk==1k \U 1ik == 2,3, ... ,где все Dk,l изS==Е==U Dk,ll= 1и L 100== 11.lkU U Dk,l.k=ll=1Тогда00А СЕ В. Пусть теперьlki= 1для1klkU U Dk,lk=ll=1Мы получаем, чтоГл.и,Продолжение меры7.135следовательно,Zk00L Lр*(А) ~+ Е.m(Dk,Z) == р(Е) ~ pi(A)k=lZ=l>ОПоскольку Епроизвольно, то мы получаем, что р*(А) ~pi(A).D7.40.
В силу результата задачи 7.39 р*(А) == pi(A). Пусть замкнутое множество F и открытое множество G таковы, что F с А с G сс (о;, (3). Тогда (см. задачу 6.2) р(Р) ~ p(G). Следовательно, р(Р) ~~Так как это неравенство выполнено для любого замкнутогоpi(A).множествас А, то мы получаем, что Рl,*(А) ~Fр*(А).pi(A) ==D7.41. Для заданного Е > О выберем такое открытое множествоG с (о;, (3), что А с G и pi(A) > p(G) - Е.
Тогда F == [а, Ь] \ Gзамкнутое множество, иFpi (А) >nр( G)-Е ~ р( Gс [а, Ь][а, Ь])-\А. Мы получаем, чтоЕ==р([а, Ь])р(Р)-~ р([а, Ь])-Е ~Рl,*([а, Ь]-А)\-Е.Так как Е > О произвольно, то pi(A) ~ р([а,Ь]) - Рl,*([а,Ь] \А). С другой стороны, если замкнутое множество F с [а, Ь] \ А таково, чтоРl,*([а, Ь]А) ~ р(Р)\жит в себе АЛебега, тото открытое множество GЗаметим, что так как рр([а,Ь] \Р) иp(G) ==>ОТак как Еn (а, Ь).p(G) ==~pi(A)+ Е,р([а, Ь])-произвольно, тор(Р) ~ р([а, Ь])pi(A)\Fсодер(а,Ь)). ПоэтомуРl,*([а, Ь]-~ р([а,Ь])(а, Ь)классическая мера-pi(A) == pi(An==-\А)+ Е.Рl,*([а,Ь] \А).D7.42.
Пусть вначале А Е 9J1. Тогда (см. задачу 7.39) р(А) == р*(А) ==== pi(A). Далее (см. задачу 7.18), [а, Ь] \ А Е 9J1 и (см. задачу 7.41)р([а, Ь])-р(А)поэтому р(А)==р([а, Ь]==\А)== pi([a, Ь] \>рР ~для которого"2.Так как G Еp(G L7.43.9J1.В) ~с"2.9J1,Рl,*(А),pi(A) ==Рl,*(А).Gто существует множество В Е R(S),Так как G L А== G \L G) + p*(G LА с G \ Р, тоВ) ~ Е, откудаDНеобходимость условия следует из задачизать его достаточность, возьмём В+ р*([а, Ь] \-F с А с G с (о;, (3) и р( G \ Р) ==мы получаем, что р*(А L В) ~ р*(Аследует, что А Ер([а, Ь])О существуют такое открытое множествои такое замкнутое множество Р, что== pG -==Рl,*(А). Пусть теперь А с [а, Ь] иТогда для заданного ЕсА)==7.32.Чтобы дока[а, Ь]. Тогда р([а, Ь])==р*(А)+А). Можно считать, что мера определена на некоторомпараллелепипеде [о;,(3],где (о;,(3) ::J[а, Ь].
Применяя задачи7.39 и 7.41,Гл.136мы получаем, чтоА Е 9]1.D7.44.Mi(A) ==7.Продолжение мерыМl,*(А). Теперь из задачи 7.42 следует, чтоОчевидно, чтоПусть задано с> о.Выберем такую возрастающую последовательностьнатуральных чисел {ik}~=I' что 1L*(Ai ) > а - 2kE+2 при i ~ ik. Построимтеперь по индукции последовательность множеств{B i } из 9]1. Пусть~.
Обозначим A~2 =В 1 Е 9л таково, что A ij С В 1 И 1L*(A ij ) > IL(B 1) == A i2 \ В 1 • Так как A i2 n В 1 ~ A i1 , то из задачи 7.32м * ( A~2)следует, что== м * ( A i2 ) - м * (A i2 n В 1) ~::;; 1L*(Ai2 ) -1L*(А ij ) ::;; а - (а -~)=~.Теперь мы можем выбрать множество В 2 Е 9]1 так, чтобы A~2 с В 2 Ит. е.м(В 2 )с< 4".Предположим,чтомыуже;!BI, В2, ... , Br-I Е 9Л, для которых IL(Bz) <приl == 2, ...
, r - 1.выбралии A~l=множестваA il \ BZ-I С В!Тогда мы можем выбрать множествоBrЕ 9]1 так,чтобыr-lA~T == A ir\U BiС Bri=lиТак какIL*(A~J =1L*(Ai J-IL* ( A ir n~Q: B i )~ II*(А."томыполучаем,r--v~T::;;) - r--v',*(А·~T-l") ~ о; - (о; __С_) __С_2т+1- 2Т+ 1 'чтос /'"~ М * (А'i r )2т+1> М (В r )-2Тс+ 1 'Гл.т. е.Е< 2Т •M(B r )7.Продолжение меры137Построив по индукции последовательность множествполучим, что{B r },00поэтому/1* (А) ::;;00L/1( B i )00+Lас + ~::;;. 1~=Так как с>Опроизвольно, то м*(А) ~ а.Для каждого натурального7.45.U Di,j00C i ==.
2~=::J А, что Di,j Е SE:i ::;;2ас + Е оDсуществует такое множествоiи M(Ci \ А)<. 1J=поопределениювнешнеймерыЛебега1~.uДеиствительно,~найдутсятакиемножества{D i ,j}J=1 из в, покрывающие А, что00м* А ~LmDi,j - с.j=1Но так как 9]1 ::Jмножество C i==и 9]1 является а-алгеброй (см. задачуSU Di,j7.27),тоизмеримо по Лебегу, и по свойствам мерыjвыполнены оценкио< M(CiА)\== MCi-мА ~LmDi,j - мА < с.jnCiОбозначимB i ==00r приi Е N. Тогда B i ==r=1стваEi,z(То еоBiU Ei,z,[=1из в. Далее, последовательность множеств~B i + 1),где все множе-и /1 Сб B i \ А)=00Если для{B i }jЕне возрастаетNобозначитьjU Ei,zAi,j ==ЕR( В),то мы получаем искомое представление множе[=1ства А.7.46.DПредположим, что есть ещё одно представление00х==U Bj ,j=1где все множестваBjиз В, которое порождает другую а-аддитивнуюCi,j == A i n B j длявсех таких пар (i, j), что Ci,j #- е;.
Заметим, что 9]1 n Ci,j == 9]1' n Ci,j(обозначение из задачи 5.13) и м' (А) == М (А) дЛЯ каждого А Е 9]1 n Ci,j,меру м' на некоторой системе множеств 9]1'. Пустьпоскольку М и м'-продолжения по Лебегу одной и той же меры тГл.138на полукольцеиз9J1.Аn Ci,jSn Ci,jПродолжение меры7.с единицей Ci,j. Пусть теперь множество АТогда для любых такихЕ9J1iС#-что Ci,ji, j,е;, выполнено условиеи9J1,0000i=100i=1 j=1Но, как мы отмечали, А n Ci,j Е 9J1' и м(А n Ci,j) == м'(А n Ci,j).
Поэтому А n B j Е 9J1j для каждого j, откуда следует, что А Е 9J1' и00м'(А)==L00м'(А00n B j ) == L Lм'(Аn Ci,j) == м(А).j=1 i=1j=1DПусть7.47.00хU Aj ,==j=1где все множестваAjиз В, ив силу результата задачи7.279J1j == 9J1 n A jдля всехкаждая система9J1jj.Заметим, чтоявляется а-алгеброй.D n Aj ЕЕ 9J1j для всех j. Отсюда следует, что (С n D) n A j == (С n A j ) n (D nn A j ) Е 9J1j и (С L D) n A j == (С n A j ) L (D n A j ) Е 9J1j. Поэтому Спn D Е 9J1 и С L D Е 9J1. Таким образом, 9J1 - алгебра. Пусть теперь{B i } - множества из 9J1.
Тогда B i n A j Е 9J1j для всех i и j. ОтсюдаЯсно, что Х Еследует,9J1.Пусть С,DЕ9J1.n AjТогда СЕ9J1jичтодля каждогоj.ПоэтомуuB00iЕ9J1.i=1D007.48. Пусть В ==U Bj ,где множества{B i }из9J1.Так как всеj=1мерыми,Mi -ограничения меры М на9J1 n A iтоМ(В) = Е Mi(B n A i ) = Е Mi CQl (Bj n A i ))00==00L Li=1 j=1Dявляются а-аддитивны-00Mi(B j=00n A i ) == L Lj=1 i=100Mi(B jn A i ) == Lj=1M(B j ).Гл.7.49.Продолжение меры7.Пусть139u[n, n+ ~] .А=nn=1Тогда А неограничено, но100м(А)==L2< 00.nn=1D7.50.Мы можем повторить рассуждения из решения задачиУсловие м(В 1 )< 00.<00следует из того, что м(В 1 )==7.45.м( С 1 ) ~ м(А) + 1 <D7.51. Если существует такое n, что м(А n ) == 00, то утверждениеверно. Предположим, что м(А n ) < 00 для всех n. Пусть В 1 == А 1 Иi == 2,3, ...приТогда все множестваBjиз 9]1,n00АU Bj==иАn==j=1U Bj .j=1Мы получаем, чтоD7.52.Заметим, что множество А и все множестваа-алгебра есть 9]11==9]1n А1 ,и МAi-из 9]11, гдеконечная а-аддитивная мера на-9]11.
Теперь утверждение следует из задачи 6.13.D7.53. Пусть A i == [i, (0) при i Е N. Тогда А 1 ::J А 2 ::J ... , M(A i ) ==длякаждого ~,00но/1(ПAi )=/1(0)=О.~=1D7.54.По определению а-конечнойства A i из В, что M(A i )< 00и Х==мерынайдутсятакие0000i=1i=kмноже-U A i . Положим Bk == U A i . ТогдаГл.140В 1 ::J В 2 ::J ... , M(B k )Продолжение меры7.00 для каждого==/1(Пk, ноB k ) =/1(0) =0.k=lD7.55.Заметим вначале, что00== liminf А n ==вn----+ооn00Так какn=kUn00Аn Е9J1.k=ln=k00Аn сПАп, то в силу результата задачи 7.51 получаn=k+lем, чтоD7.56.м(А n )и т,Пусть А 2n - i1== "2(o,~) и А 2n=при каждом(~, 1) при=Но так как А 2n - 1n.n А 2т ==nЕN.Тогда0 для всех nтом (lim inf А n )n----+оо== м( 0) == о.D7.57.Заметим, чтоnU00в== limsupA n ==n----+оо00Так какАn Е9J1.k=ln=k00U Аn::] Un=k00А n , то, используя задачу 6.13, получаем, чтоn=k+lD7.58.
Пусть А n == [n, nдогоn,+ 1)ноn U A == n [k, (0) ==00limsupA n ==n----+ооDпри n Е N. Тогда м(А n )0000kk=l n=kk=l0.== 1для каж-Гл.Пусть А 2n - i7.59.м(А n )1при каждом== "2Продолжение меры7.(O,~) и А 2n=(~, 1) при n ЕN.Тогдаn, ном (lim s u р A r )r----+ooD7.60.=141== м ([о, 1]) == 1.Для каждого натуральногоNимеемПоследняя величина стремится к нулю приN -----+00. Поэтомум (lim sup А n ) == о.n----+ооD7.61.Пусть т-полная мера на а-алгебре В, а М-её продолжение по Лебегу на а-алгебру 9]1. Рассмотрим вначале случай, когдаА Е 9]1 и м(А)что А с А n====о. Тогда для любого n существуют такиеU An,k и Lk1m(А n ) ~-.nЕ В,m(An,k) ~ -. В силу результата задачи 6.11nkПолагая ВAn,k1==00ПАп, получим, что А с В, где В ЕSn=1И m(В)==о.
Так как мера т полна, то отсюда следует, что А Е В.Пусть теперь А Е 9]1 произвольное. Тогда в силу результата задачимножество А может быть представлено в виде7.45где множестваAi,jЕR(S) == SВыше установлено, что А о Е В.==дляi,j Е N, а А о Е 9]1 и м(А о ) == о.Тогда и А Е В. Следовательно, S ==D7.62. Пусть G - открытое множество в }Rn. Тогда в силу результатазадачи 7.34 множество G n (-r, r)n из 9]1 для каждого натурального r.Так как 9]1 а-алгебра, то тогда и G Е 9]1. Если F замкнутоемножество в }Rn, то G == }Rn \ F открыто, поэтому G Е 9]1. Тогда и F ЕЕ 9]1.D7.63. По определению борелевской а-алгебры Вn - минимальная9]1.а-алгебра, содержащая все открытые множества. В силу результатазадач7.47Поэтомуи7.62 9]1Вn с 9]1.Dа-алгебра, содержащая все открытые множества.Гл.142Продолжение меры7.7.64. Пусть Е == {Xk}k=l. Заметим, что каждое одноточечное множествоизмеримо по Лебегу и м( {Xk}) == о.
Так как в силурезультата задачи 7.47 система 9]1 является а-алгеброй, а мера М в силу{Xk}результата задачи 7.48 а-аддитивна, то Е Е 9]1 и м(Е)n [-k, k]n7.65. Пусть A(k) == АиM(A(k)) <00. Поэтому (см. задачиствует такое замкнутое множество< l/r.приk==о.DЕ N. Ясно, чтоA(k)Е 9]17.39 и 7.42) для каждого r сущеFr(k)сA(k),чтоM(A(k) \ Fr(k)) <Обозначим00U Fr(k).P(k) ==ТогдаP(k)имеет типr=lM(A(k) \ P(k)) ==иF(jо. Заметим, что00АU A(k).==k=lЕсли00U P(k),k=lА 1 имеет тип F(j и м(А \ А 1 ) == о. D7.66. Если А Е 9]1, то В == IRn \ А Е 9]1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
