1610912311-3cbc5b34357e1bf98e493aa337af68a6 (824698), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Ясно, чтоесть отношение эквиrvвалентности. В данной главе эквивалентными будут называться множества, имеющие равные мощности. Равенство мощностей записывают-также формулой А-==В. Будем говорить, что мощность А меньше или--равна мощности В (А ~ В), если АВ 1 С В.rvВ 1 дЛЯ некоторого множестваЕстественным образом определяются обратное неравенствои строгие неравенства для мощностей.Можно показать (см., например,[7],гл.14),что существует шкаламощностей, т. е. такое линейно упорядоченное множество {а} так называемых порядковых чисел, что для любого множества А существуетпорядковое число а(А), для которого мощность А равна а(А). Приэтом если А с В, то а(А) ~ а(В).Если АrvN, где N== {1, 2, 3, ...
} -множество натуральных чисел,то А называется счётным. Если А конечно (в частности, пусто) илисчётно, то говорят, что А не более чем счётно.Множество называетсянесчётным, если его мощность строго больше, чем мощность счётногомножества.ЧерезQ,ных чиселкак обычно,напрямой IRобозначается==(-00,+(0).множество всех рациональЧерез Q[O;l]будет обозначаться множество всех рациональных чисел из отрезка [О;Q[O;l]==1].Запись{rn}~=l будет означать, что множество Q[O;l] занумерованонекоторым образом.Если Аrv[О,1],то говорят, что множество А имеет мощностьконтинуума, и пишут АПусть А-==с (см.
также задачумножество на прямой, с ЕIR. Через Ачать сдвиг множества А на число С, т. е. {х: хмножества А на [О;1]через Аства А на число с по модулю1,+с====а+ с будем+ с,обознагде а Е А}. ДЛЯобозначим сдвиг множе(mod 1)т. е. {х: х2.9).а+с(mod 1),где а Е А}.Утверждение, что не существует мощности, большей, чем счётная,но меньшей, чем мощность континуума, называется континуум-гипотезой. Долгое время математики пытались доказать или опровергнуть её,Гл.14Мощности множеств2.пока не было доказано, что ни континуум-гипотеза, ни её отрицаниене противоречат аксиоматике теории множеств. Использование континуум-гипотезыпри решениизадач не предполагается.Другое важное утверждениетак называемая аксиома выбора:-если дана система попарно непересекающихся множеств{A w } wEr2' тосуществует множество В == {a w }, где a w Е A w для каждого w Е [2,т.
е. множество, содержащее по одному представителю множеств A w .Аксиома выбора в данной книге принимается безоговорочно.Напомним, что функция на промежутке вещественной прямой называется возрастающей (неубывающей, убывающей, невозрастающей),еслидлялюбыхf(x) < f(y)точекхи(соответственно,у,гдеf(x)х<у,выполненонеравенствоf(y), f(x) > f(y), f(x)~~f(y))·Характеристической функцией (индикатором) множества Е называется функция ХЕ (х), равная1 на Е и О вне Е (её областьопределения в каждом случае ясна из контекста).ЗАДАЧИ2.1.Пусть множестваAj , jЕне более чем счётные.
Доказать,N, -что множество00А==U Ajj=1не более чем счётно.2.2.2.3.2.4.Доказать, что множество Q[O;I] счётно.Доказать, что множествоQвсех рациональных чисел счётно.Доказать, что любая монотонная наIRфункция непрерывнавсюду, кроме не более чем счётного множества, причём в точках этогомножества существуют пределы функции слева и справа.2.5.Пусть А и Всчётные множества.
Доказать, что их декар-тово произведение счётно.2.6. Пусть {A j}7=1 -конечный набор счётных множеств. Доказать, что их декартово произведение счётно. В частности,2.7.Число а ЕIRQnсчётно.называется алгебраическим, если оно являетсякорнем некоторого уравнениявидаknx n + k n _ 1x n - 1 + ...с целыми коэффициентамиkn , ... , ko.+ k 1x + ko == ОДоказать, что множество всехалгебраических чисел счётно.2.8.Пусть множество А в пространствепостоянная С> О:более чем счётно.Ix -ylIRnтаково, что существует~ с для любых х, У Е А.
Доказать, что А неГл.2.15Мощности множеств2.9. Доказать, что [О, 1] - несчётное множество.Доказать, что множества2.10.[0,1), (0,1], (0,1)имеют мощностьконтинуума.Доказать, что множества2.11.имеют мощностьIR, [0,(0), (0,00), (-00,0), (-00,0]с.Существует ли взаимно однозначное непрерывное отображе2.12.ние отрезка [О,1]на полуинтервал [О,1)?Существует ли взаимно однозначное непрерывное отображе2.13.ние полуинтервала [О,на отрезок [О,1)1]?Доказать, что любой невырожденный промежуток на2.14.IRимеетмощность континуума.2.15.
Пусть А == [0,1] \ {1,1 12' 3' ... }.Доказать, что А имеет мощ-ность континуума.Пусть А2.16.бесконечное множество, В-ное множество. Доказать, что АПусть А2.17.Пусть Агде aj==О или ajrvА.-#- А,мощность которого равна мощности А.множество последовательностей (аl,а2,аз, ... ),== 1для каждогоj,которые не являются периодическими с периодом (1), т. е. не существует такоговсехj> N.не более чем счётбесконечное множество. Доказать, что существу-ет множество В С А, В2.18.uВ-N,что aj== 1дляДоказать, что А имеет мощность с.2.19. Пусть В - множество последовательностей (Ь 1 , Ь 2 , ь з , .. .), гдеbj == О или bj == 1 для каждого j.
Доказать, что В имеет мощностьконтинуума.Пусть С2.20.где nj --множество последовательностей (nl, n2, nз, ... ),натуральные числа. Доказать, что С имеет мощность с.Пусть А2.21.-множество всех чисел из полуинтервалав десятичном разложении которых нет цифры«8».[0,1),Доказать, что Аимеет мощность континуума.Для интервала2.22.1через м(1) будем обозначать его длину.Рассмотрим следующее построение. Пустьвыбросим из отрезкаJ-L (111)1J?1 т. е.== 3 J-L (О)J 1 == 3'такой интервал111 ==J? == [О, 1]. На первом шаге1l с тем же центром, что(13' 32) .
Обозначим оставшиеся отрезкичерез J 11 и Jd. Пусть после n - 1 (n> 1)шагов мы получили 2n - 1отрезков J~-I, ... , J;n~\. Тогда на n-м шаге мы выкинем из каждогоотрезка J~-I, где 1 ~ k ~ 2n -что fJ(Ir)=±fJ(J;;-I).1,такой интервал l;: с тем же центром,Получим 2n отрезков J 1, ... , J!jn. ОбозначимГл.162.Мощности множествтеперьU U 1;:G ==РОи== [0,1] \ G ==n=1 k=1Ясно, чтоGn U J;:.n=1 k=1открыто, а РО замкнуто. Множество РО называется канторовым замкнутым множеством, аG -канторовым открытыммножеством. Доказать, что РО имеет мощность континуума.2.23.Пусть даны попарно непересекающиеся множества А 1 , А 2 , ... ,каждое из которых имеет мощность с.
Доказать, что множество00АU Aj==j=1имеет мощностьс.2.24. Пусть {A j}7=1набор множеств мощности континуума.Доказать, что их декартово произведение имеет мощность континуума.В частности,IRnимеет мощность континуума.2.25. Пусть {A j } ~1последовательность множеств мощности с.-Доказать, что множество последовательностей (аl, а2, аз, ...
), где aj ЕЕA j при j Е N, имеет мощность с.2.26. Пусть {A w } wEr2 - системажеств, где множество индексовwЕnмножествоимеет мощность2.27.Awnпопарно непересекающихся мноимеет мощность с и для каждогоимеет мощность с. Доказать, что множествос.Пусть А-множество всех конечных подмножеств-множество всех подмножествN.Доказать, что А счётно.2.28.Пусть Вимеет мощность2.29.N.Доказать, что Вс.Назовём буквой «Г» фигуру на плоскости, состоящую из двухперпендикулярных отрезков произвольной длины, выходящих из однойточки(вершины буквы).Пусть Анепересекающихся букв «Г»-некоторое множество попарноодинакового размера, расположенных наплоскости.
Может ли это множество иметь мощность континуума?2.30.Пусть А-непустое множество, а В-множество всех подмножеств А. Если А имеет мощность а, то через 2 а будем обозначатьмощность В. Доказать, что В2.31.и А2rvПусть А о ,А1И А2А о . Доказать, что А 12.32.Пусть А и Взать, что АrvВ.rf-rvА и, как следствие, а-множества,<2а.причём А 2 С А 1 С А оАо .такие множества, что А\ВrvВ\А. ДокаГл.2.33.Пусть А, В и СДоказать, что В2.34.АrvАrvrv\u с.rvD -множества, С С А,с В, СuВrvС.А.В\DrfD,что В с А,Dс с,\ D.сАсrf\ В.Построить множества А, В и с, для которых С с А, С с В,\сВrf\С.Пусть А с [О,некотором а Е2.39.АПостроить такие множества А, В и с, что А с с, В с с,В, но А2.38.uDно АD,В, но С2.37.АrvrvU с.Построить такие множества А, В, С ис, В2.36.Вrv17множества, причём А С В и А-Пусть А, В, С иДоказать, что А2.35.Мощности множеств2.1] -счётное множество.
Доказать, что привыполнено условие А пА[0,1]Построить такие множества А Е [О,+ а (mod 1) ==0.1]мощности1]и В Е [О,континуума, что для любых различных точек Ь(l), Ь(2) Е В выполненоусловие Аи+ Ь(l) пА + Ь(2) ==2.40. ТеоремаВ множества,0.Кантора-Бернштейна.А 1 С А, В 1 С В, АrvДоказать,В1Другими словами, если А ~ В и В ~ А, то А3а==И ВrvчтоеслиА 1 , то АrvАВ.В.м е ч а н и е.
В силу теоремы Кантора-Бернштейна в задаче2.23можно отбросить условие пустоты попарных пересечений множеств.2.41.Пусть{A W}WEr2ность с и для каждогозать,чтоотрезке[О,1].1]) -Awимеет мощность с. Докамножество всех непрерывных функций наДоказать, что С([О,Пусть А-Пусть А1])имеет мощность с.множество всех монотонных функций на отрезке2.45.Пусть Амножество всех последовательностей непрерыв-ных функций на [О,чемножествоимеет мощДоказать, что А имеет мощность с.2.44.[0,1].nnс.Пусть С([О,[0,1].2.43.Есистема множеств, причёммножествоимеет мощность2.42.w--1].Доказать, что А имеет мощность континуума.множество всех вещественнозначных функций наДоказать, что А имеет мощность 2 С (см.
обозначение в зада2.30).2.46.Доказать, что на отрезке [О, 1] существует вещественнозначная функцияf (х),которая не может быть представлена как пределвсюду сходящейся последовательности непрерывных функций.3амечадаче 4.36.н и е. Такая функция будет построена в явном виде в заГл.182.Мощности множествПусть множество А имеет мощность с и А2.47.==Вu с. Доказать,что по крайней мере одно из множеств В, С имеет мощность с.Пусть множество А представлено в виде2.48.00АU Аn==n=1И А имеет мощность с.
Доказать, что хотя бы для одного по множествоА nо имеет мощность с.Можно ли2.49.расположитьнаплоскостиконтинуумпопарнонепересекающихся букв «О» (окружностей)?Можно ли расположить на плоскости несчётное множество2.50.попарно непересекающихся букв «О» (окружностей) так, чтобы ни однаиз них не лежала внутри другой?Назовём буквой «А»2.51.на плоскости фигуру,состоящую издвух боковых сторон равностороннего треугольника и произвольногоневырожденногоотрезка,соединяющегоэтистороныоснованию, но не совпадающего с ним. Пустьжество попарно непересекающихся букв «А»размера) на плоскости.
Доказать, чтоFипараллельногонекоторое мноF -(вообще говоря, разногоне более чем счётно.Назовём буквой «Т» на плоскости фигуру, состоящую из двух2.52.перпендикулярныхотрезковпроизвольногоразмера,серединаиз которых является одним из концов второго. Пустьмножество попарно непересекающихся букв «Т»ного размера) на плоскости. Доказать, чтоПустьf(x) -функция на (О,FF -первогонекоторое(вообще говоря, разне более чем счётно.и для любого х Е (О,1)сущедля любогод, хf(x)~1),f(t)(т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
