1610912311-3cbc5b34357e1bf98e493aa337af68a6 (824698), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Так как множество Еу(С) открыто для каж-УЕ(О,l)дого у Е (0,1), то множество Е(с) также открыто и, следовательно,измеримо. Поэтому ср(х)-измеримая функция. Аналогично, ф(х)измеримая функция на (0,1). Отсюда следует, что функции9 (х) == limn----+ооsu р1УЕ(О,n)измеримы на (0,1).Df (х, у )иh (х) == liminfn----+оо уЕ (о, ~ )f (х, у )-Гл.8.48.Доопределимприf(x) == f(a)Р(х, у)[а-функциюf(x) наf(x) == f(b)175всювещественнуюось:< а ипри х > ь. Положимf(х) . Эта функция непрерывна на прямоугольникехf(x + h~ -=Измеримые функции8.1,Ь+ 1] х [-1,1].
Тогда, при меняя задачу 8.47 с линейной заменойпеременных, получим, что функцияl~(x)lim f(х=+ h) - f(x)lim Р(х, h)=hh---+O+h---+O+измерима относительно классической меры Лебега на (а, Ь). Аналогично, функции[~(x)f(х + h~ - f(x)lim=lim=h---+O+f-'- () ==хh---+O+-1·f (х + h) - f (х )1тf' () ==иhh---+O-Р(х, h)--х1·1т f (хh---+O-+ h) - f (х )hизмеримы относительно классической меры Лебега на (а, Ь). Заметим,Ачто=={х Е-,-,,-,,(0,1): f +(х) == f _(х) == f (х) == f _ (х) и f +(х) конечна }.-+-Отсюда следует, что множество А измеримо.
Так какна А, то функцияf'(x)измерима на А (см. задачи 8.3 и 8.14).Df(x) на всю вещественную ось:f(x) == f(a) при х < а и f(x) == f(b) при х > Ь. ДЛЯ каждого фиксированного с Е IR рассмотрим функцию у(х) == f(x) - сх. Заметим, чтодля любого натурального n и для каждого t Е IR множество8.49.Доопределим-,f'(x) == f +(х)функцию{ ХЕ(а,ь):Y(X+h»t}lSUPhЕ(О,n)п(о,Ь-х)открыто. Поэтому функцииgn(X) ==у(хSUp+ h)измеримыhE(O,~ )П(О,Ь-х)на (а, Ь) дЛЯnУn(Х)ЕN. Следовательно, функции== gn(x) -у(х)==(у(хsup+ h) -у(х))hE(O,~ )П(О,Ь-х)при n ЕNтакже измеримы.
А поэтому измеримо множество{ Х Е (а,Ь):suphE(O,~ )П(О,Ь-х)f(x+h~ -f(x) >с} ==Гл.176х Е (а, Ь):= {8.Измеримые функцииsuphE(O,~ )П(О,Ь-х)у(х + h)h - у(х) > о}===={х Е (а, Ь): уn(х)> о}.Таким образом, мы доказали, что функцииfn(x) ==f(xSUp- f(x)h1hЕ(О,n)п(О,Ь-Х)измеримы для+ h)n Е N. Отсюда вытекает, что функцияf-'+ (х ) ---1·f(x1тh ---+ О ++ h)h - f(x) -- 1·1т f n (Х )n ---+ сх)также измерима. Аналогично, функцияf' (х) ==-+измерима на (а, Ь).8.50.lim f (х + h) - f (х )hh---+O+DВ силу результата задачи-' ( ) f+ х --1· f(x1тh---+O++ h)h- f(x)8.49функции' (х ) == 1·1т_+f'J~ (х) = lim f(x + h) - лх)+ h)h - f(x)h---+O+и [~(x) = lim f(x + h~ - лх)hh---+O_f(xh---+O_измеримы относительно классической меры Лебега на (а, Ь). Заметим,чтоПоэтому множество А измеримоf'(x) ==-,f +(х)на А, то функция(см.f'(x)задачи8.3 и 8.14).
Так какизмерима на А.D8.51. Пусть {rk} ~= 1 - все рациональные числа из IR и A k ==== f-l((rk' +00]) Е 9J1 для каждого k Е N. В силу результата задачи 7.65для каждого k существует представление A k == Bk U Dk, где Bk Е ВиJ-L(D k ) ==о. Аналогично, если A~B~ Е В, и J-L(D~)====В\ A k,то A~о. ТеперьHk == DkU D~== В \ (BkU B~) Е В==B~ U D~, гдеГл.ио приM(Hk ) ==kИзмеримые функции8.177Е N. Пусть00нU Hk·==k=1Заметим, что Н -также борелевское множество и М(Н)==о. Определим функциюесли х Е Н,Ясно, чтоэквивалентнаg(x)9-1{Bk\ Н,В uНkпри каждом k, поэтому g-I((rk'вольного с ЕIRна В.
Мы получаем, чтоf(x)((rk, +00]) ==иначе.+00])если,rk ~ О,rk < ОеслиЕ В. Следовательно, для произмы получили, что множествоUg-I((C, +00]) ==g-I((rk' +00])k:rk >Стакже является борелевским.8 . 52 .Для+ (Ь -2na)k)заданногоприD...... 1n.:;::;пустьk -_ 1,2, ... ,2 n -1лtik,n-__и ~2п,n -[а[+ (Ь -а+a)(k2n - 1) ,(Ь - а)2(2n-nа+1) ,ь] .Обозначимgk,n(Y)={~'если существует такое х Е ~k,n, что-f(x) ==у,иначеи2gn(y) ==пLgk,n(y)k=1для всехn.Так какf(x)Е С([а, Ь]), то каждая функцияgk,n(y) -характеристическая функция некоторого промежутка (замкнутого илиполуоткрытого), поэтому функциичтоgn (у)-----+при n -----+g(y)00gn(y)измеримы. Докажем теперь,для каждого у Е IR, тогда утверждениеg(y) == l < 00, то существуетXj 1, где {x r }~=1 - множество всехбудет сразу следовать из задачи 8.42.
Еслитакое N, что 2-Nкорней уравнения< miэ;з.l~k,J~lf(x) ==IXk -n>Nу. Тогда припромежутках ~k,n, и поэтомуgn (у) == l.показывается, чтопри n -----+gn (у)-----+00все X r лежат в разныхЕсли g(y) == 00, то аналогично00.DГл.1788.53.==Измеримые функции8.Так как (см. задачу 7.74) м( {Х Е [О,О, то функцияконечна п.в. наf(x)fn(x){~'=если-при всех1) : Xi -1- 6i}) ==[0,1).
Далее, пустьXj -1- 6при 1 ~j ~ n,иначедля n Е N. Ясно, что каждая функцияfn(x)измерима и00Lf(x) == 1 +fn(x).n=1Поэтому утверждение следует из задачи8.54.Для каждого Х Едвоичное разложение без18.42.D[0,1) обозначим через (Хl,...Xk, ... )егов периоде. Введём вспомогательное отображение g(x) == (Уl, ... , Уn), где Yj == (Xj, Xj+n, Xj+2n, ... ) для j == 1, ... , nпри Х < 1 и g(l) == (1, ... ,1). Ясно, что для каждого z == (ZI, ... , zn) ЕЕ [О,1]n существует такое Х == x(z) Е [0,1], что g(x) == z. Предположим,что х(l) -1- х(2), но g(x(l)) == g(x(2)). Тогда хотя бы одна из координатточки g(x) двоично-рациональна, т. е.
для некоторых j и ro выполнены равенства Х( 1)ron+j == 1, Х( 1)rn+j == О при r > ro, x(2)ron+j == Ои x(2)rn+j == 1 при r > ro. ОбозначимEk,j,o == {Х Е [0,1): xrn+j == О для r > k}иEk,j,1 ==гдеj == 1, ... ,nиkЕ{Х Е [0,1):N.xrn+j == 1 для r > k},Пусть тогда00Е==n1U U U Ek,j,i.k=1 j=1 i=Oв силу результата задачи 7.74 мера множествадля любыхиg(E)k, jиi.Поэтому м(Е)==M(Ek,j,i)равна нулюо. Нетрудно видеть, что и Е,имеют мощность континуума. Поэтому существует взаимнооднозначное соответствие ер между множествами Е иg(E).Заметимтакже, что9 есть взаимно однозначное соответствие между [О, 1] \ Еи [О, 1]n \ g(E).
Далее, 9 отображает любой двоичный интервал видаk- 1 k[~, 2 nТ ) с r ~ 1 и 1 ~ k ~ 2nr на n-мерный двоичный интер-вал с ребром21r ,Т. е. той же меры. Поэтому для любого А с [О, 1]выполнено равенство Mi (А)==M~ (g(A)) (в частности, МN (g(E))==О).Гл.Следовательно, А ЕА Е 9J11, то Мl(А)8.Измеримые функции9J1 1 тогда и только тогда, когда g(A) Е 9J1n , и если== fLn(g(A)).Пусть теперьf(x) == {СР(Х),g(x),Тогдаf(x)179если х Е Е,если х Е [0,1] \Е.есть взаимно однозначное соответствие между [0,1] и [О,1]n.Более того, так как ср( х) есть отображение множеств нулевой меры, тоf(x)g(x)сохраняет класс измеримых множеств и значения меры, посколькуобладает этими свойствами.DГлава9СХОДИМОСТЬ ПО МЕРЕ ИПОЧТИВСЮДУМы будем рассматривать пространство с мерой (Х, М, м) (конечной или а-конечной) и предполагать, что все функции измеримы намножестве А Е М и конечны в каждой точке.
Если мера М полна,то достаточно считать, что функция конечна почти всюду на А. Приэтомнесущественно,какоперациинадфункциямиопределенынамножестве, где хотя бы одна из них бесконечна.Пусть А -множество из М, а {fn(x)}~=l иконечные функции на А. Скажем, что(что последовательность функцийна А), если для любого Е>Оlim М ( {х Е А:n----+ооf n (х) ::::} f (х){fn}м{ х Е А:К числуtfn (х)-f+измеримыена А присходится кf(x)n-----+ 00по меревыполнено условие.fI n ( х)- f (х ) I >Напомним, что последовательность функцийщейся к функцииf(x) -Е})=={fn}о.называется сходяf(x) почти всюду (П.В.) на множествеf(x)} == о. Если последовательность {t n }А, еслисходитсяи при этом является монотонно неубывающей или монотонноневозрастающей, то будут употребляться обозначенияtnrtиtn 1 tсоответственно.ЗАДАЧИ9.1.
Пусть fn(x) ::::} f(x) и fn(x) ::::} g(x) при n -----+чтоf(x)иg(x)эквивалентны на А.fn(x) ::::} f(x) и gn(x) ::::} g(x) при n -----+ 00 на А. Доказать,что fn(x) + gn(x) ::::} f(x) + g(x) при n -----+ 00 на А.9.3. Пусть fn(x) ::::} f(x) при n -----+ 00 на А и а, Ь Е IR. Доказать, чтоafn(x) + Ь ::::} af(x) + Ь при n -----+ 00 на А.9.4.
Пусть м(А) < 00, функция g(y) непрерывна на открытом множестве G с IR, последовательность fn(x) сходится по мере к f(x) приn -----+ 00 на А и все функции fn и f отображают А в G. Доказать, чтоg(fn)(x) ::::} g(f)(x) при n -----+ 00 на А.9.2.Пусть00 на А. Доказать,Гл.9.Сходимость по мере и почти всюду9.5. Пусть м(А)что f~ (х)<00 и::::} f2 (х) при n9.6. Пусть м(А)на А. Доказать, что9.7. Пусть м(А)<181при n -----+ 00 на А. Доказать,fn(x) ::::} f(x)-----+ 00 на А.fn(x) ::::} f(x) и gn(x) ::::} g(x) при n -----+ 00fn(x) . gn(x) ::::} f(x) . g(x) при n -----+ 00 на А.< 00, fn(x) ::::} f(x) при n -----+ 00 на А, f(x) -1- О00,11на А и fn(x) -1=- О на А при каждом n. Доказать, что fn(x)n -----+=}f(x) при00 на А.Пусть м(А)9.8.на А, причём<f(x) -1-fn(x) ::::} f(x) и gn(x) ::::} g(x) при n -----+ 00на А и все fn(x) -1- О на А. Доказать, что00,Оgn(X) ::::} g(x) при n -----+ 00 на А.fn(x)f(x)9.9.
Построить функции {fn(X)}~=l и функцию f(x), конечныеи измеримые относительно классической меры Лебега на IR, дЛЯ которых f n (х) ::::} f (х) при n -----+ 00 на IR, но f~ (х) -/? f2 (х) при n -----+ 00 на IR.9.10. Построить последовательность {fn(x)}~=l и функцию f(x),конечные иизмеримые относительно классической меры Лебега на(0,00) и положительные на этом луче, для которыхn ----+ 00 на (0,00), но9.11. Построитьf(x),1IR,n ----+ 00 на (О,последовательностьконечныеg(x),меры Лебега нано1f n (х) -=/? Лх) прииизмеримыедЛЯ которыхfn(x)g(x) -/? f(x)g(x)fn (х) ::::} f(x)при n -----+ 00 на(0).{fn (х)} ~=1Иотносительноf n (х) ::::} f (х )прифункцииклассическойпри-----+ 00 наnIR,IR.9.12.
Пусть последовательность {fn(x)}~=l сходится по мере намножестве А. Доказать, что она фундаментальна по мере, т. е. длялюбых Е>ОИr >Осуществует такоеN,что приn, т~выполненоNнеравенством({х Е А:реIfn(x) - fm(x)1 >Е})< [.9.13. Пусть последовательность {fn(x)}~=l фундаментальна по мена множестве А (см. задачу 9.12). Доказать, что существует такаяконечная измеримая функцияна А.f (х)на А, чтоf n (х) ::::} f (х)приn-----+ 009.14. Пусть f(x) и {fn(x)}~=l - конечные измеримые функции намножестве А, а Е~А\Е= Uт=1~=={х Е А:fn(x)-----+f(x)приn-----+ оо}.
Доказать, что1~~n U {ХЕА: 1!k(x)-f(x)1 > т}n=1 k=nUт=1~~n U Fk,m.n=1 k=n9.15. Пусть f(x) и {fn(x)}~=l - конечные измеримые функции намножестве А, где м(А)<00. Доказать, чтоfn(x)-----+f(x)при n -----+ 00Гл.1829.Сходимость по мере и почти всюдуп.в. на А тогда и только тогда, когда для любого Е>О выполненоусловие9.16.
Пусть f(x) и {fn(x)}~=l - конечные измеримые функции намножестве А, где м(А)Доказать, что<00, иfn(x) -----+ f(x)n -----+ 00 на А.приfn(x) ::::} f(x)приn-----+ 00 п.в. на А.9.17. Построить такие функции {fn(x)}~=l и функцию f(x), конечные и измеримые относительно классической меры Лебега на IR,что fn(x) -----+ f(x) при n -----+ 00 для каждого х Е IR, но fn(x) -/? f(x) приn -----+ 00 на IR.9.18.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
