1610912311-3cbc5b34357e1bf98e493aa337af68a6 (824698), страница 4
Текст из файла (страница 4)
каждая точка интервала (О,1)является точкой нестрогого локального максимума функцииДоказать, что множество значений2.53.ствует такое дфункции2.54.задачиf(x)==д(Х)> О,чтоf).tЕ (х-не более чем счётно.Построить функциюf (х),которая удовлетворяет условиям2.53 и имеет счётное множество значений.РЕШЕНИЯ2.1.Пусть В 1==А1 Иn-lВN==АnU Aj\j=1приn+ д)== 2,3, ...Ясно, что тогда всеBj00А==U Ajj=1не более чем счётны и00==U Bj .j=1Гл.2.Мощности множеств19ПустьB j == {bj,i} 1~1 при j Е N, где i j могут быть конечными илибесконечными.
Занумеруем элементы множества А следующим образом. Пустьal == b1,1,а2аз== b1,2,== b2,1,а4==Ь1,З, а5==Ь 2 ,2, а6==ЬЗ,lи т. д.: в порядке возрастания суммы индексов, а при фиксированнойсумме индексовв-порядке возрастанияэлемент bi,j не существует, т. е.i> ij ,первого.Если очереднойто мы его пропускаем. Такимобразом, мы получаем взаимно однозначное соответствие между множествами А иеслиLN(или между А и некоторым конечным множеством,i j < (0).DПусть А n== { -:j2.2.конечно дляmкаждогоnnт==О, 1, ...
, n} приnЕ N. Очевидно, что А nи00Q[O;l]==U Аn ·n=lТак как множество Q[O;l] бесконечно, то в силу результата задачионо счётно.2.1D2.3. Пусть Q2n - множество всех рациональных чисел из [n - 1, n],а Q2n-l - множество всех рациональных чисел из [-n, -n + 1], где n ЕЕ N. Так как каждое множество Qn, как нетрудно видеть, эквивалентномножеству Q[O;l], то в силу результата задачи 2.2 каждое множество Qnсчётно, а тогда в силу результата задачи2.1счётно и множество00D2.4.Нетрудно видеть, что в каждой точке х Ефункциииf(xf(xfсуществуют односторонние пределы+ О) ==+ О) -f(xдля монотоннойIRf(x -О)== sup f(t)inf f(t).
Рассмотрим множество точек, дляt>x- О)> о.t<xкоторыхКаждой такой точке можно поставить в соот-ветствие рациональное числоqЕО),(f(x -f(x+ О)).При этом в силумонотонности функции разным точкам разрыва будут соответствоватьразные рациональные числа, так как если хВ силу счётностиразрыва функции2.5.fмножестваQ(см.делим длямножествозадачуне более чем счётно.Пусть С==АхВ,< у,и что00f(x+ О)~f(y -О).2.3) множество точекDA=={al,a2, ...
}N множества C i == {(ai, bj ): ji ЕC i счётно,тоиB=={b 1,b2, ... }.ОпреЕ N}. Ясно, что каждоеГл.202.Мощности множествпоэтому в силу результата задачи2.6.Для n== 2ПосколькуCjмножество С тоже счётно.DДокажем это утверждение индукцией по числу множествутверждение доказано в задачедоказали его дляство2.1Cjrvn.Предположим, что мы2.5.n - 1 множества. Определим для j Е N множестваА 2 Х ... х А n , то по предположению индукции множесчётно для каждогоj.Так как00А==А 1 Х А 2 Х ... х А n==U Cj ,j=1то в силу результата задачи2.7.Пусть А n -2.1множество А счётно.Dмножество всех алгебраических чисел, являющихся корнями уравнений с целыми коэффициентами, степень которых непревосходитn.Из задачи2.6следует, что множество таких уравненийсчётно. Далее, по основной теореме алгебры количество различныхкорней такого уравнения не превосходитn.Поэтому А n счётно. Так как00то А тоже счётно.2.8.=ВыберемDдлякаждогоэлементах Е Аточкуr == r(x) ==(Т], ...
,Тn ) Е IQJn так, чтобы Ix - rl < ~. Заметим, что если х i=- у, тоr(x)#- r(y)согласно неравенству треугольника. Следовательно, множество А эквивалентно некоторому подмножествуВ силу результата задачисчётно.2.9.2.6 Qn{r == (rl, ... , r n)} с Qn.счётно. Поэтому А не более чемDПредположим, что утверждение неверно.Это означает,все точки отрезка [0,1] можно занумеровать, т.е. [0,1]Выберем отрезокотрезок12 ==11 ==[а2, Ь 2 ] с[аl, Ь 1 ] с [О, 1] так, чтобы Хl11так, чтобы Х2tf- 12,получим такую последовательность отрезковtf- 11.==что{Хl,Х2, ...
}.Затем выберемИ т. д. По индукции мы11~12~... ,что х ntf- l n ·Согласно принципу вложенных отрезков существует точкаnl00х Еn ·n=1Но тогда для любого n выполнено неравенство ХК противоречию.D#- Х N ,и мы приходимГл.Мощности множеств21Определим отображение2.10.f(x) ==Тогда2.f(x){х,_1_n+ l'если х1#- -,nесли х== -,1nгдеnЕN;гдеnЕN.есть взаимно однозначное соответствие между [0,1] и [0,1).Остальные утверждения проверяются аналогично.D2.11.
Согласно задаче 2.10, множество (0,1) имеет мощность с.Биекция (О, 1) f----------+ IR устанавливается отображением f (х) == tg (1ГХ - 1г /2). Биекция IR f----------+ (О, (0) устанавливается отображением f (х) ==== ln х. Биекция [0,(0) f----------+ (0,00) строится так же, как в задаче 2.10. Равенство мощностей остальных множеств проверяется аналогично.D2.12. Предположим, что f(x) есть непрерывное взаимно однозначное отображение отрезка [О, 1] на полуинтервал [О, 1). Тогда1 == sup f(x).
Так как f(x) - непрерывная функция на [0,1], тоХЕ[О,I]существует точка хо Е [О, 1], в которой достигается точная верхняягрань функции, т. е.f(xo) == 1, что противоречит предположению. D2.13. Предположим, что f(x) есть непрерывное взаимно однозначное отображение полуинтервала [О, 1) на отрезок [О, 1], причём f (а) == Ои f(b) == 1. Хотя бы одна из точек а и Ь не совпадает с нулём. Пустьа#-о.
Тогда, поскольку непрерывная функция принимает на отрезкевсе промежуточные значения, то в произвольной левой окрестноститочки а функцияа в правой -fпринимает все значенияизинтервала(О, (1),из интервала (О, (2). Таким образом, достаточно малыепо модулю значения принимаются дважды, что противоречит взаимнойоднозначностиf.D2.14. Если данный промежуток - отрезок, то отображение f(x) ====а+ (Ь -а)х является взаимно однозначным соответствием между[О, 1] и [а, Ь]. Остальные случаи разбираются аналогично с использованиемзадач2.10и2.11.2.15.DОпределим отображениех,f(x) ==1k'если х#-если х =если х ==Тогдаf(x)1~' где n Е N;nу21J2' где k Е N;2k 21(2k - 1)J2 'где k ЕN.есть взаимно однозначное соответствие между А и [0,1].DГл.222.16.Мощности множеств2.Так как множество А бесконечно, мы можем последовательновыбрать счётное множество А 1дует, что А 1А 1 U (Вrv=={аl,а2, ...
} С А. Из задачи 2.1 сле-А). Обозначим это соответствие через\g(x).Определим теперь функциюесли х Е А\А1 ;еСЛИХЕА 1 .Тогдаfесть биекция множества А на множество Аu В.D2.17. Выберем счётное подмножество Р == {Pk}k=1 С А, и пустьС == А \ Р. Положим Р1 == {P2j-l}~1 И Р2 == {P2j}~I' В == А \ Р2 .Тогда в силу результата задачиследует, что Вu Р1 )(Сrvвыполнено условие Р2.1(С U Р)rvrvА.==Р1 , откудаD2.18. Пусть х Е [0,1). Рассмотрим его разложение в двоичную00дробь: х(Хl, Х2, ...
)====Lx j 2- j , где Xj Е {О, 1} для каждого J.j=1Если Х Е В 2 == {k/2 , где n Е N и 1 ~ k < 2n }, то существуют дваразличных разложения Х: Х == (Хl, ... , Х n -l, 0,1,1, ... ) и Х == (Хl, ...n. . . , Х n -l,1, О, О, ... ). Если Хtf- В2 ,то разложение единственно. Определим отображениеf(x) == {(Х 1 ' Х2,·· .),если х(хl, ... , х n -l,Тогда1, О, О, ...
),tf- В2 ;если х Е В 2 .есть взаимно однозначное соответствие между [0,1) и А.f(x)Так как [0,1) имеет мощность континуума (см. задачу 2.10), то и Аимеет мощность континуума.2.19.ВnПустьАмножество{(хl, Х2, ... ): Xj==D== 1> n}при jиззадачиПусть2.18.и00С==U Вn ·n=1Так как для каждогоn множество В N конечно, то множество С счётно.uЗаметим, что В == АС. Тогда в силу результатов задачмножество А имеет мощность с.D2.20. Пусть n == (nl, ... ,n т ,натуральныхниц kчисел.... )Определим-2.16инекоторая последовательностьпоследовательностьнулейи== (k 1, ...
, km , ... ) == f(n):1,k j =={если по+ nl + ... + nZ-l < j < по + nl + ... + nzдля некоторогоО,еслиj ==поl~2.181;+ nl + ... + nzдля некоторогоl~1,едиГл.где по==2.Мощности множествО, т. е. мы последовательно пишемнуль. Тогдаf23единиц и один(nz - 1)будет взаимно однозначным соответствием между Си множеством всех последовательностей из нулей и единиц, которыене заканчиваются единицей в периоде. В силу результата задачимножество С имеет мощность континуума.2.21.Заметим,2.18Dчто множество А эквивалентно множеству всехпоследовательностей {aj }~l' где aj Е {О, 1,2,3,4,5,6,7, 9}, которые неимеют9в периоде. Для каждой такой последовательности определимпоследовательность {bj}~ 1): bjПолучаем,чтоА==эквивалентноaj при aj ~ 7 и bjмножествуВ== 8,если aj== 9.последовательностей{bj}~l' где bj Е {О, 1,2,3,4,5,6, 7,8}, которые не имеют 8 в периоде.Но множество таких последовательностей задаёт девятичные разложения всех чисел из полуинтервала [О,2.22.1), поэтому Вrv[О,1).DЕслигде Xj Е {О, 1, 2}иlim Х n -1- 2},n----+оото множествоХ nо== 1содержит только последовательности, для которыхGпри некотором по.
Отсюда следует, что множество РО содержит все такие последовательности (Xl' Х2, ... ,Х n ,Хnf+ 2приnПустьDвзаимно однозначное соответствие между мно-fj -жеством A j и полуинтерваломОпределим функциюдляс Xj Е {0,2}, что-----+ 00. Поэтому (см. задачу 2.18) множество РО имеетмощность континуума.2.23.... )j Е N. Тогдау' 1 -j~ 1) (см. задачу2.14).[0,1) равенствами f(x) == fj(x) при Х Е A jесть биекция А на [0,1). Dff :А[1 ------+2.24.См. ниже решение задачи2.25.Можно считать (см. задачу2.25.2.19), что каждое A j есть множество последовательностей из 1 и О, т.
е. aj(aj,l, aj,2, ... ,aj,i, ... ) дляj Е N, где aj,i Е {О, 1}. Занумеруем {ai,j }~l в одну последовательность({bk}k=l' где b1 == al,l, Ь 2в решении задачи2.1.==al,2, Ь З====a2,1, Ь 4==аl,З, Ь 5==а2,2 и т. д., какТем самым мы построили взаимно однозначноесоответствие между А и множеством всех последовательностей изи о. Теперь утверждение следует из задачи2.26.биекцияПустьAwнаf IR.образом: если Х Ебиекция А набиекция П наDи для каждогоwЕ П пустьОпределим на множестве А функциюA w,то Р(х)Так как IRи А имеет мощность с.DIR 2.IR,2.19.2== (gw(X), f(w)).1Fgw -следующимТогда видно, чтоF -имеет мощность с (см. задачу 2.24), тоГл.242.27.ПустьАn2.Мощности множествмножество-всехподмножествмножества{1, 2, ... , n}.
Заметим, что А n конечно для каждого n и что00АU Аn ·==n=1в силу результата задачимножество А не более чем счётно, но А2.1содержит все одноточечные подмножества2.28.Определим отображениевсех последовательностей из1вольного С Е В положим Р( с)Заметим, чтоF -Dмножества В на множествоF(хl, Х2, ... ,х n ,==еслиD... ),гдеn Е с,если n Е N \ С.О,взаимно однозначное соответствие. Так какмощность С, то и В имеет мощность с.2.29.и потому бесконечно.и О следующим образом.
Для произ{1,х n ==NDимеетDДа. Например, разместим их следующим образом. Каждомувещественному числу а поставим в соответствие букву «Г», вершинакоторой лежит в точке (О, а), а стороны лежат на лучах ух ~ О, и у2.30.==а - х, х ~ О, соответственно.u D,+ х,fесть биекция А== {х Е А: х Е f(x)}, а D == {х ЕЕ А: х ~ f(x)} Е В. Пусть у == f-l(D) Е А. Если у Е с, то по определению множества С выполнено условие у Е f(y) == D, и мы получаем==СаDПредположим, что утверждение неверно, ии В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
