1610912311-3cbc5b34357e1bf98e493aa337af68a6 (824698), страница 9
Текст из файла (страница 9)
задачу З.6) множе-ство B rn (Х n ) замкнуто для любого n, то Х ЕПоэтому Х Е А.D3.31.Пусть М== NО,р(х, у) ~(0,1)n.ир(m,n) == {1 + т~n'Нетрудно видеть, что рB rn (Х n ) при каждом-если т#- n;если т== n.метрика. Пространство (М, р) полно, так какдля любой пары элементов, поэтому для любой фундаментальной последовательности {Х n } все элементы начиная с некоторого номераNсовпадают.
Последовательность шаровB 1+-.L (n) == {n, n + 1, ... }2nудовлетворяет условиям задачи.DТогда В з / 4 (1) ~3.32. Пусть М == [0,1] с обычной метрикой.;;В2/ З (~).3.33.метим,DЕсли Хl==#- Х2.Х2, то утверждение очевидно. Пусть ХlЗа-чтоПоэтомуи, следовательно, выполнено неравенство rl ~ r2 -IIXl - Х211.IlxnDХ n +l11 ~~ r n - r n +l. Поэтому последовательность {х n } фундаментальна, и,3.34. Из задачи З.ЗЗ следует, чтоrl ~ r2 ~ ...
и чтов силу полноты пространства, существует х== limn----+ооХ Е-х n . Заметим, чтоB rn (х n ) для любого n, т. е. х - общая точка шаров.DГл.483.35.Множества в3.IR nи других метрических nространствахВыберем для каждоготочку х n Е Рn с Р1 • В силу теоремыnБольцано-Вейерштрасса (задачаность {Yk} С:= 1{ x nk}3.20) существует подпоследовательсходящаяся к некоторой точке У == k1im Yk·С:= l'----+00Так какYkЕ Рn прит. е. У Е Р.3.36.k~и Рn замкнуты, то У Е Рn для каждогоk(n)n,DПустьnКnnF==k·k=1Тогда к последовательности {Кn } ~=1 применимо утверждение задачи3.35, т.
е.nn0000Рn==n=1Кn:10.n=1D3.37.Пустьрn = { Х = (Х1, ... , Х n , ... ) Е ll:Xi =О приXi1 :( i :( n,~ О при i>nи ~ :( Ilxll :( 1}.Нетрудно видеть, что эта последовательность удовлетворяет условиямзадачи. Выпуклость множеств Рn следует из того, что если все компоненты последовательностей {Х n } И {Уn} неотрицательны и а Ето+ (1 -а) У 111==а 11 Х 111+ (1 -а) 11 У 111 .
D3.38. В силу результата задачи 3.30 существует единственная11ах(0,1),точкаnB00Х Еrn (Х n ).n=1Поскольку Х ЕB rn +1 (х n +l) С B rn (Х n ) для любого n, то Х -точка открытых шаров.3.39.3.40.DПоследовательность интерваловусловиям задачи.общая{(О,~) } ~=1 удовлетворяетDПустьG n =={Х Е М: р(х,Р)Очевидно, что все множестваGns ==infуЕРр(х,у)открыты иnG00n=1n .Fс<!}.nGn .Далее, пустьГл.3.Множества вЗаметим, чтоFIR nи других метрических nространствахс В. с другой стороны, если Х Е В, то для любоговыполнено неравенство р(х, Р)Х ЕF u р' == F == Р. D3.41. Пусть F == М \ G.задачи491< -,и, следовательно (см. задачу 3.3),nТогдаnзамкнуто и, в силу результатаF3.40,00где множествачим,Gnоткрытые.
Поэтому, положив рn==М\ Gn ,полу-что0000n=1n=1где все рn замкнуты. Таким образом,3.42.множество типаG -F(j.DПусть множество А представимо в виде00где все множества рn замкнуты. Тогда00М\А==U(M\Fn )n=1и множества М\рn открыты при всехn.Поэтому множество Мтипа Gб. Обратное утверждение доказывается аналогично.3.43.Достаточно доказать утверждение дляприn== 2.\А-DПустьk == 1,2,где все множества Gk,s открыты.
Тогдаn n(G ,s u G ,r),00А==0012s= 1 r= 1откуда видно, что А-множество типа Gб.D3.44. Утверждение следует из задач 3.42 и 3.43. D3.45. Так как G всюду плотно в (М, р), то существует У Е Br(x) nn G. Поскольку G открыто, то можно выбрать t > О так, чтобы Bt(y) ссBr(x) n G.D3.46.
Пусть Br(xo) - произвольный непустой шар в (М, р).Используя задачу 3.45, выберем такой непустой шар B r1 (Хl)' чтоB r1 (хl) С Br(xo) n G 1 и rl < 1. Вновь используя задачу 3.45, найдёмГл.503.Множества втакой непустой шарПродолжаяIR nB r2 (X2), что B r2 (X2) с B r1 (Xl) n G 2 и r2 <этот процесс,построимтельность непустых шаровчто B rn + 1(х n +l) С B rn (Х n )результата задачии других метрических nространствах3.38по~B r1 (Xl)n GnиндукцииB r2 (X2)~такую...~1"2.последоваBrn(x n )~... ,1r n < ; для каждого n.
В силуисуществует точкаnB rnn=100Х ЕТак какB rn (Х n )сGnпри каждомвсюду плотное множество.3.47.Gn,k, дляДля любого(Х n ).n,то Х Е Аn Br(xo),т. е. А-Dn по определению найдутся открытые множествакоторых00ТогдаnnGn,k,n=1 k=l00Ат. е. Амножество типа-поэтому каждоезадачи==003.46,Gfy. Заметим, что Gn,k ~ G n при любых n и k,множество Gn,k всюду плотно. Тогда в силу результатаи множество А всюду плотно.3.48.
Пусть Q == {r n} ~= 1Dзанумерованное некоторым образом-множество всех рациональных чисел на }Rl. Предположим, чтомножество типа Gfy. Положим QkгдеSk{rn}~=k для k== 2,3, ...открыты, тоЗаметим, что всезадачи==3.47Qk - также множества типа Gfy дляQk являются всюду плотными. В силумножествоnQkk=200е;==было бы всюду плотно, что неверно.3.49.DРешение аналогично решению задачи3.48.D3.50. Если А == {an}~=1' то00где одноточечное множество, очевидно, замкнуто.3.51.Утверждение следует из задач3.42и3.48.DDQ -Так каклюбогоk.результатаГл. 3. Множества в3.52.IR nи других метрических nространствахЗаметим, что для любых чисел а и Ь, где а<51Ь, множествовсех рациональных чисел из интервала (а, Ь) не является множествомтипаGb ,а множество всех иррациональных чисел из отрезка [а, Ь] неявляется множеством типа РО" (доказательства такие же, как в решениях задачи3.483.51соответственно).
Пусть Арациональных чисел из интервала(-1, О),а Виррациональных чисел из [О, 1]. Положим СG b , то множество А == Сп (-1,0) --множество типаn [О, 1]-типа==Своречию. Поэтому С-F(j,-u В.Если Стипа-G b , и мы пришлиF(j' то (см. задачу 3.44)что тоже приводит нас к протиискомое множество.3.53. Пусть Q == {r n} ~= 1Амножество всех-тоже типак противоречию. Если Смножество В==множество всех-Dзанумерованное некоторым образоммножество всех рациональных чисел на ffiJ, а A k{rk} при==k Е N.Тогда00и каждое множествоAkявляется множество типано в силу результата задачитипаGb.3.54.3.48множествоQGb(см.
задачу3.40),не является множествомDВ силу результата задачи3.42условиям задачи удовлетворяют множества B k ==}Rl \ A k , k Е N, где A k были определены в решениизадачи 3.53.D3.55.3.56.См. решение задачи3.48.Пусть множество А представимо в виде00где все множестваGnоткрыты. Так как А всюду плотно, то иплотны. На первом шаге выберем два непустых шара ВоGn==всюдуB ro (Хо)nи В 1 == B r1 (Хl) так, чтобы Во В 1 == О, Во, В 1 С G 1 И ro, rl < 1.
На втором шаге для j Е {О, 1} выберем два непустых шара Bj,O == BrJ,o(xj,o)итак, чтобыB j ,l == BrJ,l (Xj,l)и rj,O, rj,lBj,on B j ,l== О, Bj,o, B j ,l СnBj1< "2.Продолжаяэтотпроцесспоиндукции,получимследовательностей B j1 С B j1 ,j2 ~ Вj1 ,j2,jз ~ ...jk Е {0,1} для каждого k,С GkG2n Bj1, ... ,jk-lиBj1, ... ,jk-l,О1r(Bj1, ... ,jk)<knконтинуумпо-непустых шаров,гдеB j1 , ... ,jk-l,1для всех k.==О,Bj1, ... ,jkСГл.523.Множества вIR nв силу результата задачии других метрических nространствах3.47для каждой последовательностиj ==Е {О, 1}, существует общая точка последовательности== (jl,j2, ..
.), jknB00Xj==j1 , ... ,jn·n=1#- XjЗаметим, что Xiто все точки Xj#-при ij. Так как B j1 , ... ,jn С G n для каждого n,принадлежат множеству А. Поэтому А содержитподмножество мощности континуума, т. е. А ~ с.3.57. Пусть ВО == B ro (Ха) странствеС(М, р).B ro (Ха) \3.58.произвольный непустой шар в проТогда существует непустойА. Поэтому Хl Е ВОвсюду плотно.Dn (М \шар В 1А), и, такимQвсех рациональпроизвольный непустой шар в пространстве (М, р). Тогда существует точка Хl Е Ажество А открыто, то, согласно задачеB r1 (Хl)АD3.59.
Пусть ВО == Bro(xo) -чтоСDУсловиям задачи удовлетворяет множествоных чисел.== B r1 (Хl)образом, М \С Аn ВО.Следовательно,образом, множество М\3.45,B r1 (Хl)А нигде не плотно.n ВО.Так как мнонайдётся такоеn (М \А)==rl >О,0, и, такимD3.60. Пусть ВО == Bro(xo) - произвольный непустой шар в (М, р).Тогда существует непустой шар В 1 == B r1 (Хl) С ВО \ А. Ясно, чтоХl ~ А, поэтому существует такоеB r2 (Xl)CB o \A.r2Е (О,rl)'чтоB r2 (Xl)n А == 0,т. е.D3.61.
Если А' == 0, то множество А == А 1 замкнуто, и утверждениеверно. Пусть А'#- 0.Определим множестваСП ==u В 1 /n(Х)хЕА/и Аn==А\СП==А\СП при n Е N. Заметим, что все множества СПоткрыты, а множества А n замкнуты. Любая точка Х Е А 1 попадётв некоторое А n , а любая точка Х Е А' - в каждое СП, т. е.00Поэтому А 1 -множество типаF(j.D3.62. Положим А == {1 /n }~=1.
Тогда А 1 == А, но А' == {О}.3.63. Утверждение вытекает из задачи 3.61. DГл.3.64.IR nМножества в3.Согласно задачеи других метрических nространствах533.13,вnF==РЕПзамкнуто,изадачеА Е [2, поэтому В с А.3.2,3.65.В ~ А,поэтому В ~ А.n I 1,m #-П [mj, mjnU пj=1mEZ nF+ 1) == U0, то выберем точку ZI,m ЕIRn ==ЕслисогласноDnUIR ==Fстороны,Во-первых,nЕслиС другойn 12,m #-j[m2' mj 2+FI 1,m.n I 1,m.Далее,1) == U 12,т·mEZ n0, то возьмём точку Z2,m Е Fn 12,mИ т.
Д. Наконец,определим не более чем счётное множествоu u00АПо построению А сF====и А3.66. Пусть {Yj}~1 делим множество {En,j(n, j)==Р.Dвсюду плотное множество в (М,р). ОпреBl/n(Yj)}~~~j+l. Если для некоторой парыF n En,j непусто, то выберем точку Zn,j Е F n En,j.множествоПоложимu u00АТогда А сFи А==Р.==D3.67.
Пусть А - замкнутое множество, построенное в решениизадачи 3.24. Тогда А с В 1 , а шары {В 1 / 2 (Х)}ХЕА расположены так,#-nчто В 1 / 2 (Х)В 1 / 2 (у) == 0 при Ху. Так как С счётно и А имеетмощность С, то существует такое Х Е А, что В 1/2 (Х)С == 0. Следова-nTeльHo' Хtf- с.D3.68. Пусть А и В==счётное{B~(x)}OOm. ТогдавсюдуплотноеВ счётно. Пусть Вт=l,хЕАоткрытое множествоGс М и определим числамножество==в(М, р){Cn}~=1. ВозьмёмГл.543.Множества вIR nи других метрических nространствах00ТогдаUCnkСG. Заметим, что для любой точки У Е G найдётся шарk=lВ 1 / n (У) С G, гдеn натуральное. Выберем точку z Е АПВ~(у). Так4nкак У Е В ~ (z) С В 1 / n (У) С G, то2n00У ЕUCnk ,и, следовательно,k=lПоэтомуD3.69.Определим множествоА1n Br(x)(x),==хЕАОr(x) > О таковы, что Br(x)(X) с А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
