1610912311-3cbc5b34357e1bf98e493aa337af68a6 (824698), страница 23
Текст из файла (страница 23)
В силу результата зада7.65 В == В 1 U В 2 , где В 1 имеет тип F(j, а м(В 2 ) == о. Но тогдаnnА == IR \ в == (IR \ В ) \ ВА \ ВА1точи==1и в силу результата задачи3.42221множество А 1 имеет типGfy.7.67. Из построения немедленно следует, что M(Ik ) ==всехD1зnдляn и k. Поэтомум(С) =f2n -1•3~=n=1и, следовательно, м(Ро )f~а) n=~.n=1==о.12 =1- -13D7.68. Пусть дан интервал (а, Ь) с (о, 1).
Предположим, что (а, Ь) nПР#- 0. Тогда для каждого n выполнено условиет. е. существует такое Х Е (а, Ь), что для каждоготуральноечислоnkn Е [1, 2так, чтобы M(Jkn )и I~:-ln Р ==0.D<],дляmin (Ь - Х, Хкоторого-Х Еnнаидется наJ kn . Выберем nа). Тогда I~n+l с J kn с (а, Ь)Гл.7.69.Продолжение меры7.143Так какР(о:)== [0,1] \ G ==2пn u J1:(o:),00n=1 k=1то в силу результата задачим (Р (о: )) ==limn----+оо7.52М (UJJ:: (а )) ==k=1Мо:lim 2n ( J 1( ) ) .n----+ооДокажем по индукции, чтом(При n==торогоn,О и J 11====Jno:1 ())(n+а+l)а2 n (n+а:)(а+1)'[О; 1] утверждение верно. Если оно верно для некотом (J~+ 1 ( 0:)) == -21 (1 -1(n+а+l)2) М (J 1(о: )) ==_ ((n+lа+l)2- 1 2)(n+а+l)а _(n+а+2)аnn2 +l(n + а)(n + а + 1)2(а + 1)2 +l(n + 1 + а)(а + 1) .Подставляя выражение дЛЯчто м(Р(о:)) == ~1.а+7. 70.M(J1(0:)) в формулу для м(Р(о:)), получим,DВозьмём такие положительные числа {а n }, что00Lаn== 1 - 0:.n=1Из середины отрезка [О; 1] удалим интервал длины аl.
Затем из серединыкаждогоЕсли послеиз(n - 1)оставшихсяотрезковудалиминтервалдлиныа22.шага у нас осталось множество рn - 1 , состоящее изn-ln2-1равных отрезков суммарной меры 1 -серединыкаждогоизнихинтервалдлиныLak> аn ,k=1n2а - l . Вnто удалим изпересечениивсехмножеств рn получим искомое Ра. Тот факт, что любое Ра нигде неплотно на [О, 1], доказывается так же, как в задаче 7.68.D7.71. Пусть м(А) == а > о.
Предположим, что А Е 9J1 J . Тогда(см. задачу 7.22) MJ(A) == а и (см. задачу 7.19) В == [0,1] \ А Е 9J1 J .НО В всюду плотное множество на [О, 1]. Отсюда следует, чтоГл.144J-Lj(В)J-LJ(B) ==нии задачиПродолжение меры7.(доказательство аналогично приведённому в реше== 17.9). Поэтому1 == J-LJ([O, 1]) == J-LJ(A)+ J-LJ(B) == а + 1,и мы пришли к противоречию.
Это означает, что А ~7.72.ПустьA(N) =={х Е [0,1):приx nk == ak9J1J.Dk == 1,2, ... ,N}.Заметим, что А( 1) ::J А(2) ::J ... иn A(N).00А==N=lПоэтомум(А)Но== lim J-L(A(N)).ясно,что1== "2 J-L(A(N))дЛЯкаждогоСледовательно,N.задачи7.62 мера множества А равна нулю.7.73. Поскольку множество А открыто,+J-L(A(NN----+ooвсилу1))) ==результатаDто А Е9J1.Пусть00G == [0,1] \ р ==U (ai, bi ).i=lЕсли Ь N+ 0.05)-аn< 0.1,0.05, а n + 0.05) u (Ь n - 0.05, Ь N +а n ~ 0.1, то (а n , Ь n ) \ А == [а n + 0.05, Ь N - 0.05].то (а n , Ь n ) с (а nс А. Если Ь N--Отсюда следует, что(0,1)\А===[~+ 0.05, ~ 50.05]3u [~+ 0.05, ~- 0.05]23u [~+ 0.05, ~67и м( (О, 1) \ А) == 9" - 10 == 90· Поэтому м(А) == 90·7.74. Если A j == {х == (Хl,Х2,... ,j},...
)Е [0,1): Xk- 0.05]D-1- 6приk == 1,2, ...то А 1 ::J А 2 ::J ... и00Поэтому А Е 9J1 и, так как м(АН1)= 190M(A j)при всех j, тоJ-L (А) == .1im J-L (А j) == .1im (190) j ==J----+OOJ----+OOО.D7.75.Предположим, что множествоFне является нигде не плотным. Тогда существует такой невырожденный отрезок [а, Ь] Свсюду плотно на [а, Ь]. Так какFIRn,чтоFзамкнуто, то [а, Ь] С Р. ПоэтомуГл.м(р) ~ м([а, Ь])>145FDПусть Рl/2 -енное в задачеПродолжение мерыо. Мы пришли к противоречию, следовательно,нигде не плотно.7.76.7.нигде не плотное множество мерыа А с Рl/2 -7.70,1/2,постромножество всех граничных точекдополнительных к Рl/2 интервалов.
Так как Рl/2 нигде не плотно, тои А нигде не плотно. Так как А счётно, то м(А)7.77.If(xЕслиt>==Рl/2.Dо, то+ t) - f(x)1 == IM(A n [о, х + t]) -м(Аn [о, x])1 ====Отсюда следует непрерывность функции7.78.о. Но А==Вначале (см.
задачуплотное множество Р1 на[0,1]7.70)f.м(Аn [х, х + t])~t.Dмы построим замкнутое нигде нес м(р1 )а1== "2 < "2.Дополнением к немубудет открытое множество00G1 == (0,1) \ Р1 ==U (Сl,n, d 1,n),n=1и, поскольку м( G 1 )>а/2, то можно построить замкнутые нигде неDплотные множества Г2,n СЕN.(Сl,n, d)1,n(D) ==С М Г2,na(d 1,n-1Докажем, что множествозамкнуто и нигде не плотно.Действительно,Сl,n)4м(С )если а-дляnЕпредельная00точка множестваU р2 ,n,то она либо лежит в некотором интервалеn=1(Сl,nо, d 1,no) И является предельной точкой множества р2 ,nо' либо лежитв Р1 == [о; 1] \ G 1. В обоих случаях а Е р2 .
Множество Р2 нигде неплотно; это следует из того, что для любого интервалаинтервал J с 1n (Сl,nо, d 1,no)1найдётсяпри некотором по, а р2 ,nо нигде не плотнона (Сl,nо, d 1,no). Пусть теперь00G 2 == (о, 1) \ Р2 ==U (С2,n, d 2,n).n=1Заметим, чтоfJ(F2 ) =ас (1-±) и М(С2 )=1-ас (1-±) > ~.Гл.146Продолжение меры7.Предположим теперь, что мы уже определили замкнутые нигде неплотные множества F1 С...с Fz-l С p,(Fi ) = а (1-21~1 ) для i ~ l -1,и пусть00U (Cz-l,n, dz- 1,n).GZ- 1 == (О, 1) \ FZ- 1 ==n=1Тогда p,(G1-1) =1-а (1-21~1) > 2~1' Построим замкнутые нигде неrDZ,nС(CZ-l n, d[-1 n )плотные множества,(D)a(d z- 1,n - CZ-l,n)rZn==~,2 J-L(G Z- 1 )С,11.Z•Аналогично предыдущим рассуждениям доказывается, что множествозамкнуто и нигде не плотно. При этом p,(Fl)а (1-=;1) .
Наконец,пусть00А==U Fj .j=1Покажем, что множество А удовлетворяет условиям задачи. Имеемм(А)== .1im J-L(Fj ) ==а. Рассмотрим невырожденный отрезок [а, Ь] СJ ---+00С [О, 1].Таки mах( dk,nnкак- Ck,n)множествоFk-----+ О при-----+ 00, то существуют такие числаkнигдеи ПО, что 10 = (Cko,no' dko,no) С (а, Ь)неплотнодляаи1 - 2ko (1 _ ас)каждого>kkoО. ТогдаF ko + 1,no С [а, Ь], поэтому м(А n [а, Ь]) ~ J-L(Fkо + 1 ,nо) > о. с другой стороны, м(А n [а, Ь]) ~ Ь - а - м(([О, 1] \ А) n 10) и в силу очевидногонеравенства м( Gk) ~ 1 - а при всех k мы получаем, чтом(([О, 1] \ А) n 10) ~ м(1о ) (1 - 2 о +1 J-Lа (G-kk o)k2 о+2~ м(1о )аJ-L (G k o+ 1)(1 -k~- ... )а2 0(1 -а))> о.D7.79.
Пусть {рn } ~=1-последовательность замкнутых множеств,построенная в решении задачиn-1- k.7.78для аПустьu00Аn==i=1P(Pп)~1== "2.Тогда рnn Fk ==е; приГл.7.Продолжение меры147N, где Рn - n-е простое число (Pl == 2). Очевидно, что А n nn A k == е; при n -1- k. Рассмотрим невырожденный отрезок [а, Ь] С [О, 1].дляnЕЕсли00Gk == (0,1) \ Fk ==U (Ck,r, dk,r),r=lто (см. решение задачи7.78)существует такое К, что для каждогоk ~ К существует r == r(k), для которого (Ck,r, dk,r) С [а, Ь]. ДЛЯкаждого n найдём такое l, что p~ > К. Затем найдём такое ro, что(Cp~,ro' dp~,ro) с [а, Ь].
Тогда (см. решение задачи 7.78)М (А nn [а, Ь])~ м (Pp~n (Cp~, ro ' dp~, ro )) > О.D7.80.Построим вначале (см. задачуное множество7.70)замкнутое нигде не плот-1F 1 С [0,1] с M(F1 ) == 2. Пусть00G 1 == (0,1) \ F 1 ==U (Cl,r, d2,r).r=lЗатем для каждогоr построим нигде не плотное замкнутое множество1F 2,r С (Cl,r, d2,r) С M(F2,r) == 2 M((Cl,r, d2,r)). Аналогично рассуждениямиз решения задачи7.78показывается, что множествозамкнуто и нигде не плотно. Пусть теперь00G 2 == (0,1) \ Р2 ==U (C2,r, d2,r).r=lТак как множествопусто, то М(Р2 )1== 1 - 4".Предположим, что мы уже определили за-мкнутые нигде не плотные множества F 1 С ... сприi~l - 1,и пусть00GZ- 1 == (0,1) \ FZ- 1 ==U (CZ-l,r, dZ-1,r).r=l1FZ- 1 С M(Fi ) == 1 - 2iГл.148Продолжение меры7.Построим замкнутые нигде не плотные множества FZ,r с (CZ-l,r,( D) == (dz- 1'n -2С М r [,nсяCZ-ln) Т ак'.DZ,rкак все rdZ-1,r)лежат на непересекающих-интервалах, то множествозамкнуто и нигде не плотно.
При этомА1== Р1M(Fz) == 1 -И1---т. Наконец, пусть2n-lАn== F n\U Fj .j=1Ясно, что все множества А n нигде не плотны и А nn A k ==0 при n#- k.При этомD7.81.что М(РдваСуществуетn J) >замкнутыйневырожденныйотрезокJ,о. На первом шаге, используя задачу 7.77, выберемневырожденныхИ М(Ртакойотрезкаn Jk) > О для k == 0,1.J o, J 1СдЛЯJ,которыхПредположим теперь, что наJ o n J 1 == 0(n -1)-м шаге мы выбрали такие невырожденные отрезки Ji1, ... ,in-l' где ik Е {О, 1},что Ji1, ... ,in-lполнено iZгдана#-n-мn Jkl, ... ,kn-l ==kz, и М(Р nшагедля0, если для некоторогоJi1, ...
,in-l)каждыхi 1,>l Е [1, n - 1] выО для всех этих отрезков. То-... , i n - 1мывыберемдваневы-рожденных отрезка Ji1, ... ,in-l,0, J i1 , ... ,i n -l,1 С Ji1, ... ,in-l' для которыхJi1, ... ,in-l,0n J i1 , ... ,in -l,1 ==0 И М(Рперь для каждого набора У==n Ji1, ... ,in-l,k) > О(Уl, У2, ... ),при k == О, 1. Тегде Yj Е {О, 1}, определиммножествоn00Еу ==J Y1 ,Y2, ... ,Yn·n=1#-#-nЗаметим, что Еу0 для каждого У и Еу E z == 0 при Уz. Так какмножество F замкнуто и FJ Y1 ,Y2, ... ,Yn0 для любых Уl, ... ,Уn, то поn#-принципу вложенных отрезков существует точка Х у Еобразом,FсIRn,FFn Еу .Такимсодержит подмножество мощности континуума.
Но так както мощностьFне превосходит мощности континуума.7.82. Выберем замкнутое F с А с М(Р)существует в силу результата задачи 7.40) ичу 7.81.D>DО (такое множествоприменим к нему задаГл.Продолжение меры7.7.83. Пусть f(x) == м(Аиn[-х, х]n)>при Хнеубывающая функция на [О,f(x) -149о. ТогдаЗаметим, что(0).f(O) ==при t >ООвыполнена оценкаIf(x + t) - f(x) I ~ м([ -х - t, х + t]n \ [-х, х]n) ~ 2n(2х + 2t)n-l tприt0+. ПоэтомугдеA k == А----+f (х)n [-k, k]nОЕ С ([О, 00 )).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
