1610912311-3cbc5b34357e1bf98e493aa337af68a6 (824698), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Доказать, что существуеттакое кольцо R(X), что Х с R(X) и для любого кольца Rl ~ Хвыполнено R(X) с R 1 • Это кольцо называется минимальным кольцом)5.27.Пусть Хсодержащим систему Х.5.28.Доказать,(см. задачу5.29.чтоеслисистемаХсодержитединицуЕ,то5.27) R(X) является алгеброй.Пусть Хтакое а-кольцо L(X),выполнено L(X) с L 1 •система множеств.что Х сДоказать, что существуетL(X) и для любого а-кольца L 1 ~ ХЭто а-кольцо называется минимальным а-кольцом) содержащим систему множеств Х.5.30.Доказать, что если система множеств Х обладает единицей,то (см. задачу5.31.5.29) L(X) является а-алгеброй.Пусть S -полукольцо. Доказать, что R(S) -минимальноекольцо, содержащее В, совпадает с кольцом, описанным в задачахи5.215.22.5.32.5.33.5.34.5.35.Доказать, что любое а-кольцоДоказать, что еслиR -Rявляется д-кольцом.д-алгебра, тоR -и а-алгебра.Построить пример д-кольца, которое не является а-кольцом.Определим борелевскую алгебру ВN в }Rn как минимальнуюа-алгебру, содержащую все открытые множества в }Rn.
Доказать, чтоВN совпадает с минимальной а-алгеброй, содержащей все замкнутыемножества в }Rn.Гл.88Замечание.==ВnМожнос для любогомощность2 ,Стоn.Системы множеств5.доказать(см.,например,существует неборелевское множество5.37.}Rn. Такоемножества изR,в гл.l). Доказать,L 2.Построить пример такой последовательности множеств, что(см. задачу5.38.вn----+ооn----+оо~что8.38.5.36. Пусть R - а-алгебра, А l , А 2 , ... , А n , ... L l == limsupA n , и L 2 == liminfA n (см. определенияLlгл.l),Так как система всех подмножеств }Rn имеетмножество будет построено в явном виде в задачечто[5],5.36) L l -1- L 2 ·ПустьR -а-алгебра, А l , А 2 , ...
, А n , ... ЕДоказать, что (см. задачув случае А l С А 2 С ...5.36) L l == L 2 .Rи А l ~ А 2 ~ ...Доказать эторавенство5.39. Привести пример такой последовательности множеств {A k },что (см. задачу 5.36) L l == L 2 , но ни для каких k -1- j не выполненоAkвложение5.40.Aj.Для любого натуральногощее ровно5.41.Сnn построить полукольцо, содержаразличных множеств.Пусть А l , А 2 , ... , А n -конечная система непустых множеств.Найти минимально и максимально возможное количество множествв минимальном кольце, содержащем эту систему (см. задачу5.42.5.27).Доказать, что не существует кольца, содержащего ровно3различных множества (включая пустое).5.43. Пусть 51 и 52 - полукольца, а 5 == 51 Х 52 == {А х В: А ЕЕ 51, В Е 52}.
Доказать, что 5 - полукольцо.5.44.Построить пример а-алгебр(см. задачу5.45.5.43)RlиR2таких, чтоR == R lХR2иR2не является кольцом.Доказать, что произведениеС единицами Х l и Х2 (см. задачу5.43)R == R lХR2а-алгебрRlявляется кольцом тогда и толькотогда, когда хотя бы одна из этих а-алгебр содержит не более двухмножеств.5.46.Пусть даны множества Х и У, функцияf :Х-----+ У, а Т-система множеств в У.
Положим f-l(А) == {х Е Х: f(x) Е А} дЛЯ А сс У и f-l(Т) == {f-l(А): А Е Т}. Доказать, что если Т - полукольцо,тоf- l (Т) 5.47.f-l(Т)f-(Т)В условиях задачи5.46доказать, что если Т-кольцо, то- тоже кольцо.5.48.lполукольцо.В условиях задачи- тоже а-алгебра.5.46доказать, что если Т-а-алгебра, тоГл.Системы множеств5.89f : Х -----+Построить множества Х, У, функцию5.49.подмножеств Х такие, чтоf(R) == {f(A):А ЕR}У и кольцоRне является полукольцом.РЕШЕНИЯ5.1, 5.2. Утверждения проверяются непосредственно. D5.3. Докажем, что система В является алгеброй тогдаи толькотогда, когда множество А конечно. Если А конечно, то В совпадаетс алгеброй всех подмножеств А с единицей А.
Пусть теперь В-алгебра с единицей Е. По определению Е конечно. Если А бесконечно,uто существует точка а Е А \ Е. Тогда множество Е 1 == Е{а} конечнои вложено в А, поэтому Е 1 Е В. Но Е 1 не вложено в Е, и мы пришлик противоречию. Поэтому А конечно.DРезультат вытекает из утверждения задачи5.4.2.1(о том, что неболее чем сч~тное объединение не более чем сч~тных множеств неболее чем сч~тно).DСистема В является5.5.алгеброй тогдаи только тогда,когдамножество А сч~тно.
Доказательство аналогично решению задачиВ случае не более чем сч~тного множества А утверждение5.6.вытекает из решения задач5.4иn С2{С Е В: А==Е В 1 И С1L\Пусть А несч~тно. Заметим, что А5.5.является единицей в В. Пусть В 1и В25.3.=={С Е В: С не более чем сч~тно}С не более чем сч~тно}. Если С 1 , С2 Е В 1 , то С 1С2 Е В 1 • Аналогично, если С 1 , С2 Е В 2 , то С 1Е В 2 И С 1 L С2 Е В 1 •Наконец, если С 1 Е В 1 И С2 Е В 2 , то С 1не более чем сч~тно. К тому жеС1поэтому С 1Lнекоторого ~o,с С 1 , поэтому С 1Еn С2С2 ::J С2 \ С 1 Е В 2 ,LС2 Е В 2 .
Пусть теперьтоn С2n С2nuCCiЕ В,iЕN.ЕслиC ioЕ В 2 для00iЕ В 2 С В.i=1ЕслиCiЕ В 1 дЛЯ всехi,то в силу результата задачиuC2.100iЕ В 1 С В.i=1D5.7. Доказательство аналогично решению задачи 5.6.5.8, 5.9, 5.10. Определение полукольца непосредственноется.проверяD5.11.Например,(0,1) \(o,~)=[~, 1), и поскольку это неоткрытое множество, то оно не может быть представлено как конеч-Гл.905.Системы множествное объединение интервалов (тем более попарно непересекающихся).Во втором случае, [О, 1] \ [о, ~] = (~, 1], и так как это незамкнутоемножество, то оно не может быть представлено как конечное объединение отрезков.D5.12. См.
решение задачи 5.11. D5.13. Утверждение проверяется непосредственно. D5.14. Если А, В Е R, то А u В == (А L В) L (А n В) Е R и А \ в ==== (А L В) n А Е R. D5.15. Имеем: е; == А L А Е R. По определению кольца второеусловие в определении полукольца выполнено. Далее, если А, А 1 Еи А 1 С А, то А==А 1 U А 2 , где А 2==А\А1 ЕRRсогласно задаче 5.14.D5.16. Например, система всех открытых подмножеств интервала(0,1) (см. задачу 5.11). D5.17.
Достаточно проверить, что для любых А, В Е S выполненоА L В Е В. Но А L В == (А \ В) u (В \ А). Далее, так как А n В Е Sи АnВс А, тоnА\ в==А \ (Аn В) == U A i ,i=2где всеA i из В. Из предположений по индукции следует, что А \ в Е В.Аналогично В \ А Е В, откуда А L В Е В. D5.18.
Проведём доказательство по индукции. При n == 1 утверждение входит в определение полукольца. Пусть n > 1 и утверждениесправедливо для n - 1 множеств. ТогдаА == (Т/ A i )U~=1ПоложимD j ==Аnn BjЕS(U Bj ).J=1j == 1, ... , s.приПо определению полукольца для любого j == 1, ... , s можно найти такие множества {Cj,l}~~1из В, чтоТогда имеемА == (Т/ Ai) U~=1(U (DJ=1j U(Ь Cj,l)))l=1n- 1(Ц Ai~=1)U(SЦJ=1Dj) U (SЦ UlCj,lJJ=ll=1).Гл.5.Системы множеств91Для завершения доказательства заметим, что так какАnn-ln()Ц Ai==0~=188U B j , откуда следует,И А n с А, то А n счто А nU Dj .==j=1j=1Проведём доказательство по индукции. При5.19.Dn== 1 утверждение тривиально.
Предположим, что оно выполнено для любого набораиз>n - 1 множества, где nи В 1 , ••• , B q1,система множеств,-которая удовлетворяет условиям задачи для А 1 , ••• , А n - 1 • Обозначим==С8В8n Аnприs == 1,2, ... ,q.в силу результата задачисуще5.18ствует представлениегдеDpЕSдля каждого р. По определению полукольца получаем, чтоВ 8 == С8 U (О Вв,т)r=1s == 1, ... , q,пригдеЕB 8 ,rSдля всехТогда множестваr, s.{ В 8,r }q,rs8=1 ,r=l'попарно не пересекаются, лежат в полукольце и приможем представить каждое множествоэлементов этой системы.5.20.==R.А L (В L С)А, В, С ЕRДалее,и1n В == В n А(А n В) n С ==и АR.== A i n B jn мыдля==U Ai Иi == 1, ... , nnАВLА для люL С ==любыхдля любого А выполненополукольцо.
По построению 0 ЕR -Тогда АR.==n (В n С), (А L В)n В) L (А n С) дЛЯkВ==i= 1Положим Ci,j~DДокажем вначале, чтоПусть А и В изВАL С) == (А1.14, 1.16). Наконец,==А.LnЕiкак объединение некоторыхAin (В(см. задачиALA==0,t.e.A-5.21.А~DЗаметим, что Абых А и В из1Е В.j=1иj == i, ... , k. Тогдаkn В == U U Ci,ji= 1 j=1U B j , где Ai,BjЕ R.Ci,j ЕSиГл.92Системы множеств5.Пусть теперь В С А. В силу результата задачисуществуют такиепопарно не пересекающиеся множестваВ, что для любого5.19,Ds ЕD 1 , •••i Е [1, n] и для любого j Е [1, т] выполнены условияU DzA i ==иUB j ==[ET~D z,ZEQJnгдеT i , QjС {1, 2, ... , s} для всехi,j.
Так как В С А ==U A i , то можноi=1считать,чтоsА==U DzиВгдеFС{1,2,и,А... ,s}.следовательно,uВЕкольцо.5.22.U D z,==[ЕР[=1ПоэтомуявляетсяRполукольцом.Но если А, В Еоткуда в силу результата задачиR,5.17следует,R, точто R -DПо построениюR1СПусть А ЕR.R,т. е. существует пред-nставление АтакиеA i ====U Ai ,гдеi=1D 1 , D 2 , ... ,Dr Е В,U D z , где TiЕ В. Согласно задачеAiчтоС {1,2, ...для,r}.каждогоТогда А[=Пусть {Rа}аЕПRне пуста. Пусть А, В Еа Е п. Так какRa -Пусть {Rа}аЕПзано в задачеАn ЕRaR.5.23, R -D1R a , т.
е. е; Е R, следовательно,Тогда А, В Е R a для каждогокольца, то Аэто верно для каждого а Е П, то5.24.равенство- система колец, иТогда для каждого а Е П выполнено е; ЕсистемавыполненоU D z Е R 1•==[ET~5.23.~r5.19 существуютL В Е RaА L В Е Rn В Е R a . ПосколькуА n В Е R.Dи Аи- система а-колец и R == ПаЕпRа. Как покакольцо. Пусть А 1 , А 2 , ... ,А n , ... Едля каждого а Е п. ПосколькуRa00U Аn Е R a ·n=1R.Тогда всеявляются а-алгебрами, тоГл.Системы множеств5.93Поскольку это верно для каждого а Е [2, тоu00А n Е R,n=1R является а-кольцом. D5.25.
Утверждение очевидно, поскольку если Е - единица каждоR a , то Е - единица R. D5.26. Пусть 51 - а-алгебра всех множеств А с [0,2], для которыхт. е.голибо А, либо [0,2] \ А не более чем счётно (см. задачу 5.б), ааналогичная а-алгебра для отрезка [1,3]. Тогда51n 52-52 -а-кольцо всехне более чем счётных подмножеств отрезка [1, 2], которое не являетсяалгеброй (доказательство аналогично решениям задач5.3и5.5).Пусть Х == {Аа}аЕП. Введём обозначение В == UаЕпАа,И пусть М(Х) - множество всех подмножеств В. Тогда М(Х) - коль5.27.цо и Х с М(Х). Пусть Р== {P/J}/JEr -система всех колец, которые содержатся в М(Х) и содержат Х. ПоложимR(X) == n/JErP/J.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
