1610912311-3cbc5b34357e1bf98e493aa337af68a6 (824698), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Доказать, что существует такая конечнаяГл.124Продолжение меры7.система попарно непересекающихся отрезков {Ik == [Xk, Xk+ tk]}r=l сс ТО, для которойТеорема Витали. Пусть7.105.наIRJ-L -и дано ограниченное множество Е склассическая мера ЛебегаПусть ТОIR.-такая системаневырожденных отрезков, что для каждой точки Х Е Е и для любогоЕ>О существует такой отрезок1 == I(x, Е)Е ТО, чтоJ-L(I) <Е и Х Е1(скажем в таком случае, что Е покрыта системой ТО в смысле Витали). Доказать, что существует такая не более чем счётная системаотрезков {Ik}~=l С ТО, что Ikn Iz ==е; при k -1- l им* (Е \Q/k) = О.7.106.
Доказать, что в условиях задачи 7.105 для любого Е > Осуществует такая конечная система отрезков {Ik}r=l с то, что Ik nn I z == е; при k -1- l иПривести пример открытых всюду плотных множеств {А n }7.107.на [О; 1], пересечение которых не является открытым множеством (ср.с задачей3.46).РЕШЕНИЯ7.1.Утверждение немедленно следует из определений этих верхних мер, так как для внешней меры Лебега класс соответствующихпокрытий шире, чем для внешней меры Жордана.7.2.DВ силу результата задачи 7.1 выполнены неравенства: м* (А) ~~ J-Lj(А) ~v(A)(второе неравенство следует из того, что А с Аодно из допустимых покрытий). Пусть А Егде все множестваBiR(S) ииз В.
Тогда (см. задачу00v(A) ~Li= 16.11)00v(B i ) ==Lm(Bi ).i= 1Переходя к точной верхней грани, получим, чтоv(A)~ м*(А).DГл.и Аn ЕSПродолжение меры125Если мера т не а-аддитивна, то для некоторых множеств А Е7.3.Е7.одновременно выполнены условияS0000n=1k=1Тогда в силу результата задачисторону,6.9возможно неравенство только в однуа именно00м*(А) ~Lm(A k ) <m(А).k=1D7.4.Из определений ясно, что м*(А) ~ м*(А) для каждого множества А с х.
Докажем обратное неравенство. Пусть А с Х,множества изSи{A i }-покрытие множества А. Обозначим В 1Ai==-А1 Иi-lB i == A iU Aj\j=1приi == 2, 3, ...Тогда00U BiАСi= 1иB i Е R(S) дЛЯ каждого ~. Поэтому при каждом i Е N существуетпредставлениеj~B i ==U Ci,j,j=1где всеCi,jЕ В. Отсюда следует, что00А сj~U U Ci,ji= 1 j = 1и00j~L L00m(Ci,j) ==i= 1 j = 1L00v(Bi ) ~i=1Lm(A i ).i=1Таким образом,00~=1D00~=1Гл.1267.5.Доказательство повторяет решение задачиных покрытий7.6.стваAiПродолжение меры7.на конечные.{A i }ис заменой счётD>Пусть дано некоторое Е7.4о.
Тогда существуют такие множеиз В, чтоBi00А сU Aiиi=1причёмМ*(В) ~и00L m(Bi ) -~.i=1Тогда00АuВU(A i U B i ),сi=1откуда следует,что00м*(А U В) ~L00m(A i )+Li= 1Так как Е>+ м*(В).D7.7.7.8.Ai,jm(B i ) ~ м*(А)+ м*(В) + Е.i= 1О произвольно, то верна и оценка м*(А U В) ~ м*(А)Доказательство аналогично решению задачиПусть Е> о.Тогда для любогоi7.6.+Dсуществуют такие множестваиз В, чтоBiС00ИU Ai,jj=100Lm(Ai,j)j=1< M*(Bi ) +;i'Следовательно,00в с00U U Ai,j,j = 1 i= 1откуда по определению внешней меры следует, что000000i= 1 j = 1Но Еиз>Оi=1было выбрано произвольно.D7.9. Пусть Q[O;I] == {ri}:1 - множество всех рациональных чисел[о, 1] и A i == {ri} для i Е N. Тогда00Q[O;I]==U Aii=1Гл.и7.О для каждого{Lj(A i ) ==Продолжение мерыi.127В то же время, если предположить, чтоNU Bj ,Q[O;I] Сj=1гдеlaj, bj lj == 1,2, ...
, N, то можно занумеровать B j так,что О ~ аl ~ Ь 1 ~ а2 ~ ... ~ bN ~ 1. Поскольку Q[O;I] всюду плотно на[О; 1], то предыдущее вложение возможно лишь при аl == О, bk == ak+lи bN == 1, откуда вытекает, чтоB j ==приNLm(Bj)== 1.j=1Поэтому{Lj(Q[O;I]) == 1.D7.10. Рассмотрим множества А == Q[O;I] И В == [0,1] \ Q[O;I]. Тогда(см. решение задачи 7.9) {Lj(A) == 1 и, аналогично, {Lj(B) == 1. Поэтому1 == {Lj([O, 1]) == {Lj(Au В) -# {Lj(A) + {Lj(B) == 2.D7.11.Из задачи7.4следует, что существуют две последовательности таких множеств {Dj,i}~1 С S (jj == 1,2 и i== 1,2),что Dj,in Dj,l ==е; при-# l,00UD··А·СJ --J,~00и{L*(A j )i= 1~Lm(Dj,i) -- Еi=1(см.j == 1,2.
Пусть E 2l == D 1,l и E 2l - 1 == D 2 ,l при l Е N. Заметим,задачу 5.19) найдутся такие множества Fq,s Е В, чтоприr Е N и, аналогично,дляприЕr{E 2rn E 2l -ностьN.Теперь1 } c::z= 1Инетрудно{Fq,s} ~~~s= 1видеть,чтомножествачтоЕ1 ,образуют искомую последователь{Ci}~I. Существование множеств T j , jD== 1,2,следует изпостроения.7.12.Доказательство повторяет решение задачидовательность{Ci }в данном случае конечна.D7.11,лишь послеГл.1287.Продолжение меры7.13.
Так как А С (А L В)u В,то (см. задачу 7.6) мы получаем, что м*(А) ~ м*(А L В) + м*(В). Следовательно, м*(А)~ м*(А L В). Аналогично, м*(В) - м*(А) ~ м*(А L В). D-м*(В) ~7.14. Доказательство то же, что и в задаче 7.13, с использованиемзадачи 7.7 вместо задачи 7.6.D7.15. Пусть Е > О, а {Ci}~1 и Т1 , Т2 - последовательность и множества, построенные в задаче 7.11. Заметим, чтоAUBCUCiАпВ СиUCi·iЕТ1 ПТ2iET1UT2Отсюда следует, чтом*(Аu В) + м*(А n В)~iE==m(Ci ) +LLT UTILiЕ ТI ПТ22m(Ci )+iE T lв силу произвольности Е>Оm( C i ) ==Lm(Ci )~ м*(А)+ м*(В) + 2Е.iET2отсюда вытекает утверждение задачи.D7.16. Доказательство то же, что и в задаче 7.15, с использованиемзадачи 7.12 вместо задачи 7.11.D7.17. Для любого Е > О можно взять в определении измеримостимножество Ас==е;.D7.18.
Заметим, что А L В == (Х \ А) L (Х \ В) дЛЯ любых множеств А С Х и В С Х. Далее, если С ЕR(S). Поэтому если Е > О, А С Х, Ас Е R(S) и м*(А L Ас) < Е, то Х \ Ас Е R(S)и М * ( (Х \ А) L (Х \ Ас)) < Е. DR(S),то Х\С Е7.19.Доказательство такое же, как в задаче7.20.Утверждение немедленно следует из определений систем [nи [nJ и задачи7.1.7.18.DD7.21. Измеримость следует из того, что при Ас == А Е R(S) выполнено равенство Mj(A L Ас) == Mj(e;) == О, а равенство мер - из задачи 7.2.D7.22. Согласно задаче 7.20 множество А принадлежит [N, и в силурезультата задачи 7.1 выполнено неравенство м(А) ~ MJ(A).
С другойстороны, для любого ЕMj(A LВ)< Е.>О==7.23.MJ(A)R(S),чтоСледовательно (см. задачи 7.14, 7.21 и 7.13),MJ(A) == Mj(A) ~ Mj(B)поэтомусуществует такое множество В Е+ Mj(A Lм*(В)~ м(А).+Е~< MJ(B) + Е ==м*(А) + м*(А L В) + ЕВ)~ м(А)+ 2Е,DЗаметим, что е;, Х Е [n в силу результата задачимножества А и В из [n.
Для данного Е>7.21.ПустьО найдём такие Ас и В С изГл.7.Продолжение меры129R(S), что м*(А L. А Е ) < ~ и м*(В L. ВЕ ) < ~. Тогда А Е n ВЕ и А Е L. ВЕизR(S),иСледовательно (см. задачу7.6),иТаккаки АL В7.24.7.25.>ЕЕ9J1.Опроизвольно,тоотсюдаследует,чтоАnВЕ9J1DДоказательство практически такое же, как в задачеЗаметим, что в силу результата задачи7.237.23.Dмножество В U Спринадлежит 9J1. Из задачи 7.6 следует, что м(А) ~ м(В) + м(С).Зафиксируем Е > О И найдём такие множества В Е , СЕ Е R(S), чтом(В L В Е ) ~ Е и м(С L СЕ) ~ Е. Так какАLто согласно задаче(В Е U СЕ) с (В7.6Далее, так как В и СВ Е ) U (СLСЕ)'получаем, что-непересекающиеся множества, тооткуда вытекает, что М(В Е ПСЕ)R(S)L<2Е. Поскольку (см.
задачу 7.21) нафункция М совпадает с аддитивной функцией v, то с учётомзадачи7.13и равенстваполучаем оценкуМ(В Е U СЕ)==м(В Е )~+ м( СЕ) - М(ВЕ n СЕ) ~М(В) + м( С) - 2Е - М(В Е n СЕ)Отсюда следует, что (см. задачуТак как Е+ м(С).7.26.5>~ М(В)+ м( С)- 4Е.7.13)О произвольно, то мы получаем, что м(А) ~ м(В)+DДоказательство практически такое же, как в задачеп. л. Ульянов и др.7.25.DГл.1307.27.Пусть множестваПродолжение меры7.изAiи9J100А==U Ai .i=li-lПоложимB 1 == A 1 , B i == A i\U Akдля i== 2,3, ...ТогдаBiЕ9J1иk=l00А==U Bi ·i=lЗаметим, чтодля любогоn,поэтому, согласно задаче7.25,Отсюда следует, что00L/-L(В i )< 00.i=lТеперь для любого с>Онайдём такое числоN,что00L/-L(В i )< с.i=N+lДалее, существует такое множество С ЕR( В),чтоТак както (см. задачи11*7.6и7.8)(А L,.
С) :( Е + 11* С=У+l B i ) :( Е + i=~+ll1(Bi) < 2Е.Это и означает, что А Е9J1.D7.28. Пусть Q[O;l] == {rn}~=l-множество всех рациональных точек из [О, 1]. Если мы предположим, что Q[O;l] Е9J1J,то В силу резуль-Гл.Продолжение меры7.131тата задачино тогда7.19 множество Р == ([0,1] \ Q[O;I]) измеримо по Жордану,(см. задачи 7.26, 7.9 и 7.10)Из этого противоречия вытекает, что Q[O; 1] ~9J1J.В то же время00U {r n },==Q[O;I]n=1где{r n }ЕDРассмотрим на а-алгебре7.29.IRnS С 9J1J дЛЯ каждого n.всех подмножеств пространстваSмеру{1,м(А) ==если О Е А;если О ~ А.О,S == 9J1 == 9J1 J . D7.30.
Если {A i } - последовательность попарно непересекающихсяТогдаизмеримых по Лебегу множеств и00А==U Ai ,i=1то (см. задачуем,А Е7.27)9J1,и в силу результата задачи7.8мы получа-что00м(А) ~LM(A i ).i=1Поэтому, согласно задаче6.11,мера М а-аддитивна.Утверждение вытекает из задач7.31.7.30, 7.22Dи7.20.D7.32. В силу результата задачи 7.6 м*(А n D) ~ м*(В n D) ++ м*(С n D). Зафиксируем Е > О И найдём такие множества ВЕ , СЕ ЕЕсниеВ1сR(S), что м(В L В Е ) ~ 20 и м(С L СЕ) ~ 20.
Тогда (см. решеМ(В Езадачи 7.25)==ВЕ\СЕ ЕВ1Ln СЕ)R(S)и С1ВЕВЕ==с==n СЕСЕс~ 10.\ВЕ Ес (ВРассмотрим теперьR(S).n С)множестваТак какU (В Е \ В) U (СЕ \ С),сто М(В 1 L В Е ) ~ 10 и, аналогично, М(С 1 L СЕ) ~ 10· Более того, В 1n С 1 ==5*О, из вложенияnГл.132следует, что М(В L В 1 ) ~А1==Продолжение меры7.с5'и, аналогично, М(С L С 1 ) ~с5.ОбозначимВ 1 U С 1 . Так както мы получаем (см. задачу7.13),что11*(А n D) ~ 11*(А 1 n D) -11*((А 6 А 1 ) n D) ~ 11*(А 1 n D) - ~.Оценим теперь снизу внешнюю меру множества (А 1n D).Пустьигде все множествавы,E i и Fj из В, а множества {GZ}~I' G z Е S тако-что00А1nDсU Gz[=1и11*(А 1 n D) ~00Lm(G z) -1100'[=1Рассмотрим системы элементов из В:иЗаметим, чтоиПоэтому11*(А 1 n D) ~00Lm(Gz) -1100~[=1~00Lm(Нр ) +00L m(Tq ) -1100~ 11*(В1 n D) + 11*(С 1 n D) -р=1q=1~ 11* (В n D)+ 11* (С n D) -11*(В 6 В 1 ) -11*(С 6 С 1 )1100~- 1100 ~~ 11*(В n D) + 11*(С n D) - ~.Поскольку ЕnD).
D7.33.>О произвольно, то м*(Аn D)~ м*(Вn D) + м*(С nДоказательство практически такое же, как в задаче7.32.DГл.7.lЗЗПродолжение меры7.34. Пусть {Z(k)}~=1 - множество таких точек из G, что все ихкоординаты рациональны, аTk =dist(z(k), JRn \ G) иtk =;~ при k Е N.Заметим, что еслиn+ tk)Ik == (g)(z(k)j - tk, z(k)jj=1для всехk,то00G ==U Ik·k=1Действительно,Положим d =ТогдаеIkGв силу выбораdist(x, JRn \ G).7.20),Ik<1 9d2n 10<Grk>измеримо.9d10·rk2n' т.е. х Е Ik· Так как всепринадлежат В, а тем более 9]1 (см. задачиа система 9]1 согласно задачемножествоG.Найдётся такое k, что Iz(k)j - xj)1 < 1~n'dпараллелепипедыизРассмотрим точку х Еp(z(k),x) < 10' а значит, по неравенству треугольникаСледовательно, Iz(k)j - xj)1иtk.7.277.21является а-алгеброй, тоD7.35.
Так как м* (В) ~ м* (А) == м(А) == о, то утверждение следуетзадачи 7.17.D7.36. См. решение задачи 7.35. D7.37. Заметим, что (а, Ь) \ F - открытое множество. Из задачи 7.34следует, что (а, Ь)\FЕ 9]1. Нетрудно видеть, что граница параллелепипеда имеет классическую меру о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
