1610912311-3cbc5b34357e1bf98e493aa337af68a6 (824698), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Пустьj(x) -1- j(z).r2(x) == r2(z),различнымитаккакх Е Авсилурезультата задачи 2.6 множество Q2 счётно, то А не более чем счётно,а значит, и образ j не более чем счётен.D2.54.1== -,nРассмотрим на интервале1если - - 1 ~ хn+1<-ряет условиям задачи.nD(0,1)при некоторомследующую функцию:nЕN.Функцияjj(x) ==удовлетво-ГлаваМНОЖЕСТВА В3И ДРУГИХ МЕТРИЧЕСКИХIRnПРОСТРАНСТВАХМетрическим nространством называется пара (М, Р), где Ммножество, а функция Р:Мх М -----+ [О,(0)-(метрика) удовлетворяетследующим условиям:1.2.Р(Х, у)Р(Х, у)====О тогда и только тогда, когда Х==у;р(у,Х) для любых Х,у Е М;з.
Р(Х, у) ~ Р(Х,z)+ p(z, у)для любых Х, у,zЕ М (неравенство треугольника).Если Х Е М иr >О, то открытым шаром радиусаB r (Х) == {у Е М: Р( Х, у) < r},шаром - множество Br(x) == {у Еrс центром Хназывается множествоа соответствую-щим замкнутымМ: р(х,у) ~r}.Открытый шар с центром в точке х называют также окрестностьюточки х.МножествоGс М называется открытым, если вместе с каждойсвоей точкой оно содержит некоторый шар с центром в этой точке.В частности, пустое множество открыто.
Множествося замкнутым, если МFс М называет\ G открыто.Если множество А с М представимо в видеnG00А==n ,n=1где множестваGnоткрытые, то скажем, что А-множество типаGfy.Если множество А с М может быть представлено в виде00А==U рn ,n=1где множества рn замкнутые, то будем говорить, что Амножество-типа Ра-. Аналогично можно определить множества типовGfya-,Ра-Ьи т.д.Последовательность Х=={х n } ~= l' Х N ЕМ, называется фундаментальной, если для каждого слюбыхn, т > NСкажем,что>Осуществует такой номервыполнено неравенство р(х n , Х т )limn----+ооХn==Х,где Хивсе Х nпоследовательности {х n }), если для любого смерN,что при всехn>N>ОN,что для-предел< с.изМ(хсуществует такой но-справедливо неравенство р(х n , х)< с.ЕслиГл.3.Множества вIR nи других метрических nространствах31каждая фундаментальная последовательность в (М, Р) имеет предел,то метрическое пространство (М, Р) называется полным.Если А - подмножество в М, а точка У Е М такова, что для любогоr > О множество (Br(y) \ {У}) А непусто, то У называется предельнойточкой множества А.Множество всех предельных точек А обозначается через А'.
Замы-nuканием множества А называется А == АА'. Если А == М, то скажем,что А - всюду плотное в М множество. Если А' == А, то А называетсясовершенным.Метрическое пространство (М, Р) называется сеnара6ельным, еслив нём существует не более чем счётное всюду плотное множество.Если множество А таково, что для любого шарах Е М существует шарBt(y)сBr(x),Br(x)с центромне пересекающийся с А, то Аназывается нигде не плотным в М.Если множество А представимо в виде00А==U Аn ,n=1где А n -нигде не плотные множества в М, то А называется множеством первой категории (Бэра) в М. В противном случае А называется множеством второй категории (Бэра) в М.Если точка х Е А с М такова, чтоr >Br(x)пА=={х} для некоторогоО, то х называется изолированной точкой А.
Если х Е А такова,что для любого r>ОмножествоBr(x)пА несчётно, то х называетсяточкой конденсации множества А.Точка х называется внутренней точкой множества А,если Асодержит некоторую окрестность этой точки. Совокупность всех внутренних точек множества А называется его внутренностью и обозначается через А О.Скажем, что множество А ограничено, если существует такая постоянная С> О,что р(х, У) ~ с для любых х, У Е А.Если А, В с М и х Е М, то расстояние от х до А определяется какdist(x, А) == infуЕАdist(A, В) ==dist(x, А) ==infхЕА,уЕВр(х, У), а расстояние между А и В-какр(х, У).
Если найдётся такая точка Уа Е А, чтор(х, Уа), то мы будем говорить, что расстояние от точки хдо множества А достигается (в точке Уа). Аналогично расстояние между А и В достигается, если найдутся такие точки Ха Е Аи Уа Е В, чтоdist(A, В) == Р(ха, Уа).Пусть L линейное пространство над полем К (где К == IRили К == С), а функцияL ----+ [0,(0) удовлетворяет следующим11.11:условиям:1.
Ilxll == О тогда и только тогда, когда х == О;2. Ilлхll == Iлlllхll для любых х Е L и л Е К;Гл.323.Множества вIlx + yll3.Ilxll + Ilyll~Тогда пара(L, 11 . 11)IR nи других метрических nространствахдля любых х, У Е L.называется нормированным (линейным) про11 . 11 -странством, а функциянормой. Заметим, что любое нормированное линейное пространство порождает метрическое пространство(L,Р), где р(х, У)==Ilx - yllдля всех х, У Еметрика, порождённаяL -нормой.Если Е-линейное пространство, А с Е, а Еото множество Аn Ео-подпространство,называется сечением множества А подпространством Ео .Гиль6ерmовым nросmрансmвом называется пара (Н,==линейное пространство над полем К (где Кция(-,.) :IR(., .) ),==или Кгде Н-С), а функН х Н -----+ К, называемая скалярным произведением, удовлетворяет следующим условиям:(х, х) ~ О при1.==при хвсех х Е Н,иравенствоимеет место лишьО;2.
(х, У) == (У, х) при всех х, У Е Н (здесь черта означает комплексное сопряжение);3.(х+ У, z) ==(х,+ (У, z)z)при всех х, У,zЕН;4. Н полно относительно nорождённой нормыВсюдуниженормированныепространстваIlxll ==J(x, х) .рассматриваютсякакчастный случай метрических пространств. Если нормированное пространство полно относительно порождённой метрики,оно называется 6анаховым.
Приведём наиболее важные примеры банаховых пространств.1.IRn -пространство,гдеn ~ 1, обычно с евклидовой нормойnIlxll2.lpПространства{х ==lp{Xn}~=1:Пространствоloo=(Еl x~) 1/2.последовательностей. Еслиоо}EllxnlP < 00с нормой1~Ilxll pр< 00,( EllxnlP00=то)l/р.(иногда используются другие обозначения) определяется как множество всех ограниченных последовательностей с нор-мойIlxll oo == SUp Ixnl.n3.С([а, Ь])-с обычной нормойпространства непрерывных функций на [а, Ь] С11111 ==шахХЕ[а,Ь]11(x)l.IRnАналогичные пространства мож-но рассматривать на неограниченных интервалах вIRn(конечно, в этомслучае следует брать только ограниченные функции и заменить шахнаSupв определении нормы).Ещё один важный пример нормированных пространствнальные Lp(E)-пространства-будет рассмотрен в гл.13.-функциоГл.Множества в3.Множество А сIR nи других метрических nространствахЗЗназывается выпуклым, если для любых Х, у Е АLи для любого числа а Еточка ах(0,1)+ (1 -а)у принадлежит А.Система множеств {G w }WEr2 называется nокрытием множества А,еслиА сU Gw ·wEr2Если всекрытиеGwоткрытые, то и покрытие называется открытым.
Погде [2' С [2, называется nодnокрытием исходного{Gw }WEr2!,покрытия.ЗАДАЧИ3.1.Доказать, что любая сходящаяся последовательность в метрическом пространстве фундаментальна.3.2. Пусть А -множество в метрическом пространстве (М, р).Доказать, что множество А замкнуто.3.3.Пустьзамкнутое подмножество метрического пространF -ства (М, р). Доказать, что3.4.Пусть АДоказать, что АА.3.5. Доказать, что если (L,Х ЕLи r> О,то(это эквивалентно тому, что р' с р).множество в метрическом пространстве (М, р).-==F == F11 . 11) -нормированное пространство,Br(x) == Br(x).3.6. Доказать, что если (М, р) - метрическое пространство, Х Е Ми r> О,то множествоBr(x)замкнуто.3.7. Доказать, что если (М,р) - метрическое пространство, Х Е Ми r> О,тосBr(x)Br(x).3.8.
Построить метрическое пространство (М, р) и такой шар B r (х)в нём, чтоBr(x) -1- Br(x).3.9. Пусть А - множествов метрическом пространстве (М, р).Доказать, что А' замкнуто.3.10. Пусть {Gw } wEr2система открытых множеств в метриче-ском пространстве (М, р). Доказать, что множествоG ==U Gwтакже открыто.3.11.ПустьG 1 , ••• , G n-конечноечислооткрытыхв метрическом пространстве (М, р). Доказать, чтоn2открытое множество.п. л. Ульянов и др.множеств34Гл.3.Множества вIR nи других метрических nространствах3.12. Построить такую последовательность {Gn}~=lмножеств из интервала (0,1), что множествооткрытых00не будет открытым.3.13.
Пусть {Fw } wEr2система замкнутых множеств в метриче-ском пространстве (М, р). Доказать, что множествозамкнуто.3.14.ПустьР1 , ••• , Рnконечный-наборзамкнутыхмножествв метрическом пространстве (М, р). Доказать, что множествоnF ==U Fkk=lзамкнуто.3.15. Построить последовательность {Pn}~=1 замкнутых множествна [О, 1] такую, что множество00с==U Fkk=lне будет замкнутым.3.16. Пусть (М, р)множество в М иоткрыто, а3.17.F -метрическое пространство,G -открытоезамкнутое множество в М. Доказать, что G \FF \ G замкнуто.Пусть дана система множеств А 1 , ••• ,А n в метрическом пространстве (М, р). Доказать, чтоnU A~.k=l3.18.Пусть даны множества А 1 , ••• ,А n в метрическом пространстве (М, р).
Доказать, чтоnU Akk=ln==U Ak .k=l3.19. Построить множества {Ak}~=l на отрезке [0,1], для которых0000U A k -# U A k .k=lk=lГл.3.20.3.Множества вIR nТеорема Больцано-ВеЙерштрасса. Пусть Аограниченное множество в3.21.А\}Rn.Доказать, что А'-35бесконечное#- 0.Построить бесконечное ограниченное множество А в банаховом пространстве3.22.и других метрических nространствахl2,Пусть А-не имеющее предельных точек.произвольное подмножество}Rn.Доказать, что}Rn.Доказать, чтоА' не более чем счётно.3.23.Пусть А-произвольное подмножествоесли А' не более чем счётно, то А также не более чем счётно.3.24.ностиПостроить в банаховом пространствеконтинуума,3.25.Пусть АlCX)множество А мощне имеющее предельных точек.-множество в метрическом пространстве (М, р).Доказать, что А" с А'.3.26.
Пусть А" == (А')', А(З) == А'" == (А")' и т. д. Построить такоеА с [а,Ь], что А'#- 0и А"==0.3.27. Пусть n > 1. Построить такое А с [0,1], что А(n)и А(n+l)==#-00 (см. обозначения в задаче 3.26).3.28. Построить такое А с [0,1], что А(n) \ А(n+l)#-0 для всехn Е N (см. обозначения в задаче 3.26).3.29.Построить счётное множество А с [О, 1], которое имеет континуум предельных точек, но не содержит ни одной из них.~3.30. Пусть (М, р) - полное метрическое пространство, B r1 (Хl) ~B r2 (X2) ~ Вrз(ХЗ) ~ ... - последовательность вложенных непустыхзамкнутых шаров с радиусамиr n -----+ О при n -----+00.Доказать, чтосуществует единственная общая точкаn Brn(xсх){Х}==n ).n=13.31.Построить полное метрическое пространство (М, р) и последовательностьB r1 (хl) ~ B r2 (Х2) ~ В rЗ (ХЗ) ~ ...
вложенных непустыхзамкнутых шаров, не имеющих общей точки.3.32.Построить два шараB r1 (хl) С B r2 (X2) в некотором метрическом пространстве, для которых3.33.Доказать, что если(L,rl > r2.11 . 11) -нормированное пространствои два замкнутых шара вложены друг в друга:rl~r2 -Ilxl -B r1 (Xl) с B r2 (X2), тоХ211. Доказать аналогичное утверждение для открытыхшаров.3.34.Пусть~ ВrЗ(ХЗ) ~(L, 11·11) - банахово пространство, B r1 (хl) ~ B r2 (X2) ~... - последовательность вложенных непустых замкнутыхшаров. Доказать, что существует общая точка этих шаров.2*36Гл.3.35.3.IR nМножества ви других метрических nространствахПусть Р1 ~ Р2 ~ ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
