1610912311-3cbc5b34357e1bf98e493aa337af68a6 (824698), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Тогда А 1 ::J АО. С другойстороны, Br(x)(X) с АО дЛЯ каждого Х Е АО. Действительно, еслиУ Е Br(x)(x), то Br(x)_p(x,y)(y) с Br(x)(x) с А. Поэтому А 1 == АО.Но в силу результата задачи 3.1 О множество А 1 открыто.D3. 70. Пусть G o - объединение всех открытых множеств G с А.В силу результата задачи 3.69 выполнено вложение АО с G o. С другойстороны, если G открыто и G с А, то G с АО, поэтому Go с АО.Dгде-о3.71. Если G открыто, то по определению GO == G. Но (G)::J GO.3.72. Пусть G -дачу 2.22).
Тогда Gро::JDканторово открытое множество на== [0,1]и3.73. Если множество Fс F == Р.D-[0,1] (см. за-О(G) -1- G.Dзамкнуто, то (см. задачу3.3) F ==Р. Но3.74. Пусть F == РО - канторово замкнутое множество на [О, 1](см. задачу 2.22). Тогда ро == е; и ро == е; -1- Р.D3.75. Так как АО U В с А U в, то вложение (АО U В)О с (А U В)Оочевидно. Пусть Х Е (А U В)О. Тогда существует такое rBr(x)с А U В. Следовательно, множество Си (см. задачу3.16)xE(AOUB)o.D== Br(x) \>О, чтов вложено в Аоткрыто. В силу результата задачи3.70 множество С вложено в АО, откуда получаем, что Br(x) с АО U в, т. е.Гл.3.Множества вIR nи других метрических nространствах553.76. Пусть А == РО - канторово замкнутое множество на [О, 1](см.
задачу 2.22) и В == [0,1] \ А. Тогда АО == О, поэтому (АО U в)О ====ВО==в. В то же время (А U в)О3.77. Пусть {СП} ~=1== [0,1]0 -1-в.Dсчётная последовательность открытых ша-ров, построенная в решении задачи3.68. Возьмём точку х Е А. Тогдасуществует такое ш == ш(Х) Е [2, что х Е G w . Выберем множество Сn(х)так, чтобы (см.
задачу 3.68) х Е Сn(х) С G w . Так как множество{n(Х)}ХЕА есть подмножество в N, то оно не более чем счётно. Выберемтеперь для каждого n(х) некоторое шn Е [2 так, чтобы Сn(х) сТак какU Сn(х)А сСхЕАто счётная подсистема3.78.ВсилуU G wn ,n(х)удовлетворяет условиям задачи.{G wn }результатаG wn .задачи== Nсчётное множество, например, [2можно3.77считать,Dчто [2(если [2 конечно, то утверждениетривиально). Пусть00FU Gz.с[=Положим1nАnU Gz==[=и рn== F \1А n . Тогда Р1 ~ Р2 ~ Fз ~...и каждое рn -ограниченное множество.
Если для любогото в силу результата задачизамкнутоеn множество рn непусто,3.3500и мы приходим К противоречию. Поэтому для некоторого по множестворnо пусто, т. е.nF с А n ==U G z·[=1D3.79.МножестваF = Nтворяют условиям задачи.и СП=(n - ~,n + ~)приnЕ N удовлеD3.80. Множества А == { -1 }ОО и G n ==n n=2== 2,3, ... удовлетворяют условиям задачи.( -1 nD14n1n-2' -+ -1)24nпри n==Гл.563.81.Множества вIR nи других метрических nространствахНапример, множества А\== 2,3,...3.82.3.{О} И А n=(~, n ~ 1] при=n=DВыберемпараллелепипедмножеств системы-множество[а, Ь] ЕF wo .содержащий одноIRn,Без ограничения общности можно считать, что F w с [а, Ь] дЛЯ всех ш Е п.
Пусть G wвсех ш Е п. ТогдаGw-из== IRn \ F wдляоткрытое множество. Предположим, чтоТогдаU Gw .[а,Ь] СwE[2В силу результата задачисуществуют такие шl,3.78... ,шn, чтоn[а, Ь] СUGWk 'k=1откуда следует,чтоnFnWk==0.k=1Это противоречит центрированности системы.3.83.Так как А с А, то r== dist(x, А)~Ddist(x, А).
Выберем точ--ки zn Е А и Уn Е А, где n Е N, так, чтобы р(х, zn)r.-== dlst(X, А),dist(x,и p(zn, Уn)А) < r + ~ для любого3.84.nПусть А-(-1,0),3.85.Поэтомуn.[-1,0],а ха=и поэтому dist(xa,AO) =~.Пусть rl== dist(A, В),r21+ -,nгде2и, следовательно,ndist(x,А) ~r.D[0,1] (см. задачу 2.22),~.
Тогда dist(xa,A)О, но=D== inf dist(x, В)хЕАr< r + -,канторово множество наобъединённое с отрезкомАО =1Тогда Р(Х, Уn)n< -.<и дано с>о. Вы-берем точки хl Е А и Уl Е В так, чтобы Р(Хl, Уl) < rl + с. Тогдаdist(Xl' В) < rl + с, и, следовательно, r2 ~ rl + с. Так как с > О произвольно, то r2 ~ rl. С другой стороны, пусть точка Х2 Е А такова, чтоdist(X2, В) < r2 + с. Выберем У2 Е В так, чтобы Р(Х2, У2)dist(A, В) < r2 + с, так что rl ~ r2.
D3.86.Пустьr=dist(F\, F 2 ).Е М: dist(x,Fi ) <~} для i=1,2.< r2 + с.Определим множества 0i=Тогда{х ЕНетрудно видеть, что множества 0\Гл.иG23.Множества воткрытые,треугольника.3.87.tf-FiприF -i == 1,2G 1 n G 2 == 0и57В силу неравенстваР, тозамкнутое множество в метрическом пространствеdist(x, Р) >о.
Поэтому для любого Х Е Р1 сущео, что Br(x)Р2 == 0, И для любого У Е Р2nr ==т(х)>существует такоеr ==т(у)ствует такоеи других метрических nространствахDЕсли(М, р) и Х~GiIR nС! => о,чтоU B~T(X)(X)n Р1 ==B r (у)С2 =иU B~T(Y)(Y)'уЕР2хЕ Р1Тогда множества0. ПустьиG 2 по построению открытые. Предположим,z Е G 1 n G 2 • Тогда найдутся такие точки х Е Р1G1что существует точкаИ У Е Р2 , что Z Е B~r(x)(x)n B~r(y)(Y).Без ограничения общностипредположим, что т(х) ~ т(у).
Тогдар(х, У) ~ р(х,Таким образом, У ЕG 1 n G 2 == 0.Br(x)(x),~ т(х).и мы пришли к противоречию. ПоэтомуD3.88. Например,""n+n~1''''}'3.89.1z) + р(у, z) < 2 (т(х) + т(у))Если АмножестваР1== NиР2==1{ 1 + 2,21+ 3'...Dn В #-0, то утверждение очевидно. Пусть А==0. Существует такое натуральное=dist(A, В) <~. Положим В!=N,что А с[-N, N]nВ n [-2N, 2NГ. Тогда В!-n В ==и r==ограниченное замкнутое множество.
Выберем последовательности {х n } ~=1 СС А и {Yn}~=1 С В так, чтобы Ix n - Ynl < N для всех n и Ix n - Ynl -----+ rпри n -----+ 00. Заметим, что Уn Е В 1 дЛЯ всех n Е N. В силу результатазадачи3.20существуют такие точки х и У и подпоследовательность{nk}~=l' что Xnk -----+ Х И Ynk -----+ У при k -----+замкнуты, то х Е А и У Е В 1 • При этом00.Так как множества А и В 1Ix - yl == lim IX nk - Ynk I == r == dist(A, В).k-HX)D3.90. Пусть множество А замкнуто.
Если dist(y, А) == т, то существует такая последовательность {х n } ~= 1 точек из А, что IУ - х n I -----+ rпри n -----+ 00. Заметим, что {х n } ограничена, поэтому существуют такиеподпоследовательность {xnk}~=l И точка х, что x nk -----+ Х при k -----+00.Гл.58IR nМножества в3.и других метрических nространствахТак как множество А замкнуто, то х Е А. Наконец,Iy - xl == lim Iy - x nk I == r == dist(y, А).k-HX)Обратно, пусть х Е А. Предположим, что хэтомIz -tf- А,тогда х Е А', приdist(x, А) == о. По предположению существует такое z Е А, чтоxl == о, т.
е. х == z Е А. Полученное противоречие доказывает, чтомножество А замкнуто.Пусть у3.91.==Dо игде элементы е n определены в решении задачи3.21. Множество А замкнуто (доказывается аналогично решению задачи 3.21) и dist(O, А) ==== 1, н о р (О, (1 + 1/ n ) е n ) == 1 + 1/ n > 1 при всех n. D3.92. Пусть х, у Е Н - произвольные точки. Тогда по определениюпорождённой нормы выполнены равенства+ Yl12 + Ilx - Yl12 == (х + у' х + у) + (х - у' х - у) ==== ((х, х) + (х, у) + (у, х) + (у, у)) + ((х, х) - (х, у) - (у, х) + (у, у)) ==== 2(х, х) + 2(у, у) == 211xl1 2 + 211Y112.IlxD3.93. Рассмотрим произвольную последовательность {Уn}, уn Е НО,для которой Р(Уn, х) -----+ d == dist(x, Но).
При меняя тождество параллелограмма (см. задачу 3.92) к элементам х - уn И Х - Ут, получим, чтоТ акIlx -какподпространствоuлинеино,Ут+2 УnЕи110,следовательно,Ут ; Уn 1 ~ d. Если теперь задано Е > О, а т и n столь велики,что Ilx - Ynl1 2 ~ d2+ЕИ Ilx - Ynl1 2 ~ d2Ilyn - Yml1 2 ~ 2(d 2 + Е)Темтосамымтальна,ивУа Е НО С Н.3.94.мы доказали,что+ Е,то+ 2(d2 + Е)- 4d == 4Е.2последовательностьсилу замкнутости НОона сходится{Уn}фундаменк некоторой точкеDПусть точки уn Е НО образуют минимизирующую последовательность, т. е.Ilyn - xllзадачи-----+d == dist(x, Но).Тогда в силу результата3.93 выполнено условие уn -----+ уа Е НО, причём по свойствамнормы Ilx - Yoll == lim Ilx - Ynll == d, т.
е. расстояние достигается в точn----+ооГл.3.Множества вке Уа. Если Уа и УЬIR nи других метрических nространствахдве точки, на которых достигается расстояние,-то последовательность {Уа, УЬ, Уа, УЬ,минимизирующая и в силу... } -результата задачи 3.93 сходится, откуда следует, что УаПусть Н3.95.-==УЬ.Dвещественное гильбертово пространство, Наего замкнутое подпространство, х Е Н\достигаетсяпроизвольнуюна59точкеУа.Рассмотрим-На и расстояние х до НаточкуzЕ Наи квадратный трёхчленТак какt ==Оточка минимума этого трёхчлена, то (х--Уа,z) ==о.D3.96. Пусть L == С([О, 1]) иЕ\={ЛХ) Е С([О, 1]):1f f(x)(2x - 1) dxо}.=аВидно, что Е 1 -Еf(x)чтоL\замкнутое подпространство вL.Рассмотрим функциюЕ 1 • Предположим, что мы нашли такую функциюg(x)dist(f, Е 1 ) == Ilf - gll == d > о.Е Е1 ,Положимh(x) == f(x) - g(x).
Предположим, что существует такаяточка ха Е [0,1], что Ih(xa)1 < d. Тогда, поскольку h(x) Е С([О, 1]),то существуют такие д > О и r > О, что Ih(x)1 < d - r при х ЕЕ [ха - д,Ха + д] == 16 С (0,1). Нетрудно выбрать функцию t(x) Е Е 1 ,дЛЯ которой t(x) == h(x) при х Е [0,1] \ 16. Пусть Ilt(x)11 == а > о.Положим g\ (х) = g(x) + 2(0;: 1) t(x); тогда g\ (х) Е Е\. Обозначимh\(x)=f(x) - g\(x)Ih\(x)1(1-=а для точек х Е=h(x) - 2(0;: 1) t(x). Если х Е [0,1] \18, то2(0;:1)) Ih(x)1 ~ d (1- 2(0;: 1)) < d,16 выполнено условиеIh\(x)1 ~ Ih(x)1+ 2(0;: 1) It(x)1 < d - , + 2(o;r~ 1) ~ d - ~ < d.Ilf - glll < d == Ilf - gll,ПоэтомуТаким образом,непрерывна, тоIh(x)1 == dлибо h(x)и мы пришли к противоречию.при всех х Е [0,1]. Поскольку функция h(x)d,либофункции лежат в Е 1 , следовательно,h(x)-d на [0,1].
Но обе этии f(x) Е Е 1 • Полученное противоречие доказывает, что расстояние отfдО Е 1 не достигается.3.97. Рассмотрим пространство V == С([О, 1]) х Н, где Н бертово пространство, т. е.и8 Е Н,с нормойVсостоит из парII(t, 8)11 == Iltll c + 11811H.(t,8),Пусть Е 1 -гдеtDгильЕ С([О,1])подпространствов С([О, 1]), описанное в решении задачи 3.96, а Н 1 -произвольноеГл.60Множества в3.IR nи других метрических nространствахvi == Е 1 Х Н 1 • Нетрудноvi - его замкнутое подпрозамкнутое непустое подпространство в Н ивидеть, что В-банахово пространство, аточек вида== (0,8), где 8 Е Н\Н 1 , то (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
