1610912311-3cbc5b34357e1bf98e493aa337af68a6 (824698), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Тогда00[О, х)==U [О, Xi).i=lв силу результата задачи6.17получаем, что9 ( х) == т ( [О, х )) == .1im т ( [О, х i )) == .1im 9 (х i ) .~----+oo~----+ooD6.23.Проведём доказательство по индукции пождение было доказано в задачеуже доказано для размерности6.12.n - 1,n.Приn == 1 утверПредположим, что утверждениегдеn>1.lа, Ьl == lа ( 1), Ь ( 1)l U . . .
U lа (k ), Ь (k )lРассмотрим точки а n (1), Ь n (1), а n (2), Ь n (2),Пустьс А с IRn.... , an(k), bn(k)Е [а n , Ь n ].Расставляя их в неубывающем порядке, получим разбиение отрезка[а n , Ь n ]: а n==с(О)А(1)А(2)< с( 1) < ... < c(l) ==== lal,b1l== lal,b1lх ... хх ... хЬ n . Пусть теперьlan-l,bn-1llan-l,bn-1lх (а n ,с(1)),х (с(1),с(2)),Гл.110иМеры на системах множеств6.E(j, s) == la(j), b(j)l n A(s)через рnприj == 1, ...
, k, s == 1, ... , l. ОбозначимF на (n - l)-мерное пространство,проекцию множествапорождённое первымиn - 1 координатами. Получаем, чтоla(j) l' b(j) IlE(j, s)n ==Для каждогоесли{ е;s-la(j)n-l' b(j)n-ll 'х ... х(c(s - 1), c(s))сla(j)n, b(j)n lиначе.имеемkA(s)n ==U E(j, s)n.j=1По предположению индукции получаем, чтоnm( lа, ь l) = П (b i - ai) =i=1ln-l8=1i=1L ( п (b i -ai) ) (с( s) - с( s - 1)) =l==Lm n -l(А(s)n)(с(s)- c(s - 1)) ==8=1l==kL Lm n-l (E(j, s)n)(c(s) - c(s - 1)) ==8=1 j=1l==LL8 = 1 j: l а (j) п ,Ь (j) п l==Lkn-lП (Ь (j) i:2 (с ( 8 -i=1а (j) i) (с( s)- с( s - 1)) ==1) ,с ( 8 )) i = 1L(n-lП (b(j)i - a(j)i)j=1-(C(s) - C(s - 1)) ) ==8:(c(8-1),c(8))~la(j)n,b(j)n lD6.24.6.25.6.26.Доказательство практически такое же, как в задачеУтверждение проверяется непосредственно.Пусть множество А принадлежитразложения:kА==U Ajj=18==U Brr=1R(S)6.12.DDи имеются два егоГл.где всеи всеAj6.Меры на системах множествn BrDj,r == A jиз В.
ТогдаBr111ЕS для всех J и r,причёмskr=1j=1U Dj,r и B r == U Dj,rA j ==для всехjиr.Следовательно,sm(Aj ) ==kLm(Dj,r) и m(Br ) ==Lm(Dj,r).j=1r=1ПоэтомуkLskL Lm(Aj ) ==j=1sj=1 r=1изm(Dj,r) ==r=1 j=1откуда следует, что функция6.27.R иL Lm(Dj,r) ==skvLm(Br ),r=1корректно определена.Неотрицательность функцииvочевидна. Пусть А, А 1 , ••• , А nnАU Ai ·==i=1Тогда для каждоговыполненоij~U Aj,i,A i ==j=1гдеAj,iЕ В. ПоэтомуА==nnj~i=1i=1j=1U A i == U U Aj,i Е R(S),и, так как это есть одно из возможных представлений множества Ав виде дизъюнктного объединения элементов В, то в силу результатазадачи6.26nv(A) ==j~L Lnm(Aj,i) ==i= 1 j=1Lv(A i ).i=1D6.28.ПустьS -полукольцо всех промежутков (открытых, замкнутых и полуоткрытых) {а, Ь} с [О, 1], включая пустой, иR == R(S) =={А =UI~=1i :Ii=lщ,Ьil Е В}Гл.112минимальное кольцо, содержащее В, с мерой (см. задачииМеры на системах множеств6.6.27)6.12, 6.26nm(А)== L(bi - ai).i=1Тогда для любого а Е [О, 1] отрезок [а, а] принадлежиттельно, если мы предположим, чтоНо m([О,R1Rl.
Следоваимеет единицу Е, то Е== [0,1].1]) == 1, поэтому [О, 1] ~ R 1 , И мы пришли к противоречию.DПусть6.29.00А==U Ai ,i=1где множества А, А 1 , •••,Ai , ...принадлежатU Bj==A i ==иj=1i == 1,2, ... , гдевсех j, i и l, тодлядляl~==U U Cj,i,lj == 1, ... , k; i == 1,2, ...на,==B jn Bi,lkиBi,l==U Cj,i,l,j=1i= Il= 1дляU Bi,ll=1все B j и Bi,l из В. Если обозначить Cj,i,l00B jТогдаl~kАR(S).иl == 1, ... , li.Так как мера т а-аддитивтоkv(A) ==kLm(Bj )==j=100l~L LLm( Cj,i,l) ==j=1 i=ll=1D6.30. Так как каждый элемент А Е R(S) можно представить в видеkА==U Aj ,j=1где все множестваAjпринадлежат В, то мы получаем, чтоkср(А)==Lkcp(A j ) ==j=1для любого множества А Ече6.26.DL m(Aj ) == v(A)j=1R(S),где мераvбыла определена в задаГлава7ПРОДОЛЖЕНИЕ МЕРЫПустьS -полукольцо с единицей Х, а ттивная мера на В. ПустькольцоR(S)v --конечная а-аддипродолжение меры т на минимальное(см.
задачи 5.31, 6.26, 6.27). Для произвольного А С Хопределим верхнюю меру Жордана J nорождённую мерой т, формулойMj(A) ==~=1где точная верхняя грань берётся по всем конечным покрытиям множества А множествами А n из В. Верхнюю меру Ле6ега J nорождённуюмерой т, определим формулой00м*(А)==inf(х)Lm(A i ),A~U A~i=l~=1гдеточнаяверхняяграньберётсяповсемнеболеечемсчётнымпокрытиям множества А множествами А n из В.Скажем, что множество А с Х измеримо по Ле6егу (по Жор дану) ,>если для любого ЕО существует такое множество Ас ЕR(S),чтоL Ас) < Е (соответственно, Mj(A L Ас) < Е).
Обозначим через9J1 и 9J1 J системы всех множеств А с Х, измеримых по Лебегу(по Жордану). Для множества А Е 9J1 (А Е 9J1 J ) его мерой Ле6егам*(А(мерой Жордана) называется величина м(А)но,==м*(А) (соответственMJ(A) == Mj(A)).В случае, когдаS - полукольцо промежутков из замкнутого параллелепипеда [а, Ь] С IRn, а мера т - классическая (см. задачу 6.23),мы будем и соответствующие меры и верхние меры называть классическими.Пусть теперь т-а-конечная а-аддитивная мера на полукольце В,т. е.
существует такое множество Х, что А с Х для каждого А Е00SиГл.114где все А n ЕS.7.Продолжение мерыВ этом случае можно ввести а-конечную меру Ле6егана классе подмножеств х. Пусть А с х. Скажем, что А ЕАn АnЕ9J1nдля n Еносительно меры МNS n АnгдеN,9J1nесли9J1,класс измеримых множеств от-меры Лебега, порождённой т на полукольце-с единицей А n . Если А Е9J1,то за его меру Лебега берётся поопределению00м(А)L==МN (А ПАп).n=1Корректность определения доказана в задачеполукольцовсехпромежутковиз }Rnс7.46.В случае, когдаклассическоймеройS-т,тосоответствующую а-конечную меру М называют классической меройЛебега на }Rn.ЗАДАЧИв задачах7.1-7.27, 7.30-7.33предполагается, что тконечная а-аддитивная мера на полукольцес единицей х.Доказать, что для любого множества А с Х выполнено нера7.1.венствоSнекоторая-Mj(A)7.2.~ м*(А).Доказать, что для множества А ЕR(S) имеют место равенстваMj(A) == м*(А) == v(A).7.3.Доказать, что если, вопреки определению верхней меры, мера т не а-аддитивна,S,дЛЯ которо-< m(А).го м* (А)7.4.то найдётся множество А ЕДоказать, что если00м*(А)==inf(х){A~} : A~ES,A~ULm(A i ),A~ i=l~=1то м* (А)7.5.==м* (А) дЛЯ любого А с х.Доказатьутверждение,аналогичноезадаче7.4,длямерыЖордана.7.6.
Пусть~ м*(А)Mj(A)7.8.иВ с х.Доказать,чтом*(АuВ) ~иВ с х.Доказать,чтоMj(A UВ) ~+ м*(В).7.7. Пусть~А с ХА с Х+ Mj(B).Пусть В с Х иBiС х, причём00Гл.7.Продолжение меры115Доказать, что00м*(В) ~L J-L*(Вi ).i=l7.9. Пусть J-Lj -классическая верхняя мера Жордана на [О, 1].Построить такие множества7.10. Пусть J-Lj строить такиеAiклассическая верхняя мера Жордана [О,множества А с [О,1]иВ с [О,Пусть А 1 С х, А 2 С Х И задано Е7.11.ществует последовательностьN,чтоCin C z ==Ajдлячто1],1],что А1]. Поn В == е;,u В) -# J-Lj(А) + J-Lj(В).но J-Lj(АТ1 , Т2 СС [О,j == 1,2.7.12.
Пустьсо. Доказать, что су{Ci } ~ 1 элементов S и такие множествае; приU Ci>i-# l,И J-L*(А j ) ~Lm(Ci)-ЕА 1 С х, А 2 С Х И задано Е>о. Доказать, что су-ществуют набор { C i } ~ 1 элементов S и такие множества Т1 , Т2 СС {1, 2, ... , N}, что C i n Cz == е; для i -# l,AjприсU CiИLJ-Lj(Аj ) ~m(Ci )-Еj == 1,2.7.13. Пусть А с Х и В с х. Доказать, что IJ-L*(A) - м*(В) I ~~ м*(АL В).Доказать, что утверждение задачи7.14.7.13остаётся справедливым, если заменить верхнюю меру Лебега на верхнюю меру Жордана.Пусть А с Х и В с х. Доказать, что7.15.м*(Аu В) + м*(А n В)~ м*(А)Доказать, что утверждение задачи7.16.+ м*(В).7.15остаётся справедливым, если заменить верхнюю меру Лебега на верхнюю меру Жордана.7.17.
Доказать, что если м*(А) == О, то А Е 9J1, а если J-Lj(А) == О,то А Е9J1 J .Пусть А с х. Доказать, что А Е7.18.когда Х\\А Етогда и только тогда,9J1 Jтогда и только тогда,9J1.Пусть А с х. Доказать, что А Е7.19.когда ХА Е9J19J1J.Гл.116Продолжение меры7.9J1 J С 9J1.что R(S) с 9J1JДоказать, что7.20.7.21. Доказать,и, если А ЕтоR(S),v(A) ==м(А).== J-LJ(A) ==7.22. Пусть А Е 9J1 J . Доказать, что J-LJ(A) == м(А).9J1 7.24. Доказать, что 9J1J 7.25. Пусть В, С Е 9J1,Доказать, что7.23.что м(А)М(В)==Пусть7.26.алгебра.Вn==С0иА==Вuс.Доказать,иА==ВuС.Доказать,+ м(С).В, С ЕnВ9J1 J ,С==0== J-LJ (В) + J-LJ (С).что J-LJ (А)Доказать, что7.27.алгебра.9J1является а-алгеброй.7.28. Доказать, что в случае классической меры Жордана на [О, 1]система9J1 Jне является а-алгеброй.Привести пример меры т, для которой система7.29.9J1 Jявляетсяа-алгеброй.J-L является а-аддитивной мерой на 9J1.7.31.
Доказать, что J-LJ является а-аддитивной мерой на 9J1 J .7.32. Пусть В, С Е 9J1, В n С == 0, D с Х и А == В u С. Доказать,Доказать, что7.30.что м* (Аn D) == м* (В n D) + м* (С n D).Пусть В, С Е7.33.что J-Lj(А9J1J,Вn С ==0,D==с Х и АВu С.Доказать,n D) == J-Lj(В n D) + J-Lj( С n D).7.34. Пусть G - открытое множество на [а, Ь] С }Rn. Доказать,что G измеримо относительно классической меры Лебега на [а, Ь].7.35. Пусть А Е 9J1, м(А) == О и В с А.
Доказать, что В Е 9J1и М(В)==о. (Это свойство меры называется полнотой.)Доказать, что утверждение задачи7.36.7.35выполнено для мерыЖордана.7.37. Пусть F чтоFзамкнутое множество на [а, Ь] С }Rn. Доказать,измеримо относительно классической меры Лебега на [а, Ь].7.38. Пусть J-L -классическая мера Лебега на [а, Ь] С }Rn,замкнутое множество наИ J-LJ(F)==[а, Ь]о. Доказать, чтоклассическая мера Лебега нас [а,Ь] С(0;,;3).с (о;,Доказать, что J-Li(А)Положим J-Li(А)7.40. Пусть J-L с [а,Ь] С==о.7.39. Пусть J-L -;3)}.и м(р)F F Е 9J1J(0;,;3).Доказать, что====iпf{J-L(G):м*(А).J-LI,*(A) == sup{J-L(F):J-LI,*(A) ~ м*(А).с }Rn и А соткрытое G ~ А, G склассическая мера Лебега наПоложим[0;,;3][0;,;3]с }Rn и А сзамкнутоеF С А}.Гл.7.41.
Пусть М с [а, Ь] С (о;,;3).Продолжение меры7.117классическая мера Лебега на[0;,;3]сIRnи А сДоказать, что (см. обозначения в задачах 7.39, 7.40)Mi(A) == м([а, Ь]) - Мl,*([а, Ь] \ А).7.42. Пусть М с [а, Ь] С (о;,гда Mi(A)==;3).классическая мера Лебега наДоказать,чтоА Е 9]1 тогдаи[0;,;3]столькоIRnи А стогда,ко-Мl,*(А).7.43. Пусть М -классическая мера Лебега на [а, Ь] СIRnи А сс [а, Ь]. Доказать, что А Е 9]1 тогда и только тогда, когда для любого множества В С [а, Ь] выполнено равенство м* (В)+ м*(В \==м* (Вn А) +А).В задачахи7.447.45предполагается, что ттивная мера на полукольце7.44.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
