1610912311-3cbc5b34357e1bf98e493aa337af68a6 (824698), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

С. Очана[14]оченьподробно рассматриваются вопросы теории множеств и меры, но го­раздоскуднеепредставленызадачипотеорииинтеграла,азадачипоприложению этой теории практически отсутствуют. Авторы задачни­ка[15]стремились охватить широкий круг тем из разных разделовматематического анализа, в т.ч. специфические вопросы, мало пред­ставленные в учебной литературе (асимптотика, выпуклые функции,мера Хаусдорфа). Поэтому лишь сравнительно небольшая часть этогозадачника относится к вопросам, затрагиваемым в нашей книге.Мытам,надеемся,аспирантамчтоинашзадачникпреподавателямтехбудеттакжеполезенуниверситетовистуден­институтов,где обучающихся знакомят с понятиям и меры множества, измеримыхфункций, интегралов Римана-Стильтьеса иЛебега, т. е.

с основнымипонятия м и действительного анализа. Будущим специалистам в областитеории функций, функционального анализа и смежных областей стоитознакомиться с решениями возможно большего количества задач. Длястудентов, далёких от теории функций, наш задачник тоже может слу­жить источником полезной информации по действительному анализу.Эта книга полезна и преподавателям: она содержит богатый наборзадач, которые преподаватель по своему выбору может предложитьстудентам и аспирантам.Вероятно, при столь большом наборе задач книга не лишена по­грешностеЙ.

Авторы будут признательны за указания на неточности исообщения способов их устранения.М. и.ДьяченкоблагодаритРоссийскийгуманитарныйнаучныйфонд за финансовую поддержку (грант 05-06-06423а).АвторыГлаваОПЕРАЦИИ1НАД МНОЖЕСТВАМИМы будем использовать обычные обозначения для операций надмножествами. Если А и Впроизвольные множества, то А-UВ -- их пересечение, А \ в - их раз­ность, и А L В == (А \ В) U (В \ А) - их симметрическая разность,А х В - их декартово произведение, т. е. множество всех пар (а, Ь),где а Е А и Ь Е В. Декартовым произведением n множеств называетсямножество наборов (аl, а2, ...

,а n ), где aj Е A j для j == 1,2, ... ,n. Еслиобъединение этих множеств, АnВмножества А и В не пересекаются, то их объединение называетсядизъюнктным и обозначается через Аu В.ДЛЯ конечной или бесконечной последовательности множеств ис-пользуютсяобозначения:UA kдляобъединения,UA kдлядизъ-kkюнктного объединения (объединения попарно непересекающихся мно­жеств),nAnk для пересечения множеств, а такжеkпроизведения® A k для декартоваk=lnмножеств.Верхним пределом последовательности множеств {А n } называ­eTcя множество lim sup А n , состоящее из точек, принадлежащих бес­конечному числу различных множеств{A nk }.Нижним пределом последовательности множеств {А n } называ­eTcя множествоlim inf А n ,состоящее из точек, при надлежащих всеммножествам {А n }, кроме, быть может, конечного числа.ЗАДАЧИПусть А, В, С ищие равенства1.1.1.2.произвольные множества. Доказать следую-(1.1-1.21).n С) U (В n С).(А n В) U С == (А U С) n (В U С).(А U В)1.3.

А1.4.D -n в ==Аn С ==(АА \ (А \ В).\ (В \ С) == (А \ В) U (Аn С).(A\B)\C==A\(BUC).1.6. (А \ В) \ С == (А \ С) \ (В \1.5.С).Гл.8А\1.8. А \1.7.1.9.(В U С)(Вn С)(А U В)С\1.Операции над множествами(А\(А \(А \======В)n (А \С).В) U (АС).С)С).\U (В \1.10.(АПВ)\С==(А\С)П(В\С).1.11.(A\B)n(C\D)==(AnC)\(BUD).1.12.A~B==(AuB)\(AnB).1.13.

A~(A~B) ==В.1.14.(A~B)~C==A~(B~C).1.15.(А\В)ПС==(АПС)\(ВПС).1.16.(А~В)ПС==(АПС)~(ВПС).1.17.(А ~ В)1.18.(А U С) х В1.19.(А1.20.(А х В)1.21.(А U С) х (В Un С)\Сх В======n (Сх(А\С) ~ (В\С).(А х В) U (С х В).n (С х В).D) == (А n С) х (В n D).(А х В)D) ==(А х В) U (А хДоказать следующие вложенияD)(1.22-1.31).U (С х В) U (С хD).Построить примеры,показывающие, что обратные вложения, вообще говоря, неверны.1.22.А U (В1.23.А U (В ~ С) ~ (А U В) ~ (А U С).А\1.25. А \1.26. А \1.24.\С) ~ (А U В)(А U С).\(В U С) С (А(В(В\ В) U (А \ С).n С) ~ (А \ В) n (А \ С).\ С) ~ (А \ В) \ (А \ С).1.27.A~(BUC)C(A~B)U(A~C).1.28.А ~ (Вn С)1.29.А ~ (В\~ (А ~ В)С) ~ (А ~ В)n (А ~ С).\(А ~ С).D) С (А U С) х (В U D).1.31. (A\C)x(B\D)C(AxB)\(CxD).Пусть А - некоторое множество и {B w } wEr2 1.30.(А х В) U (С хмножеств. Доказать следующие равенства1.32.1.33.некоторая система(1.32-1.34).Гл.1.Операции над множествами91.34.Пусть даны множества А, В и с.

Выразить следующие множествачерез А, В и С при помощи операцийu,п,\и L(1.35-1.42).Множество элементов, принадлежащих всем трём множе­1.35.ствам.1.36.Множество элементов, принадлежащих хотя бы двум из мно­жеств А, В и с.1.37.Множество элементов, принадлежащих ровно двум из мно­жеств А, В и с.1.38.Множество элементов, принадлежащих хотя бы одному измножеств А, В и с.1.39.Множество элементов, принадлежащих ровно одному из мно­жеств А, В и с.1.40.Множество элементов, принадлежащих А, В, но не принад­лежащих с.1.41.Множество элементов, принадлежащих хотя бы одному измножеств А, В, но не принадлежащих с.1.42.Множество элементов, принадлежащих ровно одному из мно­жеств А, В, но не при надлежащих с.1.43.Выразить множествощью операций1.44.Uиn.Выразить множествощью операцийUиn.lim sup А nчерез множества А n с помо­lim inf А nчерез множества А n с помо­РЕШЕНИЯ1.1.

х Е (Аu В) n С~ {х Е А или х Е В} и х Е С ~ {х Е Аи х Е с} или {х Е В и х Е с} ~ х Е (А1.2. х Е (Аn В) u Сn с) u (В n с).~ {х Е А и х Е В} или х Е С ~ {х Е Аили х Е с} и {х Е В или х Е с} ~ х Е (А1.3. х Е АnВDu с) n (В u с).~ х Е А и х Е В ~ х Е А и х ~ А~ х Е А \ (А \ В).D\в ~D1.4. х Е А \ (В \ с) ~ х Е А и х ~ В \ с ~ {х Е А и х ~ В}или {х Е А и х Е с} ~ х Е (А\В)u (А n с).D1.5. х Е (А \ В) \ с ~ х Е А \ в и х ~ С ~ {х Е А и х ~ В}\ (В u с). D1.6. х Е (А \ В) \ с ~ х Е А \ в и х ~ С ~ {х Е А и х ~ В}и х ~ С ~ х Е Аих ~ С ~ {х Е Аи х ~ (В\ис) ~ х Е (Ах ~ с}\с)\(Ви\х ~ В ~ {х Е Ас).Dих ~ с}Гл.101.Операции над множествами1.7. х Е А \ (В U С) ~ х Е А и х ~ В U С ~ {х Е А и х ~ В}и {х Е А и х ~ С} ~ х Е (А1.8.

х Е А \ (Вn С)\ В)n (А \С).nС~ х Е А и х ~ Вили {х Е А и х ~ С} ~ х Е (АD\ В) U (А \ С).~ {х Е А и х ~ В}D1.9. х Е (А U В) \ С ~ х Е А U В и х ~ С ~ {х Е А и х ~ С}или {х Е В и х ~ С} ~ х Е (А1.10. х Е (Аn В)\\С) U (В\С).nВ и х ~(А \ С) n (В \ С).С ~ х Е Аи {х Е В и х ~ С} ~ х ЕDС ~ {х Е А и х ~ С}D1.11. х Е (А \ В) n (С \ D) ~ {х Е А и х ~ В} и {х Е Си х ~ D} ~ {х Е А и х Е С} и {х ~ В и х ~ D} ~ х Е (А nn С) \(В UD).D1.12. х Е А L В ~ {х Е А и х ~ В} или {х Е В и х ~ А} ~nВ~ {х Е А или х Е В} и х ~ А1.13.

х ЕAL (ALB)~ х Е (А U В)~ {х Е А и х ~ALB}\ (Аn В).или {х ЕDALBи х ~ А} ~ {х Е А и х Е В} или {х Е В и х ~ А} ~ х Е В.D1.14. х Е (А L В) L С ~ {х Е А L В и х ~ С} или {х Е Си х ~и х ~и х Е~ хА L В} ~ {х Е А и {х ~ В и х ~ С}} или {х Е В и {х ~ АС}} или {х Е С и {х ~ А и х ~ В}} или {х Е С и {х Е АВ}} ~ {х Е А и х ~ В L С} или {х Е В L С и х ~ А} ~Е А L (В L С). DnС ~ х1.15. х Е (А \ В)Е А\В и х Е С ~ {х Е А и х ~ В}и х Е С ~ {х Е А и х Е С} и х ~ ВПС). D1.16. х Е (А L В)nС~ х Е АLn С}~ х Е (Аn С)\(ВnВ и х Е С ~ {{х Е А и х ЕЕ С} и х ~ В} или {{х Е В и х Е С} и х ~ А} ~ {х Е АпС и х ~ В}или {х Е ВС и х ~ А} ~ {х Е А С и х ~ ВС} или {х Е ВСnи х ~ Аn С}~ х Еn(А n С) L (В n С).nnD1.17.

х Е (А L В) \ С ~ х Е А L В и х ~ С ~ {{х Е А и х ~ В}и х ~ С} или {{х Е В и х ~ А} и х ~ С} ~ {{х Е А и х ~ С} и х ~ В}или {{х Е В и х ~ А} и х ~ С} ~ {х Е А \ С и х ~ В} или {х Е В \ Си х ~ А} ~ {х Е А \ С и х ~ В~ х Е (А \ С) L (В \ С). D\ С} или {х Е В \ С и х ~ А \ С} ~1.18. (х, у) Е (А U С) х В ~ {х Е А или х Е С} и у Е В ~~{х Е А и у Е В} или {х Е С и у Е В} ~U(CxB).D1.19. (х, у) Е (А~n С)х В~{х Е А и х Е С} и у Е В{х Е А и у Е В} и {х Е С и у Е В}П(СхВ).(х, у) Е (А х В) UD~~(х, у) Е (А х В)nГл.Операции над множествами1.1.20.

(х, У) Е (А х В)n (С11хD) ~ {х Е А и У Е В} и {х Е Си У Е D} ~ {х Е А и х Е С} и {У Е В и У Е D} ~ (х, У) Е (А nn С) х (В n D). D1.21. (x,Y)E(AUC)x(BUD) ~ {ХЕАИЛИХЕС}И{УЕВили У ЕD}~ {х Е А и У Е В} или {х Е А и У Еи У Е В} или {х Е С и У ЕU(CxB)U(CxD).D}илиили {х Е СD}~ (х, У) Е (А х В) U (А хD) UD1.22. Заметим, что (А U В) \ (А U С) с В \ С с А U (В \ С). Но ес­ли, например, А== {1}, В == {2}, С == {З}, то А U (В \ С) == {1, 2} -1-1- {2} == (А U В) \ (А U С).

D1.23. Заметим, что (А U В) L (А U С) с В L С с А U (В L С). Ес­ли, например, А == {1}, В == {2}, С == {З}, то А U (В L С) == {1, 2, З} -1-I-{2,З}==(АUВ)L(АUС).D1.24. Вложение вытекает из задачи 1.7. Если, например, А == {1, 2},В== {1},С== {2},то А\ (В U С) == 0 -1- {1, 2} == (А \ В) U (А \ С).D1.25. Вложение вытекает из задачи 1.8. Если, например, А == {1, 2},В== {1},1.26.С== {2},то Аn С) ==\ (В{1, 2} -1- 0 ==Вложение вытекает из задачисто е множество, то А==А(А1.4.

Если А\ В)n (А \====ВС\ (В \ С) -1- (А \ В) \ (А \ С) == 0.С).Dнепу­D1.27. х Е А L (В U С) ~ {х Е А и х ~ В U С} или {х ~ Аи х Е В U С} ====? {х Е А и х ~ В} или {х ~ А и х Е В} или {х Е Аи х ~ С} или {х ~ А и х Е С} ~ х Е (А L В) или х Е (А L С) ~~ х Е (А L В) U (А L С). Если, например, А == {1,2}, В == {1},С== {2},то АL1.28. х Е (А(В U С)LВ)==0n (А-1- {1, 2} == (А L В) UL С) ~ х Е А L В(АLС).и х Е АDLС ~~ {х Е Аих ~ Вих ~ С}или{х ~ Аих Е Ви XEC}====?XEAL(BnC).

Если, например, А=={1,2}, В=={l},С == {2}, то А L (В n С) == {1, 2} -1- 0 == (А L В) n (А L С). D1.29. х Е (АLВ)\(Аих ~ В~ {х Е Аи х ~ С} ====? х Е А L (ВLВложениеLВ и х ~ АLС ~их Е С}или{х ~ Аих Е В\ С). Пусть А == В == С - произвольноенепустое множество. Тогда 0== А L 0 == А. D1.30.С) ~ х Е А==(АLнепосредственноВ)\(АвытекаетLС)из-1-АL(В\1.21.задачи==Приэтом нетрудно видеть, что если А не пересекается с С, а В-четыре множества не пусты, то непустое множество А хсодержитсяв (А U С) х (В UD),Dно не пересекается с (А х В) U (С хсС)D).Dи всеD1.31. (х, У) Е (А \ С) х (В \ D) ~ {х Е А и х ~ С} и {У Е Ви У ~ D} ~ ~ {х Е А и У Е В} и {х ~ С и У ~ D} =:} {(х, У) ЕЕ А х В} и {(х, У) ~ С х D} ~ (х, У) Е (А х В) \ (С х D). Если, на-Гл.12пример, А-#Операции над множествами1.== {1, 2}, С == D == {1}, то (А \ С){(1, 2), (2,1), (2, 2)} == (А х В) \ (С х D). D1.32.==Вх Е А n( U B w ){:::::::}х (В\ D) == {(2, 2)}х Е А и существует такоеwЕ-#[2,wE[2что Х ЕЕBw{:::::::}U (AnB w ).1.33.существует такоеwЕ [2, что х Е АBwnBх Е А U(для любого{:::::::}{:::::::} х ЕDw){:::::::}х Е А или для любогоwE[2Х Еn BwwЕ [2 х Е А UBw{:::::::}nх Е(А UwЕB w ).[2DwE[21.34.хЕАU Bw )\ ({:::::::}х Е А и для любогоwE[2Е [2 х ~ B w{:::::::}для любогоwЕ[2 х Е А\ Bw{:::::::}х Еn(Аw\ B w ).ЕDwE[2Задачи1.35-1.39только ответы,могут быть решены по-разному.

Мы приведёмкоторые,как и ответы к задачам1.40-1.42,можнопроверить непосредственно.1.36.n В) n С.(А n В) U (А n С) U (В n С).1.37.((А U В) U С)1.35. (А((А\LВ)LС).1.38. (А U В) U С.1.39.((АLВ)LС)\((Аn В) n С).1.40. (АПВ)\С.1.41. (AUB)\C.1.42. (А L В) \ С.1.43. Формализуястимножеств,определение верхнего предела последовательно-получаемnUn=100limsupAn=={x: \/n =:3m~nХЕА т }==00Ат ·т=nD1.44.стиФормализуя определение нижнего предела последовательно-множеств,получаем00lim inf А n == {х:=:3n \/ т ~ nх Е Ат }==Un00n=1 т=nDАт .Глава2МОЩНОСТИ МНОЖЕСТВПусть А и Вмощности(Адва множества. Скажем, что А и В имеют равные-В),rvеслимежду ними можно установить взаимнооднозначное соответствие Аf----------+В.

Характеристики

Список файлов книги