1610912311-3cbc5b34357e1bf98e493aa337af68a6 (824698), страница 17
Текст из файла (страница 17)
В силу результата задачи 5.23 R(X) - кольцо. Ясно, что Х с R(X). Если R lкольцо, содержащее Х, то согласно задаче 5.23, R2 == Rl n М(Х) также кольцо. Но R 2 Е Р, и поэтому R(X) с R 2 С R l . D5.28. В этом случае (см. задачу 5.27) В == Е, поэтому для любого(з Е Г кольцо P/J имеет единицу Е. Тогда (см.
задачу 5.25) Е являетсяи единицей R(X). D5.29. Доказательство повторяет решение задачи 5.27 с использованием задачи 5.23 вместо 5.24.D5.30. Доказательство такое же, как в решении задачи 5.28. D5.31. В задаче 5.22 доказано, что Rl - кольцо. Но любое кольцО R, содержащее 5, должно содержать (см. задачу 5.14) множестваnU Ai ,видагдеAiЕ5приi == 1,2, ... , n. Поэтому R l С R, т. е.i=1R(5)==R l . D5.32. Пусть R -Поэтому5.33.Rа-кольцо и00i=1i=2является д-кольцом.DПустьR -Rдляi == 1,2, ...д-алгебра с единицей Е и00U AinAi00==Е\i= 1RЕ00Тогдат.
е.Aiявляется а-алгеброй.(Е \ A i ) Е R,i= 1DЕRТогдадляi == 1,2, ...Гл.945.34.Системы множеств5.Рассмотрим систему Т всех ограниченных подмножествТогда Т является д-кольцом, но так как А n==[n, n+ 1)IR.Е Т при n ~ О00иU А n ==[О,(0)~ Т, то Т не является а-кольцом.Dn=О5.35.Всякое замкнутое множество имеет видоткрыто, поэтомуFЕ нn. Если некотораяIRn,замкнутые множества изF == IRn \ G, где Gа-алгебра D содержит всето по тем же соображениям она содержитвсе открытые множества, и, следовательно, содержит нn.5.36.Пусть х ЕL2.Тогда существует такоеN,Dчто для любого00n~NU А n для каждого k и,точка х принадлежит А n . Поэтому х Еn=kследовательно, х Е5.37.==[О,1]иL 1•Пусть А 2n -]L 2 == 0.D[o,~) и А 2n=[~,=1]при n ЕN.ТогдаL]Dn005.38.В первом случаеL1Аn== L 2 ·Во втором случаеL 2 ==n=1n=15.39. Рассмотрим множества A k == {k}.
Тогда L 1 == L 2 == 0. D5.40. Пусть А 1 , А 2 , ... ,А n - такие множества, что A i n A j == 0при i -1- j. Тогда {0, А 1 , ••• , А n } - полукольцо. D5.41. Минимально возможное число множеств равно 2 в случае,если А 1 == А 2 == ... == А n . Тогда R == {А 1 , 0}. Максимально возможноечисло множеств равно 22пДействительно, пусть-1.D i1 ==A i1\U Akпри ~1== 1, ... ,n,ki-ilD i1 ,i2 == (A i1n A i2 ) \ UAkпри il-1- i2ki- i l, i2и т. д. Число таких множеств равно сА + c~ +Пусть n - система всех D i1 , ... ,ik' где 1 ~ k ~ n и... + с;: == 2n1.-iR= {U El: Еl Е s1 }l=1(включая пустое множество). Так каккольцо(действительно,лукольцо,построенное~ {А 1 , А 2 , ... , А n } и-решенииR ~ 22n E j ==0 при iминимальное кольцо,R вEiп-lзадачи5.40).-1- j,тоR -содержащее поЯсно,что.
В случае, когда D i1 , ... ,ik -1- 0R~дляГл.5.Системы множеств95всех k и всех i 1, ... , ik, выполнено равенство Rреализуется,например,==22п-1.Этот случайеслипри i == 1,2, ... , n. Наконец, любое кольцо R l , содержащее А l , А 2 , ...... ,А n , должно содержать множества E z , и поэтому R l ~ R, т. е. R минимальное кольцо.DПредположим, что существует кольцо R == {0', А l , А 2 }, гдевсе множества различны. Если А lА 2 == 0', то А l U А 2 Е R, и мыпришли к противоречию. Если С == А l n А 20' то С с А l И С с А 2 ,И так как А lА 2 , то хотя бы одно вложение строгое. Пусть, например,5.42.nD ==Аl \#С #- 0'.Тогдак противоречию.5.43.DЕR,ноD~#-{0', А l , А 2 }.Мы вновь пришлиDНетрудно видеть, что0' == 0'х0'Е5.Пусть А==А l Х А2И В == В l Х В 2 , где А l ,В l Е 51 И А 2 ,В 2 Е 52.
Тогда Ап В == (А l ПВ l ) Хх (А 2В 2 ) Е 5 (см. задачу 1.20). Наконец, если В С А, то В l С А lИ В 2 С А 2 . Следовательно, существуют такие С l , ... ,Ck Е 51 и D l , ...... ,Dn Е 52, чтоnОтсюда следует, что (см. задачу1.21)D5.44.Пусть Rl21 2[О, 1] ,[0'"2] ЕR,==а-алгебры всех подмножеств [О, 1].
ТогдаR2 -но [О, 1]21 2\ [О, "2]не может быть представлено какА х В ни для каких А Е Rl И В Е R2.DR l == {0'} или R 2 == {0'}, то и R l Х R 2 == {0'} а-алгебра. Пусть R l и R 2 содержат непустые множества, в частности5.45.Еслисвои единицы Х l и Х2 соответственно. Если R2R==R lХ R2===={0', Х2 }, то{А х X 2 }AERl.Эта система множеств естественным образом отождествляется с Rl,И потому тоже является а-алгеброй. Случай, когда выполнено условиена Rl, аналогичен.Гл.965.Системы множествПусть нашлись множестваR k \ {0', X k }, где X k - единицыа-алгебр Rk, k == 1,2. Тогда Bk == Xk \ A k Е Rk \ {0', Xk}, и A k n Bk ==== 0'. Теперь нетрудно видеть, что (А 1 Х А 2 ) u (В 1 Х В 2 ) ~ R 1 Х R 2.
D5.46. Заметим, что 0' == j-l(0') Е j-l(т). Если с, D Е j-l(т), тосуществуют такие множества А,В Е Т, что j-l(А) == С и j-l(В) == D.AkЕТогдаПусть теперь с, С 1 Еj-l (Т) И С 1что С == j-l(А)С с. Тогда существуют такие множества А,А 1 Е Т,и С1==j-l(А 1 ). Так как С 1 С с, томы получаем, что А 1 С А. Поэтомугде А 2 , ... ,А n Е Т, откуда следует, чтоD5.47. В силу результата задачи 5.46 система множеств j-l (Т) полукольцо.
Если с, D Е j-l (Т), то существуют такие А, В Е Т, чтоj-l(А) == С и j-l(В) == D. ТогдаСL D ==j-l(А)Lj-l(В)==j-l(АLВ) Е j-l(т).D5.48. В силу результата задачи 5.47 система множеств j-l (Т) кольцо. Очевидно, что если Е -единица Т, тоница j-l(т). Если С 1 ,С2 ,Е j-l(т), то существуют такиеА 1 ,А 2 ,СП при n Е N. Тогда... ,А n ,...nQ!Е Т, чтоСП =...
,Сn , ...j-l(А n ) ==nQ! j-!(A n ) =j-l (Е) -едиг! CQ! Аn) Е j-!(T).D5.49. Пусть Х == {Хl, Х2, хз}, У == {Уl, У2} и R == {0', {Хl}' {Х2, хз}, Х}.Пусть==j(Xl) == j(X2) ==Уl и j(хз)==У2. Тогда{0', {Уl}' У}. Заметим, что У \ {Уl}==R -кольцо, иj(R) =={У2} не может быть представ-nлено в видеU B i , где B ii=2Еj(R).Поэтомуj(R) -не полукольцо.DГлаваМЕРЫПустьв [О,6НА СИСТЕМАХ МНОЖЕСТВполукольцо множеств, а тS-+(0) U { +оо}-функция, отображающаяи не равная тождественно+00.Скажем, что тS-мера, если для любого представленияkА==U Ai ,i=lгде А, А 1 , ...,Akмножества из В, выполнено равенство-km(А)==Lm(A i ).i=lПри этом сумма считается равной+00,гаемыхжебесконечно.A,A 1, ...
,Ak , ...Есликтомуесли хотя бы одно из сладлялюбыхтакихмножествиз В, что00А==U Ai ,i=lвыполнено равенство00m(А)==Lm(A i ),i=lто мера т называется (J-аддитивноЙ. Сумма ряда из мер считаетсябесконечной, если хотя бы одно из слагаемых бесконечно либо еслиряд расходится.Мера т на полукольцеm(Х)Sс единицей Х называется конечной, еслиSназывается (J-конечной, если существует< +00.Мера т на полукольцетакое множество Х, что А с Х для каждого А ЕХ ~ В, т. е.
Х-S(вообще говоря,не единица В), причём Х может быть представленов виде00где А n ЕS и m(А n )< +00при всехn. Нетрудно видеть, что конечнаямера является частным случаем (J-конечноЙ.4п. л. Ульянов и др.Гл.986.Меры на системах множествЗАДАЧИ6.1. Построить пример полукольца 5 и такой функции ер : 5 -----+-----+ [0,+(0), что для любых А,В Е 5 с АпВ == е; и С == AuB Е 5выполнено равенство ер( С) == ер(А) + ер(В), но ер - не мера на 5.6.2. Пусть т - мера на полукольце 5, множества А и В принадлежат 5 и В с А. Доказать, что m(В) ~ m(А).6.3.
Пусть т - мера на полукольце 5. Доказать, что m(е;) == о.6.4. Пусть т - мера на полукольце 5, множества А, В и А u Впринадлежат 5, причём m(А n В) < +00. Доказать, что m(А u В) ==== m(А) + m(В) - m(А n В).6.5. Пусть т - мера на полукольце 5, множества А, В и А L Впринадлежат 5 и m(А L В) == о. Доказать, что m(А) == m(В).6.6. Пусть 5 - полукольцо с мерой т, а 51 == {А Е 5: m(А) == о}.Доказать, что 51 - полукольцо.6.7. Пусть R - кольцо с мерой т и R l == {А Е R: m(А) == о}.Доказать, что Rl - кольцо.6.8. Пусть т - мера на полукольце 5, множества А, А l , ... ,А nпринадлежат 5 иnА сU Ai ·i=1Доказать, чтоnm(А) ~Lm(A i ).i=16.9.мера на полукольцеПусть тпринадлежат55,множества А, А l , ...
,А nиnU AiС А.i=1Доказать, чтоnLm(A i ) ~ m(А).i=16.10.Пусть т-мера на полукольце5,00U AiС А.i=1Доказать, что00Li=1m(A i ) ~ m(А).множества А и А n из5иГл.6.11.Пусть тМеры на системах множеств6.s.мера на полукольце-99Доказать, что т являетсяа-аддитивной тогда и только тогда, когда для любых таких множествА, А 1 , ••• ,А n изчтоS,00выполнено неравенство00m(А) ~Lm(A i ).i=l6.12. Пусть [А, В] с IR и S - полукольцо всех отрезков, интервалов и полуинтерваловm( lа, ьl) ==:Sмерой наНиже мы будем называть её классической мерой на [А, В].6.13.Пусть т(0),гдес [А, В] (включая пустой).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
