1610912311-3cbc5b34357e1bf98e493aa337af68a6 (824698), страница 25
Текст из файла (страница 25)
е. существует такоеТz. Поэтому l(х) n l z -1- 0. Пусть z Е l(х) n l z,l < r, что l(х) Е Тz-l\аlz.центр отрезкаПусть ak1о-----+ 00 (или akДокажем, что в этом случаеN.Пусть хЕЕ. Тогда м(1(х))d->-----+ 00. Если существует спри некоторомТогда для каждой точки у Е l(х) выполненынеравенстваIу- d I ~ Iу - z I + I z - d I ~J-L ( 1 (х ))~ аz+откуда следует, что l(х) с1+ '2 J-L ( l z )~1 1 5'2 J-L ( l z) < 2J-L ( l z) '2 J-L ( l z) ~ '2 J-L ( l z) ,+51z.
Тогда0000i=1i=1Гл.Продолжение меры7.При достаточно большомN157отсюда вытекает, чтоDТак как множество Е ограничено, то можно считать, что все7.105.отрезки системы То содержатся в некотором интервале (а, Ь). Проведёмпостроение по индукции. Возьмём числоаlм(1) ~ Ь== sup-а< 00.IETo1> "2 аl·Выберем отрезок 11 Е ТО так, чтобы м(1 1 )Затем определиммножествоТ1== {1Е То: 1n 11 ==0}.Пусть мы уже выбрали системы ТО ~ Т1 ~ ••• ~ Тт , определили номераajIETJ дляj == 1, ...... ,1т>О1,т и выбрали такие непересекающиеся отрезкиЕ то, чтожим а т +lм(1)== sup11,12, ...> ~ aj при j = 1, ...
, m. Если Тт = 10, то поло== ... == о и завершим процесс. В противном случае,fL(Ij)== а т +2пустьа т +l== supм(1)> О,IETrпи мы выберем отрезок lт + 1 Е Тт так, чтобы м(1т + 1 )1> "2 а т +l.ПустьтакжеПродолжая этот процесс, мы построим не более чем счётную системуQ == {lk}то ak1очерез51попарно непересекающихся отрезков. Так как Е ограничено,приk-----+ 00. Для невырожденного отрезка1обозначимотрезок длины 5м(1) с той же серединой. Пусть вначалепоследовательность построенных отрезков конечна:11,12, ...
,1n .Еслисуществует точкаnх Е Е\Р,гдеF ==U lk,k=1то мы рассмотрим отрезок l(х, Е) Е Тn , где Е>О- расстояние между хи замкнутым множеством Р, и придём К противоречию с предположением, что ТN==0. Следовательно, в этом случае Е с Р, и утвер-Гл.1587.Продолжение мерыждение задачи выполнено. Пусть теперь система отрезков счётна.
ОбозначимuI00S ==k·k=lПусть l -натуральное число и х Е Е \ В. Тогда, посколькуZх ~ Fz==U Ikk=lи множествоF z замкнуто, то существует отрезок I(x, cz) Е ТО, которыйсодержит х и не пересекается с Fz. Поэтому I(x, cz) Е Тz. Так какJ-L(I(х, cz)) > ak при достаточно больших k, то существует такое натуральное т > l, что I(x, cz) Е Тт - 1 \ Тт . В этом случае I(x, cz) n 1т -1- е;и J-L(I(х, cz)) < а т < 2J-L(Im ).
Но тогда I(x, cz) с 5Im . Следовательно,00Е\s с U 5Ikk=Zи00м*(Е \ В) ~00LJ-L( 5Ik) == 5 L J-L(Ik).k=Zk=ZПоскольку00LJ-L(Ik ) < Ь - а <00k=lиlпроизвольно, то м* (Е\В)==о.D7.106. Пусть (см. задачу 7.105) система {Ik}~=l С ТО такова, что1k n Iz ==е; приk -1- lим* (Е \ UIk)==k=lо.Ясно, чтоНайдём такоеN,что00LJ-L(Ik ) < с.k=N+lТогда (см. задачу11* (D7.6)Е \Q/k) :( 11* ( Е \Q/k) + 11* C=Q+/k) < Е.Гл.7.Продолжение меры1597.107. Пусть Q[O;l] == {rk}k=l.
ПоложимА n ==Тогда А n -n (Urk -k=l12n + k ' rkоткрытые множества, А n ~ А n + 1 , каждое А n всюду плотно, поскольку содержит Q[O;l], и м(А n ) ~чи7.52+ 2n1+k ) •2- n .В силу результата задамера пересечения всех А n равна нулю, так что это пересечениене имеет ни одной внутренней точки.
В то же время оно непусто, таккак содержит Q[O;l].DГлава8ИЗМЕРИМЫЕ ФункцииИзмеримым nространством называется тройка (Х, М, м), где Ма-алгебрас< 00,м(Х)единицейХ,аМ-а-аддитивнаямеранаМ.-Еслито мы будем называть пространство конечным, а еслимера М а-конечна на М, то мы скажем, что оно а-конечно. Через9J1будет обозначаться а-алгебра измеримых по Лебегу множеств дляклассической меры Лебега на IRJ.Пусть теперь (Х, М, м)цияf :А-----+-измеримое пространство и А Е М. ФункIR u {-оо} U {+оо}называется измеримой на А (относительно измеримого пространства (Х,М,М) или просто относительномеры М, но мы будем часто опускать это уточнение), если для любогос ЕIRвыполнено условиеfA 1((C, +00]) == f-l((c, +00]) == {х Е А: с < f(x) ~ +оо} Е М.Заметим, что мы допускаем бесконечные значения функции.
Иногдадля краткости мы будем говорить, что функцияf(x)измерима относительно меры М. Если функция принимает только конечные значения намножестве А, то будем называть её конечной на А. Предположим, чтофункцияf(x)измерима на множестве А, множество В принадлежитМ, В с А, м(А\В)==О иf(x)обладает некоторым свойством на В(например, конечна). В этом случае скажем, чтоf(x) обладает этимсвойством почти всюду (n.в.) на А.
Если функции f(x) и g(x) определены на некотором А Е М и таковы, что м({х Е А: f(x) -1- g(x)}) == О,то мы будем называть их эквивалентными на А.Так как рассматриваемые функции могут принимать бесконечныезначения, мы будем использовать следующие естественные соглашенияоб арифметических операциях с измеримыми функциями:00 ± а == 00 для любого а Е IR;-00 ± а == -00 для любого а Е IR;а х (±оо)а х (±оо)а±оо==== ±оо== =fooпри апри а> О;< О;О для любого а ЕIR;00 + 00 == 00 - ( -(0) == 00;-00 - 00 == -00 + (-00) == -00;00 х 00 == (-00) х (-00) == 00;Гл.-00х00 == 00х8.Измеримые функции161(-00) == -00.Также для определённости положимО х (±оо)==о;о.00 - 00 == -00 - (-00) ==Можно также считать, что все функции конечны или,в случаеполной меры, конечны почти всюду.
В последнем случае нам будетневажно, как определены операции на множестве меры о.ЗАДАЧИ8.1. Пусть (Х, М, м) - измеримое пространство, множества А и А 1из М, причём А 1 С А, а функция f(x) измерима на А. Доказать, чтоf(x) измерима на А 1 •8.2.Пусть (Х, М, м)М, а функцияf(x)измеримое пространство, множества-измерима наприAii Е N. Доказать,A i изчто f(x)пространство,А Е М,00измерима на множестве А==U Ai ·i=18.3.
Пусть(Х, М, м)измеримоеа функцияf(x) измерима на множестве А. Доказать, что множестваff- 1 ({ -оо}) и f- 1 (IR) измеримы.8.4. Пусть (Х, М, м) - измеримое пространство, А Е М, а функция f(x) измерима на множестве А. Доказать, что для любых чисел а1 ({ +оо}),и Ь, где -008.5.цияf(x)< а < Ь < +00,Пусть (Х, М, м)-множествоf- 1 ((а, Ь))принадлежит М.измеримое пространство, А Е М, а функизмерима на множестве А. Доказать, что для любого множе-ства В Е 81 множество f-l(В) принадлежит М.8.6.==Пусть (Х, М, м)ХА(Х). Доказать, что- измеримое пространство,f(x) измерима на Х тогдаА с Х иf(x) ==и только тогда,когда А Е М.8.7. Пусть М -классическая мера Лебега натакую неизмеримую функциюмножествоf-1( {с})f : [о,[о, 1]. Построить1] -----+ IR, что для любого с Е IRизмеримо.8.8.
Пусть (Х, М, м) - измеримое пространство, А Е М, а функция f : А -----+ IR u {-оо} U { +оо} такова, что для каждого с Е IR множество f A1 ([c, +00]) принадлежит М. Доказать, что f(x) измерима на А.8.9.{ а n } ~= 1Пусть-(Х, М, м)измеримоеА Е М,некоторое всюду плотное множество в IR, а функцияf : А -----+ IR u {-оо} U {+оо}такова, что для каждого n множествоfA 1((a n , +00])Доказать, что6пространство,f(x)п. л. Ульянов и др.измерима на А.Е М.Гл.1628.10.функцияПустьИзмеримые функции8.IRn -n ~ 1 и G соткрытое множество.
Пусть такженепрерывна на G. Доказать, чтоf(x)f(x)измерима на Gотносительно классической меры Лебега.8.11. Построить функцию f(x) на [0,1], измеримую на [0,1] относительно классической меры Лебега, но разрывную в каждой точке.8.12. Пусть (Х, М, м) - измеримое пространство, А Е М, а f(x) конечная измеримая функция на А. Пусть также f(A) с G с IR,где G - открытое множество, и g(t) непрерывна на G. Доказать, чтокомпозиция функцийизмерима на А.g(f(x))8.13.
Пусть (Х, М, м) -измеримое пространство, А Е М, n ~ 2иfl (х), ... , f n (х) - конечные измеримые функции на А. Пусть такжеf(A) с G с IRn, где G - открытое множество, и h(t) Е C(G). Доказать,что композиция функций h(fl (х), ... , fn(x)) измерима на А.8.14. Пусть (Х, М, м) -измеримое пространство, А Е М, аиg(x) - измеримые функции на А. Доказать, что> g(x)} Е М и С == {х Е А: f(x) == g(x)} Е М.В=={х Е А:f(x)f(x) >8.15.
Пусть (Х, М, м) - полное измеримое пространство (т. е. мера М полна), А Е М, аизмеримая функция на А. Пустьфункция,на А. Доказать, чтоf(x) эквивалентная f(x)g(x) -g(x) -измеримаяфункция на А.8.16.Построить такую измеримую относительно классической меры Лебега на [0,1] функциюфункцияg(x)f(x)на А, что любая эквивалентнаяf(x)всюду разрывна на [О, 1].8.17. Пусть (Х, М, м) - измеримое пространство, А Е М, а Е IR 1,а f - измеримая функция на А. Доказать, что f(x) + а - измеримаяфункция на А.8.18.
Пусть (Х, М, м) аf -измеримое пространство, А Е М, а Еизмеримая функция на А. Доказать, чтоaf(x) -IR,измеримаяфункция А.8.19. Пусть (Х, М, м) иg(x) -измеримое пространство, А Е М, аизмеримые функции на А. Доказать, чтоf(x) + g(x) -f(x)такжеизмеримая функция на А.8.20. Пусть (Х, М, м) - измеримое пространство, А Е М, а f(x) измеримая функция на А.
Доказать, чтоf2(x) -также измеримаяфункция на А.8.21. Пусть (Х, М, м) иg(x) -измеримое пространство, А Е М, аизмеримые функции на А. Доказать, чтоизмеримая функция на А.f(x)g(x) -f(x)такжеГл.8.-Пусть (Х, м, м)8.22.Измеримые функции163измеримое пространство, А Е М,измеримая функция на А и Лх)f(x) -1при х Е А. Доказать, что лх) --1 отакже измеримая функция на А.Пусть (Х, м, м)8.23.иизмеримые функции на А иg(x) -что ~~:~f(x) -1-f(x)О для х Е А.
Доказать,измеримая функция на А.-Пусть8.24.иизмеримое пространство, А Е М,-(Х, м, м)измеримоепространство,измеримая функция на А. Доказать, чтоf3(x) -А Е Мтакжеf(x) -измеримая функция на А.8.25. Построить такую функцию f(x) на [0,1], что f2(x) измеримаотносительно классической меры Лебега на [0,1], но f(x) неизмеримаотносительно этой меры.Пусть (Х, м, м)8.26.иизмеримое пространство, А Е М,-конечные измеримые функции на А иg(x) -f(x) >f(x)О на А. Дока-зать, что (f(x))9(X) - измеримая функция на А.Пусть [а, Ь] С8.27.чтои функцияIRf(x)монотонна на [а, Ь].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
