1610912311-3cbc5b34357e1bf98e493aa337af68a6 (824698), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Далее, так какпричто (см. задачу 7.51) а----+==k Е N и А 1 С А2 С... , то мы получаем,м(А)Отсюда следует, что== lim M(A k ).k-HX)lim f(x) == а. Следовательно, существует такое число у Е [О, (0), чтох----+ооf(y) ==ь. Тогда А ьАп [_у,у]n есть множество меры ь.==Пусть7.84.D[1- ,1- + ( а]A=U1)'n=2n00пппЯсно, что А Е~2, что -1<хПОм(Ап [О,х]) =1~11 . Имеемnо-м ([~, ~ + k(k~ 1)]) +fk=no+l( а]1)1+м ([ -,-+ПоПагде О ~ fЗnо ~Пусть теперь х Е (О, 1].
Тогда существует такое ПО ~9J1.по nо-(аПО nо-П[О,х])=L00k=nо+м(Ап [О,х]) == ~х-1ПО<х~1nо-а(nо - 1)поаа1)+i1no =-+fЗnо'ПО-1). Поэтомуf(x)и, так как1k(k+ JЗnопахх1 ' то~f ()х~ аОтсюда следует, что существует+ fЗnо ПО~ аlim f(x) == а.х----+о++аnо-1.D7.85. Заметим вначале, что если множество А из R( В), то утверждениевыполнено.м*(А L Ас)<Пусть теперь с+ а) LОи Ас ЕR(S)таково,что+ а, принадлежащее R(S), удо(Ас + а)) == м*(А L Ас) < с.
Поэтомус. Тогда множество Асвлетворяет условию м*((А>Гл.150+аАПродолжение мерыЕ 9]1. Более того, так как m(В)+ а) ==то М (Ам * (А7.86. Пусть A k7.85 A k + а Е 9]1чи7.m(В==+ а) == м * (А) == м (А) .== А n [-k, k]n при k Едля каждогоk.+ а)для каждого В Е В,DN. В силу результата задаОтсюда следует, что00А+ а == U (A k + а)Е 9]1.k=lПри этом (см. задачум(А+ а) ==7.51),lim M(A kk ---+ 00+ а) == klimM(A k ) == м(А).---+00D7.87. Пусть Q[O; 1] == {r n} ~= 1 - последовательность всех рациональных чисел из отрезка [0,1].
Обозначим А n == А + r n . Тогда (см. задачу 7.85) все множества А n из 9]1 и м(А n ) == м(А) == а > о. Заметим, чтоА n с [0,2]. Пусть А n n A k == 0 при n -1- k. Тогда2~ М CQ\ Аn) = ~\ м(Аn ) =00.Из полученного противоречия следует, что существуют такие nn A k -1- 0, т. е. для некоторых Х, у Е А== у + rk. Это эквивалентно утверждению-1- k,что А nвыполнено равенствоХзадачи.+rnПредположим, что Х -7.88.у ЕQдля любых Х, у Е А. Тогда, взявпроизвольное ХО Е А, получим, что А сзадач 7.64 и 7.86 мера множества==DQM(Q + хо)О, что противоречит условиям задачи.+ ХО.НО в силу результатаравна нулю.
Тогда и м(А)D7.89. Определим на [О, 1] отношение эквивалентности: хх-у ЕQ.==rvу, еслиНетрудно видеть, что свойства рефлексивности, симметричности и транзитивности действительно выполнены, поэтомугде На-соответствующие классы эквивалентности. Используя аксиому выбора, возьмём по одному элементу из каждого класса На;получим множество Е{Ха}аЕU. Обозначим через {rn}~=o, гдеro == О, множество всех рациональных чисел из отрезка [-1, 1], и пустьЕn == Е + r n , n == О, 1,2, ...
Пусть для некоторых n -1- k выполненоусловие Еn n Ek -1- 0. Тогда существует число а, которое имеет двапредставления: Ха + r n == а == Х(3 + rk. Поэтому Ха - Х(3 Е Q, но так==как Е не содержит двух элементов из одногоИrnEk==rk, т. е. nn Еn ==0при== k. Мы пришли кn -1- k. Далее, длякласса,то Ха==Х(3противоречию, следовательно,каждого Х Е [О, 1] существуетГл.такое XwЕнекоторомЕ, что Хn.7.Продолжение мерыIx - xwlТак какxw .rv151~1, то х -Xw==rnприТогда х Е Еn . Таким образом,00U Еnс[0,1]с[-1,2].n=ОПредположим, что Ео Е9J1 и м(Ео ) == а. Тогда (см.
задачу 7.85) всемножества Еn измеримы по Лебегу и м(Еn ) == а. Если а == О, то001 ==м([О,1])~LО==О,n=Очто невозможно. Если а> О,то0000==Lа ~ м([-1,2])== 3,n=ОимывновьЛебегу.пришликпротиворечию.ПоэтомуЕонеизмеримопоD7.90. Проведём доказательство по той же схеме, что и в задаче 7.89. Без ограничения общности будем считать, что А с [О, 1]n.Определим на А отношение эквивалентности: хпри~1j~n.У, если Xj - Yj ЕrvQСвойства рефлексивности, симметричности и транзитивностивыполнены,где Наклассы эквивалентности. При меняя аксиому выбора, возьмёмпоЕ-поэтомуодному элементу из==каждогоклассаНаИполучиммножество{Ха}аЕU.
Обозначим теперь через {r(k)}~=o, где r(O)точки с рациональными координатами из промежутка== О, все[-1, 1]n, и пусть+ r(k), k == 0,1,2, ... Если для некоторых j -1- k выполненоусловие E(j) n E(k) -1- 0, то существует вектор а, который имеет двапредставления: Ха + r(j) == а == Х(3 + r(k). Тогда Ха - Х(3 - вектор, всеEk ==Екоординаты которого рациональны. Так как Е не содержит двух эквивалентных элементов, то Ха==противоречие доказывает, чтоХ(3 Иr(j) == r(k),E(k) n E(j) == 0Х Е А существует такое X w Е Е, что ХХ ЕEk.rvxw .00U Ekk=OСприj == k.j -1- k.Пусть Х - X wПоэтомуА ст. е.[-1,2]n.ПолученноеДля любого== r(k).ТогдаГл.152Продолжение меры7.Предположим, что ЕО Е 9]1 и м(Ео )множества==а.
Тогда (см. задачу7.85) всеEk из 9]1 и M(Ek) == а. Если а == о, то00о< м(А)~Lоо,==k=Oчто невозможно. Если а> о,то0000==L== 3n,а ~ м([-1,2]n)k=Oи мы вновь пришли к противоречию. Поэтому ЕО ~ 9]1. Заметим, чтов множестве ЕО нет измеримых подмножеств положительной меры, таккак это приводит к тому же противоречию, что и в случае аДанным фактом мы воспользуемся ниже.>о.D7.91. При мер тот же, что и в задаче 7.29.
D7.92. Пусть А 1 - неизмеримое множество, построенное в решениизадачи 7.89 и А 2 == [0,1] \ А 1 . Тогда (см. задачу 7.18) множество А 2также неизмеримо относительно классической меры Лебега на [о, 1],но А 1 uA 2 == [0,1] Е 9]1. D7.93. Пусть А 1 - неизмеримое множество, построенное в решениизадачи 7.89 и А 2 == [о, 1] \ А 1 • Тогда, как отмечено в указанном решении, в А 1 нет измеримых подмножеств положительной меры, тем болеезамкнутых. Поэтому Мl,*(А 1 )чи==О и, так как А 1 неизмеримо (см. зада7.39 и 7.42), то м*(А 1 ) == Mi(A 1 ) == ам*(А 2 )== Mi(A 2 ) == 1 -Енеизмеримое> о.Также (см.
задачуМl,*(А 1 )7.41)== 1.ТогдаD7.94. Пусть=={(х, х): х Е Е}.равныЕи,-Тогдаобеследовательно,множествопроекцииАнеизмеримы.нанаВ[о, 1]икоординатныетожевремяА==осидлякаждого n множество А может быть покрыто объединением квадратов{ [k -n1,k] 2 } nn.Сумма их мер равна ~. Поэтому множествоnk=lА измеримо относительно(см. задачу 7.17) и его мера7.95.Пусть(см. задачуЕ-классической меры Лебега наравна нулю.неизмеримое[о, 1]2Dподмножествоквадрата[3'1 32] 27.90) и А == Е u ({о} х [0,1]) u ([0,1] х {о}). НетрудноГл.7.Продолжение меры153видеть, что А неизмеримо относительно классической меры Лебегана [О, 1]2, но обе его проекции равны [О, 1].7.96.
Пусть51 и 52 -R(5 1 ),<что м(А L А l )ствует системы{Ci }:1полукольца всех промежутков из }R 1 И }R2>соответственно и дано со. Найдём такие множества А lс и м(В L В l )иD{D i }:1<с. Это означает, что суще-элементов 51, для которых00ALA lСU Ci ,и В l из00вLB li=1СU Dii=1и0000L m(Ci ) <i=1Заметим,чтои {[а, Ь] хDi }:1с,L m(Di ) < с.i=1А l Х В l Е R(52 ),асистемы{Ci х [а, Ь]}:1состоят из элементов 52. Кроме того,и00L(m2(Ciх [а, Ь])+ m2([а, Ь]хDi )) < 2с(Ь -а).i=1Поэтому множество А х В измеримо относительно классической мерыЛебега на [а, ь]2.D7.97.
Из задачи 7.96 следует, что множество (А х В)меримо относительно классической меры Лебега на }R2издля каждого k.n [-k, k]2Поэтому множество А х В измеримо относительно классической мерыЛебега на }R2.D7.98. Пусть А - неизмеримое подмножество отрезка [О; 1] (см. задачу 7.89), а В == 0. Тогда А х В == 0 - измеримое. Более того, в качестве В можно взять произвольное множество В С }R, мера которогоравна нулю.D7.99. Заметим, что А == А lи\ А 2 , гдеГл.154Продолжение меры7.LПоэтому м(А)7.100.1г== 6.M({r n }x[O,l])==O.DЗаметим вначале, чтоnAnk Е 9Л.k=1Далее,Отсюда следует, чтоСледовательно,D7.101.Пусть A i=[0,1] \[i ~ 1 ,~]ДЛЯ21,2, ...
, n.Тогдаn-lпри всех i, поэтомуnM(A i ) == - -nLM(A i ) == n - 1.i=1С другой стороны,nAn==i0.i=1D7.102.и m(аА)хv(A).==Заметим, что если множество А принадлежит В, то аА ЕSа· m(А). Далее, если А ЕДля данного Е>ОвыберемR(S), то аА Е R(S) и v(aA) == а хсВ Е R(S) так, чтобы м(А L В) < -.аТогда существует такая система множеств00и{Ci }:1с В, чтоГл.155Продолжение меры7.Но тогда система {aCi}~1 элементов S такова, что00(аА)L (аВ) с00U aCiLиi=1Поэтому аА Е==м*(аА)==9J1.м(А).==7.103. Ясно, что А измеримо.
Пусть дано с== min f(x)XE~kприi=1Аналогичные рассуждения показывают, что м( аА)ам*(А)< Хl < ... < Х n ==m(aCi ) < с.==Dзамкнутое множество на JR2, поэтому оно> о.Найдём такое разбиение отрезка аЬ, что если д.k== [Xk-l, Xk], M k ==тахXE~kf(x)==иха<mk ==тоk == 1, ... ,n,nL (Mk -mk)м(д.k)< с.k=1Определим два множества изR( В):nАм==U (д.knХ [о, Mk])АтиU (д.k==k=1Х [о, mk]).k=1Тогда А т с А с А м , поэтому м(А т ) ~ м(А) ~ м(А м ). В то же времяьм(А т ):(f ЛХ) dx :( м(А м )аи м(А м ) - м(А т )< с.Отсюда следует, чтоьм(А) -Jf(x) dx<Е.аНо с>Опроизвольно.7.104.DДля невырожденного отрезка1обозначим через51проме>м*(Е),жуток с той же серединой и длины 5м(I).
Пусть вначалеаlм(l(х))== sup1 ( х ) Е ТоЕсли аl==00,== sup t x .1 ( х ) Е ТОто можно выбрать отрезок 11 Е То с м(1 1 )и утверждение доказано. Пусть аl11 Е ТО, что м(1 1 )1> "2 аl·Т1<00. Выберем тогда такой отрезокОпределим множество== {1Е То: 1n 11 ==0}.Гл.1567.Продолжение мерыПредположим, что уже выбраны системы То ~ Т1 ~ ••• ~ Тт , определены числаajIETJ дляj == 1, ...... ,1т>О1,т и выбраны такие непересекающиеся отрезкиЕ то, что fJ(Ij) > ~ aj приложим а т +lслучае,м(1)== sup==== ...
==а т +2j = 1, ... , m.Если Тт11,12, ...= 10,то поо и завершим построение. В противномпустьа т +l== supм(1)IETrпи мы выберем такой отрезок lт + 1 Е Тт , что fJ(Im+l) > ~ а т +l. Определим системуQ == {lk}Продолжая этот процесс, мы построим системунепересекающихся интервалов, которая конечна или счётна. По построению ak невозрастают припри всех ~,kО, дЛЯ которого ai ~ стопри достаточно большихдостаточно большихk).> arприk==О приr, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
