1610912311-3cbc5b34357e1bf98e493aa337af68a6 (824698), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Пусть A i , СА 1 С А 2 С ... иХS-некоторая а-аддис единицей х.длявсехiЕN, имеют место вложения00А==U Ai ·i=1Доказать, чтом * (А)== .1im М * (A i ) .~----+oo7.45.Пусть А Е 9]1. Доказать, что А может быть представленов видегде множества Ai,j Е R(S) дЛЯ i,j Е N, а А о Е 9]1, м(А о ) == О и длякаждого i выполнено A i ,1 С A i ,2 С ... Более того, Ai,j можно выбрать00так, что еслиB i ==U Ai,jприi Е N, то В 1 ~ В 2 ~...j=1В задачах7.46-7.55, 7.57, 7.60S итивная мера т на полукольцерассматривается а-конечная а-аддиеё продолжение по Лебегу. Через Хобозначается объединение всех множеств изS(см.
подробности в теоретических сведениях, приведённых в начале этой главы).7.46.Доказать, что класс измеримых множеств и значение а-конечной меры не зависят от представления00где А n Е7.47.Sдля всехПусть М-n.а-конечная мера, а 9]1 -соответствующая системаизмеримых множеств. Доказать, что 9]1 является а-алгеброй.Гл.1187.48.Пусть М-Пусть М-7.Продолжение мерыа-конечная мера Лебега. Доказать, что М а-аддитивна.7.49.классическая а-конечная мера Лебега наПоIR.строить неограниченное измеримое множество А Е 9]1 конечной меры.<7.50. Пусть М -а-конечная мера, А Е 9]1 и м(А)что А может быть представлено в видеn U Ai,j \00А==00. Доказать,00Ао ,i=1 j=1где Ai,j Е R(S) дЛЯ i, j Е N, А о Е 9]1, причём м(А о ) == О, и для любого iвыполнено A i ,1 С A i ,2 С ...
Более того, Ai,j можно выбрать так, что00еслиB i ==U Ai,jпри i Е N, то В 1 ::J В 2 ::J ... и м(в 1 )< 00.j=17.51.при всехПусть Мi,а-конечная мера Лебега на а-алгебре 9]1,-AiЕ 9]1причём А 1 С А 2 С ... и00А==U Ai ·i=1Доказать, что(возможно, с обеих сторон равенства стоят бесконечные значения).7.52.при всехПусть Ма-конечная мера Лебега на а-алгебре 9]1,-i, причём А 1 ::J А 2 ::J ...
, м(А 1 )nA< 00AiЕ 9]1и00А==i.i=1Доказать, что7.53.ПустьПостроитьМ-такуюклассическаяа-конечнаяпоследовательностьnA{Ai }мераЛебегамножествизна9]1,IR.что00А 1 ::J А 2 ::J ... и для множества А==i выполнено неравенствоi=17.54.Пусть М(т. е. м(Х)==-а-конечная мера Лебега, не являющаяся конечной00.) Построить такую последовательность{B i }множествГл.7.Продолжение меры119nB00из 9]1, что В 1 ~ В 2 ~ ... и для множества В==i выполнено нераi=lвенство7.55. Пусть J-L - а-конечная мера Лебега на а-алгебре 9]1 и {A i }-последовательность множеств из 9]1. Доказать, что (см. обозначенияв гл.1)i---+oo7.56. Пусть J-L -классическая мера Лебега на [О, 1].
Построитьтакую последовательность7.57. Пусть J-L -{A i }множеств из 9]1, чтоконечная мера Лебега на а-алгебре 9]1 и{A i }-наIR.последовательность множеств из 9]1. Доказать, что7.58.ПустьПостроитьм(А n )< 00J-L-такуюклассическаяа-конечнаяпоследовательность{Ai }мераЛебегамножествиз9]1,чтодля каждого n и7.59. Пусть J-L -классическая мера Лебега на [О, 1]. Построитьтакую последовательность{A i }множеств из 9]1, что7.60. Пусть J-L - а-конечная мера Лебега на а-алгебре 9]1 и {A i }-последовательность множеств из 9]1, причём00Доказать, чтоJ-L(1im sup А n ) == о.n---+оо7.61.Пусть тзaTь' что 9]1==-полная а-аддитивная мера на а-алгебре В.
ДокаВ, т. е. что продолжение по Лебегу меры т совпадаетс ней самой.7.62.Пустьтое множество вn ~ 1. Доказать, что любое открытое и любое замкнуIRnизмеримо относительно классической меры Лебега.Гл.120Пусть7.63.вIRnПродолжение меры7.n ~ 1. Доказать, что любое борелевское множествоизмеримо относительно классической меры Лебега.Доказать, что любое счётное множество Е с7.64.IRn (nизмеримо относительно классической меры Лебега М и м( Е)Пусть А7.65.в виде А====о.~Доказать, что его можно представить1.множество типа РО" и м(А 2 )==о.измеримое множество относительно классической-меры Лебега М нав виде АIRn, nА 1 U А 2 , где А 1 -Пусть А7.66.1)измеримое множество относительно классической-меры Лебега М на==~IRn, n~А 1 \ А 2 , где А 1 -1.Доказать, что его можно представитьмножество типаGfy и м(А 2 ) == о.7.67.
Пусть РО - канторово замкнутое множество (см. задачу 2.22), а М классическая мера Лебега на [о, 1]. Доказать,что м(Ро ) == о.7.68. Доказать, что канторово замкнутое множество РО нигде неплотно на [о, 1].7.69. Пусть ачтои>О и множество Р( а) построено тем же способом,канторово замкнутое множество,нопри n Е N иk == 1,2, ...
, 2n - 1• Найти м(Р(а)).7.70. Пусть а Е (0,1). Построить такое нигде не плотное множество Ра на [о, 1], что м(Ра ) == а.7.71. Пусть А - нигде не плотное множество на [о, 1], котороеизмеримо относительно классической меры Лебега на [о, 1], причёмм(А)>о.Доказать, что А неизмеримо по Жордану относительностандартной меры на [о, 1].7.72. Поставим в соответствие каждому числу Х Е [о, 1) егодвоичное представление (Хl, Х2, ... ,Х n , ... ) без 1 в периоде. Пусть{nk}~=l-некоторая строго возрастаЮLЦая последовательность натуральных чисел, {ak}~=lа А=={х Е [о,== ak1) : x nkнекоторая последовательность из О и 1,приkЕ N}.
Доказать, что м(А)==о.7.73. Пусть Р - замкнутое канторово множество на [о, 1], аА ==(u (х - 0.05; х + 0.05)) n (0,1).хЕРДоказать, что А измеримо относительно классической меры Лебега М,и найти м(А).Гл.Продолжение меры7.1217.74. Пусть А - множество таких точек из [О, 1], что их десятичноеразложение безв периоде не содержит цифры9Доказать, что А6.измеримо относительно классической меры Лебега М, и найти м(А).Пусть М7.75.замкнутое множество наплотно наIRn, n ~ 1, F что F нигде неклассическая мера Лебега на-и м(Р)IRn==о.
Доказать,IRn.7.76. Построить такое нигде не плотное множество А с [О, 1], чтом(А)==О, но м(А)> о.7.77. Пусть М -классическая мера Лебега на [О,Доказать, что функция7.78. Пусть О<аf(x) ==< 1.и А Е1]м(АП [О,х]) непрерывна наПостроить множество А с[0,1].[О, 1], котороеизмеримо относительно классической меры Лебега, причём м(А)но для любых аство О<Ь, дЛЯ которых [а, Ь] С [О,< м(А n [а, Ь]) < Ь -9J1.1],==а,выполнено неравена.7.79. Пусть М - классическая мера Лебега на [О, 1].
Построитьна [О, 1] такую последовательность измеримых множеств {А n } ~=1' чтоА n n A k == е; при n #- k и для любых числа n и невырожденного отрезка[а, Ь] С [0,1] выполнено неравенство м(А n n [а, Ь]) > о.7.80. Пусть М - классическая мера Лебега на [О, 1]. Построить на[О, 1] такую последовательность измеримых нигде не плотных множеств{An}~=1' что А n n A k == е; при n #- k и7.81.MKHyToeПустьn ~ 1и М -множество вIRnклассическая мера Лебега наи м(Р)> о.Доказать, чтоFзаIRn, F -имеет мощностьконтинуума.7.82.и м(А)> о.7.83.Е9J1Пусть n ~и Мклассическая мера Лебега на-IRn,А Е9J1Доказать, что А имеет мощность континуума.Пусть n ~и м(А)1==а>1и М-классическая мера Лебега наА ЕIRn,о.
Доказать, что для любого Ь Е (О, а) существуетизмеримое множество А ь с А, дЛЯ которого м(А ь )==Ь.7.84. Пусть М - классическая мера Лебега на [О, 1]. Для данногоа Е (О, 1) построить такое измеримое множество А с [О, 1], чтоlim м(А n [О, х]) == а.Х----+О+7.85.Пусть n ~1,М-классическая мера Лебега наограниченное множество и а ЕЕ А} Ех9J1 и м(А+а) == м(А).IRn.Доказать, что АIRn,+ а ==А Е{х9J1 -+ а:х ЕГл.122Пусть n ~7.86.и а ЕIRn.М1,Продолжение меры7.классическая мера Лебега на-Доказать, что А+аЕ9J1и м(А+ а) ==IRn,А Е9J1м(А) (здесь обазначения могут быть бесконечны).7.87. Пусть М А Е9J1дЛЯкоторых хклассическая мера Лебега на [О,>таково, что м(А)-у-9J1,о.
Доказать, что существуют х и у из А,рациональное число.7.88. Пусть М ство А Е1], а множествоклассическая мера Лебега на [О,> о.причём м(А)из А, дЛЯ которых ху-1], дано множеДоказать, что существуют точки х и уиррациональное число.-7.89. Пусть М - классическая мера Лебега на [О, 1]. Доказать, чтосуществует неизмеримое множество Е с [О,7.90.и м(А)> о.7.91.наIRn,Пусть n ~и М-классическая мера Лебега наПустьА Е9J1n ~ 1. Построить такую конечную а-аддитивную меруПостроитьмеры Лебега на [О,7.93.IRn,Доказать, что существует неизмеримое множество В С А.что любое подмножество в7.92.меры11].1]ПостроитьЛебегаИ м*(А 1 U А 2 )натакиеIRnизмеримо.неизмеримыеотносительноклассическоймножества А 1 и А 2 , что А 1 U А 2 измеримо.такие[О,1]неизмеримыемножества< м*(А 1 ) + м*(А 2 ).А1относительноиА2 ,чтоклассическойА1n А 2 ==е;7.94.
Построить множество А с [О, 1]2, измеримое относительноклассической меры Лебега на [О, 1]2, обе проекции которого на координатные оси неизмеримы относительно классической меры Лебегана [0,1].7.95. Построить множество А с [О, 1]2, неизмеримое относительноклассической меры Лебега на [О, 1]2, обе проекции которого на координатные оси измеримы относительно классической меры Лебега на [О, 1].7.96. Пусть а и Ь -вещественные числа, а множества А с [а, Ь]и В с [а, Ь] измеримы относительно классической меры Лебега мl на[а, Ь]. Доказать, что множество А х В измеримо относительно класси-ческой меры Лебега М2 на [а, ь]2.7.97.Пусть множества А сIR и В с IR измеримы относительноклассической меры Лебега мl на IR. Доказать, что множество А х Визмеримо относительно классической меры Лебега М2 на IR 2.7.98.Привести пример измеримого множества А инеизмеримогомножества В относительно классической меры Лебега наIR,декартовопроизведение которых измеримо относительно классической меры Лебега на IR 2.Гл.7.Продолжение меры1237.99.
Пусть Q[O;l] - множество всех рациональных чисел из [О, 1] иА = {(х,у) Е[0,1]2:хЕ[0,1] \ IQJ[O;l]Иsiny<~}.Найти м(А), где М - классическая мера Лебега на [0,1]2.7.100. Пусть n > 1, М - а-аддитивная мера на а-алгебре 9J1, А Е 9J1и м(А) == 1. Пусть также А 1 , А 2 , ... ,А n - множества из 9J1, вложенныев А, иnLM(A k ) > n - 1.k=lДоказать, что7.1 О 1. Для заданного n > 1 построить такиеА 1 ,А 2 , ... ,А n отрезка [0,1], измеримые относительномеры Лебега на [О,1],подмножестваклассическойчтоnLM(A k ) == n - 1,k=lноnAnk==0.k=l7.102.Пусть множество А измеримо относительно классическоймеры Лебега на [0,1], взято число а > О и аА == {ах: х Е А}.
Доказать, что аА измеримо относительно классической меры Лебега на IRи м( аА)==а . м(А).7.103.Пусть А=={(х,у): а ~ х ~ Ь и О ~ У ~f(x)},гдеf(x) -положительная непрерывная функция на [а, Ь]. Доказать, что А измеримоотносительно классической меры Лебега на IR 2 иьм(А)=JЛх) dxа(интеграл понимается в смысле Римана).Пусть М-классическая мера Лебегана IR, дано множество Е с IR и м* (Е)<00. Пусть также дана такая7.104.ТеоремаВитали.система невырожденных отрезков Тоt(x) > О== {I(x) == [x,x+t(X)]}XEE'чтодля каждого хЕЕ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
