1610912311-3cbc5b34357e1bf98e493aa337af68a6 (824698), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Построить функции {fn(x)}~=l и f(x), конечные и измеримые относительно классической меры Лебега на IR, дЛЯ которыхf n (х) ::::} f (х) при nточке х Е [0,1].-----+ 00 на[О,1],ноf n (х)расходится в каждой9.19. Теорема Ф. Рисса. Пусть f(x) и {fn(x)}~=l измеримые функции на множестве А иf n (х) ::::} f (х)приконечныеn -----+00 на А.Доказать, что существует возрастающая последовательность натураль-ных чисел {nk}~=l' для которойfnk(X)-----+при k -----+f(x)00п.в. на А.9.20. Доказать, что последовательность {sin nх} ~=1 не сходится помере на [О, 7Г].9.21.
Пусть Q[O;l] == {rn}~=l. Доказать, что последовательностьfn(x) ==где n ЕN,{О,если х1vп (х- Т n )'== r n ,если х Е [О,1] \ {r n },сходится по классической мере Лебега на [О,1].9.22. Доказать, что последовательность {fn(X)}~=l' где fn(x) == х n,сходится по классической мере Лебега на [О,1],но не сходится по мерена [0,2].9.23.стыеПусть Q[O;l]== { rn == Рn- }ОО ,qn n=1натуральные числа,{fn(X)}~=l' где fn(x) ==где Рn Иqn -взаимно про-n Е N. Доказать, что последовательностьe-(Pn-qn x )2,сходится по классической мереЛебега на [О, 1].9.24. Доказать, что последовательность {!n (х)} ~= l' определённаяв задаче 9.23, расходится в каждой точке х Е [О, 1].Гл.9.25.Сходимость по мере и почти всюду9.Пустьпоследовательность{fn(x)}~=l сходится по мере к183неотрицательныхна А.
Доказать, чтоf(x)функцийf(x)~ О п.в.на А.9.26.Теорема Егорова. Пусть м(А)<00,иfn(x)-----+f(x)п.в.> О существует такое измеримое< Е и последовательность {fn(x)}на А. Доказать, что для любого Емножество ЕЕ С А, что м(А\ЕЕ)равномерно сходится на ЕЕ.9.27.Построить пример, показывающий, что утверждение теоремыЕгорова не выполняется для классической меры Лебега на9.28.IR.Построить пример, показывающий, что утверждение теоремыЕгорова не выполняется ни для какой а-конечной меры, не являющейсяконечной.f(x) - измеримая неотрицательная функция на А(возможно, f(x) == +00 на некотором множестве).
Доказать, что существует последовательность {!n (х) } ~= 1 измеримых конечных неотрицательных функций на А, дЛЯ которой каждое множество fn(A) конечно,м({х Е А: fn(x) -1- О}) < 00 при каждом n и fn(x) r f(x) при n -----+ 009.29.Пустьдля любого х Е А.9.30. Пусть f(x) - измеримая конечная функция на А. Доказать,что существует последовательность{!n (х) } ~= 1измеримых конечныхфункций на А, дЛЯ которой при любом n множеством({х Е А:fn(x) -1-О})< 00иfn(x)-----+f(x)fn(A)конечно,при n -----+ 00 для каждого х ЕЕ А.9.31.
Теорема Лузина. Пусть n ~ 1, [а, Ь] С IRn, а функция f(x)измерима и конечна п.в. на[а, Ь]относительно классической меры>ОЛебега М. Доказать, что для любого Еg(x) == gE(X)9.32.Е С([а, Ь]), что м( {х Е [а, Ь]:Пусть n ~1,функцияf(x)существует такая функцияf(x) -1- g(x)}) < Е.измерима и конечна п.в. наIRnотносительно классической меры Лебега М. Доказать, что для любогоЕ>ЕIRn: f(x) -1- g(x)}) < Е.9.33. Пусть n ~ 1, [а, Ь]О существует такая функциядля любого Е>Окоторой множествоСЕC(IRn),что м({х Еf(x) на [а, Ь] такова,существует функция g(x) == gE(X) Е С([а, Ь]),{х Е [а, Ь]: f(x) -1- g(x)} измеримо, иIRn,м ({х Е [а, Ь]:где М -g(x) == gE(X)а функциячтодЛЯf(x) -1- g(x)}) < Е,классическая мера Лебега.
Доказать, чтоf(x)измеримаотносительно М и конечна п.в. на [а, Ь].9.34. Пусть n ~ 1, [а, Ь] С IRn и f(x) - функция на [а, Ь], измеримая и конечная п.в. относительно классической меры Лебега на [а, Ь].Гл.1849.Сходимость по мере и почти всюдуДоказать, что существует такая последовательность {fn(x)}~=l непрерывных функций на [а, Ь], что9.35. Пусть f(x) ческоймеры(х - *)f9.36.Лебегаf(x)=}fn(x)конечнаяфункцияприf(x)-----+измеримаянаn -----+00 п.в. на [а, Ь].относительноДоказать,[-1,1].чтоклассиfn(x)при n ----+ 00 на [0,1].Построить конечную измеримую относительно классическойf (х) на [-1, 1], для которой последовательностьf (х - ~)}расходится на множестве положительной мемеры Лебега функцию{gm (х)00тт=1рыАс[О,l].9.37.
Пусть двойная последовательность {!n,k (х) } c;,k= l' последовательность {fn(x)}~=l и функцияприfn,k(X) :::} fn(x)kf(x),определённые на А, таковы, что-----+ 00 на А для каждого n иfn(x) :::} f(x)приn -----+ 00 на А. Доказать, что существует возрастающая последовательность натуральных чисел {kn}~=l' для которой fn,kn(X) :::} f(x) приn -----+ 00 на А.9.38. Пусть двойная последовательность {!n,k (х) } c;,k= l' последовательность {fn(x)}~=l и функцияf(x),определённые на А, таковы, что-----+ fn(x) при k -----+ 00 п.в.
на А для каждого n и fn(x) -----+ f(x)при n -----+ 00 п.в. на А. Доказать, что существует возрастающая последо-fn,k(X)вательность натуральных чиселпри n -----+ 00 п.в. на А.{k n }~= l'для которойf n,k n (х)-----+f (х)9.39. Построить двойную последовательность {!n,k (х) } c;,k= l' последовательность {fn(x)}~=l и функциюмые относительнорыхиfn,k(X)f n (х)-----+-----+f (х)классическоймерыfn(x) при k -----+ 00при n -----+ 00 всюду наЛебегавсюду[О,1],последовательности натуральных чиселf n,knконечные и измериf(x),нана[0,1]1],длядлякотокаждогоnно для любой возрастающей{k n } ~= 1(х) расходится на непустом подмножестве [О,9.40.[О,последовательность1].Построить такой ряд00LPk(X),k=lгде всеPk(X) -существуетполиномы, что для любой функциивозрастающаяпоследовательность{k n } ~= l' для которой функцииknRn(x) ==LPk(x)k=lравномерно сходятся кf (х)приn -----+00 на [О,1].f(x)Е С([О,натуральных1])чиселГл.9.Сходимость по мере и почти всюду1859.41.
Пусть f(x) - измеримая конечная функция на А. Доказать,что существует такая последовательность {!n (х) } ~= 1 измеримых конечных функций на А, что для любого n множество fn(A) не болеечем счётно иf n (х)-----+f (х)при00 равномерно на А.n -----+РЕШЕНИЯ9.1.{х Е А:Для любого Е>ОIf(x) - g(x)1 >И для каждого натуральногоn имеемЕ} СС {х Е А: Ifn(x) - f(x)1 > ~} u {х Е А: Ifn(x) - g(x)1 > ~} .Но мера множеств в правой части этого включения стремится к нулю.Поэтому м({х Е А:{х Е А:If(x) - g(x)1 >If(x) - g(x)1 >о}Е})о. Так как==U{х Е А: If(x) - g(x)1 > ~} ,=k=lтоf(x)9.2.{х Е А:Иэквивалентны на А.g(x)Для любого ЕI(fn(x)>ОDИ для каждогоnимеем+ gn(x)) - (f(x) + g(x))1 > Е}С {х Е А:сIfn(x) - f(x)1 > 2}u {хСЕ А:сIgn(x) - g(x)1 > 2}·Отсюда следует, чтоlim М ({х Е А: I(fn(x)n----+оо+ gn(x)) - (f(x) + g(x))1 > Е}) == о.D9.3.Если алюбого Е{х Е А:>О==о, то утверждение очевидно.
Пусть аИ для каждогоI(afn(x)Тогда дляn имеем+ Ь) - (af(x) + b)1 > Е} ===откуда следует утверждение задачи.9.4.#- о.Пусть даны Е> О И r > о.{х Е А: Ifn(x) -f(x)1 >I:I}'DНайдём такие компакты Кn сIR,что00G==U Кn , причём Кn с Кn + 1при каждом n Е N. ДЛЯ этого заметим,n=1что В силу результата задачи3.10900G ==имеет место представлениеU (а n , Ь n ),n=1Гл.1869.Сходимость по мере и почти всюдугде одно из чисел ak и (или)может быть бесконечным, а объbjединение может быть конечным.
ПоложимJn,k= [а n + ~,Ьnконечных а n и ь n . Если, например, аl конечно, а Ь 1жим==+00, то поло-[а! + ~,k] . Аналогично определим отрезкиJl,k =гих случаяхтак, чтобы были-выполнены условия:==U Jn,k.Jn,kи в друJn,kсJ n ,k+ln00И (а n , ь n )~] для-Теперь можно взять компакты КNk=1Рассмотрим множества Еn== f-С Е2 С ... и==U Jk,n.k=11(Кn ) для n Е N. Ясно, что, Е 1 С00АU Еn ·==n=1Применяя результат задачи7.51, получаем, что существует N, дЛЯ ко-торогоNПусть ррасстояние между компактом К-==U КNи замкнутымn=1множествомF == IR \ G.
В силу результата задачи 3.89 величина рположительна. Определим компактТак как функциятакое д>О,неравенствоприn>Lg(y)равномерно непрерывна на К', то существуетчто для любых z, У Е К'Ig(z) - g(y)1 <приIz - yl <д выполненос. Далее, найдём такое натуральноеL,чтовыполнено неравенством(В n ){J({х Е А: Ifn(x) - f(x)1 ~ min(~,J)}) <~.n > L выполнена оценка М(В U В n ) < {' и если х Е А \ (В UU В n ), то f(x) Е К С К', fn(x) Е К' и Ifn(x) - f(x)1 < д, откуда следует, что Ig(fn(x)) - g(f(x))1 < с. Это означает, что g(fn)(x) =:} g(f)(x)Тогда припри n -----+ 00 на А.9.5.и g(y)==9.6.(fnDDУтверждениеу2.следуетиззадачи9.4,есливзятьG== IRDУтверждение следует из задач+ gn)2 == f~ + 2fngn + g~и9.2, 9.3, 9.5, а также тождеств(!+ g)2 ==f2+ 2fg + g2.Гл.9.Сходимость по мере и почти всюду1879.7.
Утверждение следует из задачи 9.4, если взять G == IR \ {О}и g(y) ==!.DуУтверждение вытекает из задач9.8.9.9. Пусть fn(x) == хf(x)при n -----+ 00 на+ -n1при х ЕIR9.7ииЕn9.6.N.DЯсно, чтоfn(x) ::::}хболее того, имеет место равномерная сходи-IR,мость. В то же времяприn -----+00 наIR.D19.10. Пусть f(x) == - при ххпри n ЕN.Ясно, что>Оиесли х Е (О,n),если х Е [n,(0),при n -----+ 00 на (О,fn(x) ::::} f(x)11хf(x)fn(x)2(0).В то же времяn2-----==-~при х ~n,т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
