1610912311-3cbc5b34357e1bf98e493aa337af68a6 (824698), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Доказать, чтофункция тS.-----+ [О,la, blЬ- а, является а-аддитивнойа-аддитивная мера на полукольце-щая только конечные значения, множества А, А 1 , •••S, причём А 1 ~ А 2 ~ ... иS, принимаю,Ai , ...принадлежатnA00А==i·i=lДоказать, чтоm(А)== .1im m(A i ).~----+ooЭто свойство меры называется непрерывностью.6.14.А, А 1 , ... ,Пусть тA i , ...из- мера на кольце RR, что А 1 ~ А 2 ~ ...и для любых таких множестви00выполнено равенствоm(А)== .1im m(A i ).~----+ooДоказать, что т является а-аддитивной мерой на6.15.R.Построить при мер меры на полукольце, которая не являетсяа-аддитивной.6.16.Показать, что утверждение задачиведливым для6.17.А, А 1 , ... ,мерыПусть тA i , ...изможет не быть спрана полукольце.S,а-аддитивная мера на полукольцепричём А 1 С А 2 С ...
и00А==UAi .i=lДоказать, чтоm(А)== .1im m(A i ).~----+oo4*6.14S,множестваГл.1006.18.А, А 1 , ...- мера на кольце RR, что А 1 С А 2 С ...Пусть тиз,Ai , ...Меры на системах множеств6.и для любых таких множестви00АU Ai ,==i=1выполнено равенствоm(А)== .1im m(A i ).~----+ooДоказать, что т6.19.ся дляа-аддитивная мера наR.Показать, что утверждение задачимеры6.20.-6.18может не выполнятьна полукольце.Пусть Асчётное множество, а М-а-алгебра всех под-множеств А.
Привести пример конечной а-аддитивной меры на М, неравной нулю ни на каком непустом подмножестве в А.6.21. Пусть дано полукольцо В== {[а,Ь): -0о<а<Ь<0о}U{0},g(x) - неубывающая непрерывная слева функция на IR, а функцияm g : S -----+ [О, (0) определена формулой mg([a, Ь)) == g(b) - g(a). Доказать, что6.22.mgявляется а-аддитивной мерой на В.Пустьна полукольце-та-аддитивнаяS == {[а,Ь): -00<мераа ~ Ь<сконечнымиоо}U {0}.значениямиДоказать, чтосуществует такая неубывающая непрерывная слева функциячто m([а, Ь))6.23.== g(b) - g(a)Пусть n ~1иg( х)на IR,для каждого полуинтервала [а, Ь) Е В.S -полукольцо всех промежутков (замкнутых, открытых, полуоткрытых)lа, Ьl == lаl, b1lгде Ах ...
хх ... х [О;n,== [0;,;3] == [0;1, ;31]lа n , Ь n l;3n] -Пусть такжес А,замкнутый промежуток вIRn.nm( lа, Ьl) == m n (l а, Ь l) ==П (b i - ai).i=1Доказать, чтоmnявляется мерой на В. Построенная мера т называется классической мерой на А.3а м е ч а н и е. Мера, определённая в задачеслучаем этой меры приn6.12,является частным== 1.6.24.Доказать, что мера т из задачи6.25.Пусть mlи m2 -6.23является а-аддитивной.меры на полукольце В, а числа а и Ьнеотрицательны. Доказать, что функция аmlна В. В случае, когда обе меры, ml иm2,+ Ьm2является меройа-аддитивны, эта мера тожебудет а-аддитивной.6.26.кольцо,Пусть т-содержащеемера на полукольце В,S(см.задачиR(S) -минимальное5.22, 5.31) и функция v : S -----+k-----+[0,(0)n {+оо}определена на множестве А==U Aj ,j=1гдеAjЕ В,Гл.Меры на системах множеств6.101формулойДоказать, что функцияДоказать,6.27.накорректно определена на В.что функцияизvзадачи6.26являетсямеройR(S).Построить пример такой алгебры6.28.Rlv=={А Е R: m(А)О}==Rс мерой т, что системане алгебра.-6.29.
Доказать, что если мера т на полукольце S а-аддитивна, томера v (см. задачи 6.26-6.27), определённая на минимальном кольцеR(S),также а-аддитивна.Доказать, что для любой меры т на полукольце6.30.ет единственная мера ер на минимальном кольцещая условиям ер(А)R(S),Sсуществуудовлетворяюm(А) для всех А Е В.==РЕШЕНИЯ6.1. Пусть Х == {аl, а2, аз, а4},S == {0, {аl}' {а2}, {аз}, {а4}, {аl, а2}, Х},ер(0)==О,ep({ai}) == 1Нетрудно видеть, чтодляi == 1,2,3,4, ер({аl,а2}) == 2 и ер(Х) == 5.полукольцо и ер удовлетворяет условиямS -задачи. В то же времяиер(Х)== 5 -14 ==4L ер( {ai}),i=lпоэтому ер6.2.-не мера.Так какS -Dполукольцо, тоА == в u(U Aj ),J=2где все множестваAjпринадлежат В. Отсюда следует, чтоnm(А)==m(В)+ L m(A j )~ m(В).j=2D6.3.Так как по определению меры наидется множество А Евенство< +00, то вm(0) < +00.m(0) ==о.с m(А)Dсилу результата задачиДалее,m(0) == m(0S6.2 выполнено нераU 0)== 2m(0),поэтомуГл.102Так как6.4.6.Меры на системах множествполукольцо, то5 -в = (А n В) u (у BгдеЕBjj == 2,3, ...
,n.при5j ) ,ТогдаА u В == А u (U Bj ) .J=2Отсюда получаем, чтоnu В) == m(А) + Lm(Аm(Bj ) == m(А)+ m(А n В) +j=2n+Lm(Bj) -m(Аn В) == m(А) + m(В)- m(Аn В).j=2D6.5. ЕслииА(А==чи6.2даследует,m(В)==6.6.житА LВЕ5,u(АnВ).В)\выполненочтоусловиеm(А)==n В) == m(А).m(Атоm(Аnm(А5в(А L==силуА ЕрезультатаВ) ~ m(А L В)В).nВ)Аналогично==о.5задаОтсюполучаем,чтоD51. Если множества А и В изнец, пусть А и А l из\в\Далее,В силу результата задачиимеет место оценка m(ААn В)6.3 пустое51, то В силу~ m(А)==множество принадлерезультата задачио, поэтому АnВ6.2Е 51.
Накои А l С А. ТогдаА == А l U (U Aj ) ,J=2гдеm(A j5для) ~ m(А)лежатА,ЕAj51.6.7. ВВ Е Rl ,==j == 2,3, ... ,n.О для каждогоСогласноj,задаче6.2получаем,поэтому все множестваAjчтопринадDсилу результата задачиuВL Вчто m(А u В) == о. Так как А L В с А u В, то в силу результата задачи 6.2 мера множества (А L В) равна нулю, поэтому А L В Е R l . D6.8.то АЕRи А6.6 система R - полукольцо. ЕслиЕ R. Используя задачу 6.4, получаем,Существуют (см. задачуся множества В l , ...
, B s5.19) такие попарно не пересекающиеЕ 5, что каждое из множеств А l , ... , А n , АГл.6.Меры на системах множеств103может быть представлено как объединение некоторых изBj. Пустьиi == 1,2, ... , n, где П i С {1, 2, ... , s} при i == О, 1, ... , n. Так какприnU Ai ,А сi=1то можно считать,чтоn{1,2, ... ,s}==U Пi .i=1Тогдаnsni=1i= 1 jЕП~j=1D6.9.Как было доказано в задачеА n + 1, ... ,Ak5.18, существуют такие множестваЕ В, чтоkА==U Ai ·i=1Поэтому получаем, чтоkm(А)==nLm(A i )~i=1Lm(A i ).i=1D6.10.Для любогоNвыполнено условиеNU AiС А,i=1поэтому в силу результата задачи6.9имеет место неравенствоNm(А) ~Lm(A i ).i=1Таккаксуммы.NDпроизвольно,тонеравенствоверноидлябесконечнойГл.1046.11.следуетМеры на системах множеств6.Достаточность данного условия для а-аддитивности меры тиззадачиДокажем6.10.егонеобходимость.Пустьта-аддитивная мера на В, множества А, А 1 , ••• , А n , ...
принадлежатSи00U Ai .А еi=1в силу результата задачиi-lk~j=1k=1U A j == U Bi,kAi \i == 2,3, ... ,при==где всесуществует представление5.19Bi,kЕ В. Положим формальноА 1 • ТогдаА==0000k~i=1i=1k=1тА==k~00k~i=1k=1L Li=1k=1и В 1 ,1==U(A i n А) == U U (Bi,k ПА),и мы получаем (см. задачу00k 1 == 1что6.9),m(Bi,kn А)L L~00m(Bi,k) ~Lm(A i ).i=1D6.12. Ясно, что т(А) ~ О для любого А Е В. ЕслиrU lak,bkl,la,bl ==k=1то можно считать, что промежутки {lak,bkl}~=1 удовлетворяют условиям а==аl ~ Ь 1==а2 ~ ...
~m(la, bl) == Ь - а ==br ==ь. Отсюда следует, чтоrrL(bk - ak) ==k=1поэтому т-Lm(lak, bk l),k=1мера. Докажем её а-аддитивность. Пусть00lа, Ьl == U lai, bi l·i=1Зафиксируем произвольное Ее>О И выберем такой отрезокЕ-la,bl, что т([о;,;3]) > m(la,bl) - 2' и такие интервалы=> lai,bil, что m((O:i,f1i)) < m(lai,bil)00[0;,;3]е+ 2i~1 для i Е N. Так какU (o;i, ;3i),i=1[0;,;3] е(O;i,;3i) ::JГл.6.Меры на системах множеств105то по лемме Гейне-Бореля можно выбрать конечное числоNинтервалов (O;i, fЗi), которые покрывают отрезок [о;, fЗ].
При меняя задачу 6.8,получим,чтои, так как Е>О произвольно, то00m(la,bl) ~ Lm(lai,bil)·i=1Следовательно, в силу результата задачи6.11мера т а-аддитивна.DЗаметим, что6.13.j~A i \ A i + 1 ==U Bi,jj=1дляiЕN,где вседля любогоiBi,jпринадлежат В. ИмеемиПоэтому00m(А 1 )==m(А)+Li=1j~00L m(Bi,j) == m(А)j=1+ L(m(Ai ) -m(A i +1)) ==i=1N-l==m(А)+lim LN ----+00(m(A i ) - m(A i +1)) ==i=1==откуда следует утверждение задачи.6.14.Пусть множества В, В 1 , ••• ,00в==m(А)-lim m(A NN----+ooDBj, ... принадлежатU Bj .j=1+ m(А 1 )Rи),Гл.1066.Меры на системах множествОпределим множестваl == 2,3, ...приТак как С2 ~ СЗ ~ ...
иn00==Cl0,l=2томыполучаем,lim m(Cl ) == о. Есличтонашлосьтакоеn,чтоl---+oo00m(В n )==+00, то заведомо m(В)==Lm(Bj).В противном случаеj=1m(C1)= m(В)О==l-1)- т ( Ыl B jm(В)Ит- liml---+ool-1U Bj)( . 1m(В)==-L00. 1J=m(Bj ).J=D6.15.отрезкаРассмотрим множество[0,1],полукольцополукольцо Sпересечений[о,1]-всех рациональных чисел из== {la, bl n Q[O;I]:промежутковm( lа, Ьl n Q[O;I]) == Ь -точек) и функциюДокажем, что тQ[o; 1]со ~ а ~ Ь ~множествома. Ясно, что1} u {0}(т. е.рациональныхS - полукольцо.мера на В. Действительно, из плотности Q[O;I] наследует, что еслиnU (lak, bk l n Q[O;I]),la, bl n Q[O;I] ==k=1тоn[а; Ь)==U [ak, bk),k=1и в силу результата задачиМножество Q[O;I]m([rn , r n ]) ==6.12счётно,о для любогоn.функция тпусть Q[O;I]Поэтомуи т не является а-аддитивной мерой.D-==мера.{rn}~=I.Заметим,чтоГл.Пусть6.16.и тSв решении задачиМеры на системах множеств6.6.15.107полукольцо и мера на нём,-Пусть А, А 1 , •••nA,Ai , ...ЕSпостроенныеи00А==i·i=1Если Апри== la, blnQ[O;I] иA i == lai, bilnQ[O;I] дляi Е N, то air а и bi 1 Ь00.
Следовательно,i -----+.1im m(A i ) == .1im (b i - ai) == Ь - а == m(А).~----+oo~----+ooНо в решении задачи6.156.17. Если m(А n ) ==показано, что мера т не а-аддитивна.+00 при некоторомn,то утверждение верно.В противном случае рассмотрим разложениеj~Ai+ 1 \ Ai ==U Bi,jj=1дляiЕдлякаждого ~,N,где все множестваBi,jпринадлежат В.
ТогдааПоэтому00m(А)==m(А 1 )j~00+ L L m(Bi,j) == m(А 1 ) + L(m(Ai+ 1) - m(A i )) ==i=1j=1i=1D6.18.Пусть множества В, В 1 , ••• ,00в==Bj, ... принадлежатU Bj .j=1DRиГл.1086.Меры на системах множествОпределим множестваzU BjC z ==ЕRj=1для т ЕN.Так как С 1 С С2 С ... и00U C z == В,[=1томыполучаем,чтоm(В) ==lim m(Cz) == lim[---+ооm(u[---+оо.J=1Bj )f: m(B=. 1j ).J=D6.19.При мер тот же, что и в решении задачианалогично.6.16.ДоказательствоD6.20. Пусть А == {аl, а2, ..
.}. Для любого Т с А положимm(Т)L==2- i .i:a~ETПоскольку сумма абсолютно сходящегося ряда не зависит от порядкасуммирования и способа группировки его членов, то т является корректно определённой конечной а-аддитивной мерой на А1.6.21.То, чтоmgDмера, проверяется так же, как и в задаче-6.12.Докажем её а-аддитивность. Пусть00[а, Ь)U [ai, bi ).==i=1Зафиксируемпроизвольное Е6,61, ... , 6i, ...так, чтобы>ОИвыберемсIg(b) - g(b - 6)1 < "2положительныеиIg(a n )-числа-6i)1 <Nтакихg(a n< 2i~1 для i Е N.
Так как00[a,b-6]топо леммеинтерваловГейне-Бореля(ai - 6i, bi ),сU(ai -6i,bi ),i=1можнонайтиконечное числочтоN[а, Ь- 6) с [а, Ь - 6] сU (ai i=1N6i, bi ) СU [ai i=16i, bi ).Гл.При меняя задачуm([а, Ь))Меры на системах множеств6.получаем, что6.8,== g(b) - g(a) < g(b -и, так как Е>109д)- g(a)Е+ 2 == m([а, Ь -Е+2~д))О произвольно, то00Lm([а, Ь)) ~m([ai, bi )).i=lТеперь а-аддитивность меры6.22.==Пустьвещественнойm([О, х))g(x) ==-m([-х, О))дЛЯхпрямой[а, Ь)выполнено:слевафункцииследует из задачиmg<о.дляЯсно,функцияm([а, Ь))ихчточто>дляDg(O) == О и g(x) ==g(x) - неубывающая наО,для== g(b) - g(a).g( х). Пустьпоследовательность xi r х при i6.11.любогополуинтервалаДокажемнепрерывностьопределённостих>Оидана-----+ 00.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
