1610912311-3cbc5b34357e1bf98e493aa337af68a6 (824698), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Построить функцию f (х) Е С (IR) и замкнутое множествоА с IR, дЛЯ которых f(A) незамкнуто.4.16.А сl2ПостроитьпримерограниченногоИ непрерывной функциинезамкнутое множество в4.17.Пусть Кмножество А-f (х)изl2Взамкнутогомножестваf (А) -IR, дЛЯ которыхIR.компакт в полном метрическом пространстве М,f(x) - непрерывная функцияна К. Доказать, что f(A) - плотное в f(K) множество.4.18. Пусть функция f(x) не убывает на [а, Ь], f(a) == с, f(b) == dи множество f([a, Ь]) всюду плотно на [с, d]. Доказать, что f непрерыв-всюду плотное в К, ана на [а;Ь].4.19.
Построить нигде не плотное множество А на [О,непрерывную функциюнаf(x) : [0,1]-----+[0,1],чтоf(A)1]и такуювсюду плотно[0,1].4.20. Доказать, что если f(x) - непрерывная строго возрастающаяфункция на [а, Ь] С IR, а А - нигде не плотное множество на [а, Ь], тоf(A) -нигде не плотное множество на[f(a), f(b)].4.21. Пусть f(x) - непрерывная функция на замкнутом множествеF с IR.
Доказать, что существует такая функция h(x) Е C(IR), чтоh(x) == f(x)при х Е Р.4.22. Пусть f(x) - непрерывная функция на компакте F в полномметрическом пространстве М. Доказать, что существует непрерывнаяна М функция4.23.h(x),совпадающая сПусть Р1 и Р2 -пространстве М, функциярывна на каждом изFjf(x)при х Е Р.два замкнутых множества в метрическомf(x)определена на Р1 U Р2 И. Доказать, чтоf(x)f(x)непренепрерывна на Р1 U Р2 •Гл.4.Непрерывные функции на метрических nространствах4.24. Построить[0,1] == А 1 U А 2 , итакиеразрывнуюнепрерывную на каждом из A j .4.25. Пусть nмножествеFссовпадающая с> 1,авсюдунаЕ[0,1][О, 1],чтофункциюf(x),непрерывная функция на замкнутомf(x) -IRn. Доказать,f(x) на Р.А 1 , А2множества71что существует функция4.26.
Пусть F == {fn(x)}~=l -h(x)ЕC(IRn),последовательность непрерывныхфункций на полном метрическом пространстве М. Доказать, что множество её неограниченной расходимостиdpимеет типGfy.4.27. Построить такую последовательность F == {fn(x)}~=l непрерывных функций на IR, что множество dp совпадает с множеством всехиррациональных чисел из IR.4.28. Построить такую последовательность F == {fn(X)}~=l непрерывных функций на IR, что Ср == Q.4.29.Длязаданногомножества А типаGfyвполномском пространстве М построить последовательность F==метриче{fn(x)}~=lнепрерывных на М функций, множество неограниченной расходимостикоторой равно А.4.30. Пусть F == {!n (х) } ~= 1последовательность непрерывных-функций на полном метрическом пространстве М. Доказать, что множество Ср имеет тип Ра-Ь.4.31. Построить такую последовательность F == {!n (х) } ~= 1 непрерывных функций на IR, что D p == Q.4.32.
Пусть (М, р) - полное метрическое пространство, а f функция М -----+ IR. Доказать, что f(x) на IR полунепрерывна сверхутогда и только тогда, когда для любого у Е IR множество Еу == {t ЕЕ М:f(t) < у}4.33.открыто.Пусть (М, р)f : М -----+ IRсуществует-полное метрическое пространство, функцияполунепрерывна сверху и ограничена сверху. Доказать, чтотакаяневозрастающаяна М функций {fn(x)}~=l' чтопоследовательностьf(x) == lim fn(x)непрерывныхдля каждого х Е М.n----+оо4.34.Пусть А-множество типа Ра- в полном метрическом пространстве (М, р).
Построить равномерно ограниченную последовательность непрерывных на М функций {fn(x)}~=l' которая сходится к нулю на А и расходится на В4.35.Пусть А-==М \ А.множество типа Ра-Ь в полном метрическом пространстве (М, р). Построить такую равномерно ограниченную последо-вательность непрерывных на М функций F=={fn(x)}~=l' что Ср==А.72Гл.Непрерывные функции на метрических nространствах4.Построить функцию на [О; 1], которая не может быть пред4.36.ставленакакпоточечныйпределпоследовательностинепрерывныхфункций.РЕШЕНИЯ4.1. Если j(x) непрерывна в точке хо, то для каждого Е > О существует такое n, что для любого У Е В 1 / n (хо) выполнено неравенствосIj(xo) - j(y)1 < 2·Ij(y) - j(z)1 <ТогдаСледовательно, ш(хо)==Е, т.
е.j(x)GkО, то для каждого Е==непрерывна в точке хо.Определим множествавидеть, чтоЕ В 1 / n (х).>О сущечто для любого У Е В 1 / n (хо) выполнено неравенствоn,Ij(xo) - j(y)1 <4.2.zО.С другой стороны, если ш(хо)ствует такоеЕ для любых У,Gk{х Е М: ш(х) < ~}. Нетрудно=открыто для каждогоDk.Но, согласно задаче4.1,n Gk,00А!==k=lпоэтому А !4.3.k== -,-Пустьгдеkмножество типа Gб.j(x) ==DО на множестве [0,1] \ Q, а для х Е Q[O;l], Хи непрерывна на [О, 1] \4.4.1и т взаимно просты, положимmобычно называется функцией Римана).Q.==j(x) == - (эта функцияmТогда j(x) разрывна на Q[O;l]DПусть множество А имеет вид00n=1где всеGn-открытые множества.
Без ограничения общности можносчитать, что G 1 ~ G 2 ~ ... Тогда множества рnзамкнуты. Выберем для каждого== L \ G n ,n не более чем счётное всюду плотноемножество Еn с рn и определим функцииfn(x)а затем-={!при х ЕGn ,при х Е Еn ,при х Е рn\Еn ,функции00j(x) ==где n Е N,L110 njn(x).n=1Ясно, что ряд сходится в каждой точке множестваL.Гл.4.Докажем, что функцияf(xo) ==73Непрерывные функции на метрических nространствахо. Для заданного Еподходящая.f(x)>Онайдём такое00Ln=N+lПусть хо Е А.
ТогдаN,чтос110 n< 2·Заметим, что множество>открыто, поэтому существует такое д== 1, ... ,Nвыполнено условиего х имеем: О ~fk (х) ==о, что при х Е Вь(Хо) иk ==о. Но, следовательно, для такоf(x) == f(x) - f(xo) <Е, т. е.f(x)непрерывна в точке хо.Пусть теперь хо ЕL \ А. Тогда существует такое по, что хо ЕЕ G no - 1 \ G no (здесь G o == L). Поэтому f(xo) > 10- . Рассмотримд > о, для которого Вь(Хо) С G no - 1 • Возможны два случая.1) Существует точка у Е вь(х) n G no .
ТогдаnО002Lf(y) ~10 n'n=no+lи поэтому f(xo) - f(y) > 5 . 10- no - 1•2) Множество Вь(Хо) n G no пусто. Тогда,поскольку Вь(Хо)\ G noимеет мощность континуума (здесь мы пользуемся тем, что пространство линейное, а не просто метрическое), а Еnо не более чем счёт-но и плотно, то существуют точки у Е Вь(Хо)n (РnО \Еnо ). Поэтому~ 10- nОf(z) - f(y)-fl~п >n Еnо10- no -и1zЕ Вь(Хо)n.n=no+lТаким образом (см.
задачу 4.1), ш(Хо)на в точке хо.4.5.DПусть х Еточка уn ЕNf> 10- nО -\ поэтому f(x) разрыв(Nf )'. Тогда для любого натурального n существуетn B1ln(X).Поскольку функцияf(x) == lim f(yn) ==f(x)непрерывна, тоо.n----+ооПоэтому х Е4.6.так какточки хNf .ПустьDf(x) == dist(x, Р). Тогда f(x) - непрерывная функция,If(y) - f(z)1 ~ р(у, z) для любых у' z, и f(x) == О для любойЕ Р.
Но так как F замкнуто, то f(x) > О при х ~ Р. D74Гл.4.7.4.Непрерывные функции на метрических nространствахПусть х ЕТак какGc(f).непрерывна,f(x)то существуr > О, что для любого У Е B r (х) выполнено неравенствоIf(x) - f(y)1 < f(x) - с. Тогда f(y) > с, т. е. Br(x) с Gc(f). Поэтому множество Gc(f) открыто. Как следствие, множество Fc(f) ==== М \ G- c ( - f) замкнуто. Dет такое4.8.СЕ==>ОПусть х Е М.
Тогда для любого Е{У Е М:-Еf(x)+Е}< f(y) < f(x)==множество(М\А!(Х)+Е) \D!(X)-Eоткрыто и х Е СЕ. Поэтому для некоторого д>О имеет место вложение вь(х) С СЕ' т. е. для любого У Е вь(х) выполнено неравенствоIf(x) - f(y)1 < Е.4.9.DФункцияпри х==О,при х Е (О, 1]удовлетворяет условиям задачи.4.10.DПредположим, что для каждогоуn Е К, чтоIf(Уn) I> n.сходящуюся К Уа Е К приn существует такой элементВыберем подпоследовательностьk-----+ 00. Тогдапротиворечит условиям задачи.f(x){Ynk} С:= 1 'разрывна в точке Уа, чтоD4.11. Пусть С == sup f(x).
В силу результата задачи 4.10 чисхЕКЛОСконечно.Найдёмдлякаждогоn такую точку Уn Е К, чтолуn) > с - ~. Если выбрать подпоследовательность {Ynk }~=1' сходящуюся к некоторой точке Уа Е К приk-----+ 00, то в силу непрерывностифункцииD4.12. Предположим, что f(x) не является равномерно непрерывнойна К.Тогда для некоторого Е>О существуют такие две по-следовательности {Yn}~=1 С К И {Zn}~=l С К, что Р(Уn, Zn) < !,ноnIf(yn) - f(zn)1 >Е для всехn.Дважды при меняя определение ком-пакта, найдём такие подпоследовательностиZnkz -----+ Za Е К при l -----+ 00. (Сначала выбирается подпоследовательность Ynk' а затем выбирается подпоследовательность znkz.) По построению Уа == Za.
Мы получили, что ш(Уа) ~ Е,т. е. согласно задаче 4.1 f(x) разрывна в точке Уа, что противоречитYnk-----+ Уа Е К приусловиям.Dk-----+ 00 и{Ynk} С:= 1 И {znkz} ~ l' чтоГл.4.Непрерывные функции на метрических nространствах754.13. Пусть L == l2, И е(n) == (е(n)1' е(n)2' ... ) - последовательностьс е( n) kО при==и е( n)nk -1- n== 1для каждогоnЕN.ОпределиммножествоF (1 + ~)e(n)} ~=1 U { (1 - ~)e(n)} ~=1f: f((l+~)e(n)) =n и f((l-~)e(n)) =-n= {И функциювсехмуЗаметим, что все точки множестваn.FвремяFзамкнуто, а любая конечная функция нанеограничена наf(x)на Р.изолированные, поэтоFнепрерывна.
В то жеF и не является равномерно непрерывнойD4.14. Пусть {Уn} ~= 1любогоЕ А припоследовательность элементов из-найдём такой элемент х n Е А, чтоnподпоследовательностьkf (А).ДЛЯУn, И выберемf(x n ) =={x nk }С:= l' сходящуюся К некоторой точке ха Е-----+ 00.
Тогдаf(xa) == lim f(x nk ) == lim Ynk ==k -НХ)т. е.для{Ynk} -k ---+ 00Уа,искомая сходящаяся подпоследовательность.4.15. Пусть А == IR и f(x) ==12•Тогдах+100(1 - - )x~.f(A) == (0,1].DD4.16. Пусть А == В 1 (О) Иf(x) ==L1nn=1По определению А ограничено и замкнуто вэлементов х, У Еl2l2.Далее, для любыхвыполнено неравенство00If(x) - f(y)1 ~LIx~-y~1 ~Ilx - yll· Ilx + yll,n=1откуда следует, что< IIxl1 ~2сЕf(x)непрерывна.
Для любого х Е А имеем1, но если обозначить через е(n) последовательность из А1e(n)k == О при k -1- n и е(n)n == 1, то f(e(n)) == 1 - -. Поэтому 1n(f(A))' \ f(A), т. е. f(A) - незамкнутое множество. D4.17.Пусть задано некоторое спактно, то (см. задачуха>4.12) функциянём, т. е. можно выбрать дтоf(x) <>о. Так как множество К комfравномерно непрерывна наО так, что если х, У Е К и р(х, У)If(x) - f(y)1 < с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
