1610912311-3cbc5b34357e1bf98e493aa337af68a6 (824698), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Доказать,измерима относительно классической меры Лебега на [а, Ь].f(x)8.28.конечнойДоказать,- измеримое пространство,меры из М и f(x) - конечная измеримаячто функция g(t) == м( {х Е А: f(x) > t}) неПусть (Х, м, м)А- множествофункция на А.возрастает наIRи непрерывна справа в каждой точке.8.29.g(t) ==Построитьм( {х Е8.30.такую[0,1]: f(x)функцию> t}) -Построить функциюf(x)ЕС([О,1]),чтоне непрерывная функция.f(x)Е С([О,1]), дляна [0,1].которой функция[0,1]: f(x) > t}) непрерывна8.31. Пусть (Х, м, м) - измеримое пространство, А Е М, м(А) == 1и f (х) - конечная измеримая функция на А. Построить невозрастающую функцию h(y) на [О, 1], для которой м( {х Е А: f(x) > t}) == м( {у ЕЕ [0,1]: h(y) > t}) при каждом t Е IR.8.32. Пусть f(x) Е С([О, 1]), а невозрастающая функция h(x) на[О, 1] такова, что м( {х Е [О, 1]: f (х) > t}) == м( {х Е [О, 1]: h( х) > t}) длякаждого t Е IR.
Доказать, что h(x) Е С([О, 1]).g(t) ==м( {х Е8.33.[О,1],ср'(х)не==ПостроитьявляющуюсяО п.в. на [О;8.34.непрерывнуюна6*отрезкеПостроить такую функциюM(f(A)) >О, где Мфункцию ср(х)постоянной,длянакоторой1].торого измеримого А с [О,иэтомнеубывающую-1]f(x)Е С([О,1]),меры нуль множествоклассическая мера Лебега.что для некоf(A)измеримоГл.164Измеримые функции8.8.35. Построить такую строго возрастающую функцию f (х) ЕЕ С([О, 1]), что для некоторого измеримого множества А с [0,1] мерынуль множество f(A) измеримо и M(f(A)) > О, где М - классическаямера Лебега.8.36.
Построить функцию f(x) Е С([О, 1]) и измеримое множествоА с IR, дЛЯ которых множество f- 1 (А) неизмеримо относительно классической меры Лебега.8.37.Построить такую функциюрого измеримого А с [О,1]g(x) Е С([О, 1]), что== О множество g(A)с м(А)для некотонеизмеримоотносительно классической меры Лебега.8.38.Построить множество А с [О,которое измеримо относи1],тельно классической меры Лебега, но не является борелевским. Такимобразом, 9J1 \ 818.39.#-е; для классической меры Лебега на IR.Построить функциюЕ С([О,f(x)1]), f: [0,1]----+меримую относительно классической меры Лебега на [О,g(x),для которыхЛебега на [О,-неизмерима относительно классической меры1].8.40.
Пустьи {fn}~=1g(f(x))[0,1] и из1] функцию(Х, м, м)измеримоепространство,А Е Мпоследовательность измеримых на А функций. Доказать,что функцииср(х)== sup fn(x)и1jJ ( х)== inf f n ( Х )nnтакже измеримы на А.8.41. Пустьи {fn}~=1-(Х, м, м)измеримоепространство,А Е Мпоследовательность функций, измеримых на А. Доказать,что функции== lim f n ( Х )9 ( х)иn----+ооh (х) == lim f n ( Х )nтакже измеримы на А.8.42. Пустьи {fn}~=1-(Х, м, м)измеримоепространство,А Е Мпоследовательность функций, измеримых на А. Доказать,что множествоВ=={х Е А:существуетlim fn(x)}n----+ооизмеримо, и что функцияf(x) == lim fn(x)измерима на В.n----+оо8.43.Пусть (Х, м, м)полна,{fn}~=1и----+fn(x)f(x)--измеримое пространство, А Е М, мера Мпоследовательность функций, измеримых на А,п.в. на А. Доказать, что функцияfизмерима на А.Гл.8.44.и {fn}~=lПусть8.Измеримые функции(Х, м, м)измеримое165пространство,А Е Мпоследовательность функций, измеримых на А.
Доказать,-что множествос=={х Е А:существует конечныйf n (х) }limn----+ооизмеримо и что функцияf(x) == lim fn(x)измерима на с.n----+оо8.45. Построить такую функцию f(x, у) на (О, 1)2, что она измеримаотносительно классической меры Лебега на (0,1)2, функция f(xo, у)измерима относительно классической меры Лебега на (О, 1) для каждого хо Е (О, 1), функцияуо) измерима относительно классическойf(x,меры Лебега на (О, 1) для каждого уо Е (О, 1), носр(х)== sup f(x,у)иф (х)УЕ(О,l)== inf f (х, у )УЕ(О,l)неизмеримы относительно классической меры Лебега на(0,1).8.46. Построить такую функцию f(x, у) на (0,1)2, измеримую относительно классической меры Лебега на (0,1)2, что f(xo,y) измерима относительно классической меры Лебега на (О, 1) для каждого хо Е (О, 1),функция(0,1)f(x,Уо) измерима относительно классической меры Лебега надля каждого Уо Е9 (х) == limу----+О+но(0,1),f (х, у )иf (х, у )h (х) == limу----+О+неизмеримы относительно классической меры Лебега на(0,1).8.47. Пусть f(x, у) Е С((О, 1)2).
Доказать, что функции ср(х), ф(х),g(x) и h(x) (см. задачи 8.45-8.46) измеримы относительно классической меры Лебега на8.48.(0,1).Пусть (а, Ь) С IR иА=={х Е (а, Ь):f(x)Е С((а, Ь)). Доказать, что множествосуществует конечнаяf' (х) }измеримо относительно классической меры Лебега на (а, Ь) и чтоизмерима на А.8.49.Пусть (а, Ь) С IR иf(x) -f' (х)конечная функция на (а, Ь), измеримая относительно классической меры Лебега на этом интервале.Доказать, что функции-' ( ) f+ х --1· f(x1тh----+O+измеримы на (а, Ь).+ h)h - f(x)иf' (х) ==-+limf (х + h - f (х )h----+O+hГл.1668.Измеримые функции8.50. Пусть (а, Ь) С IR и f(x) -конечная функция на (а, Ь), измеримая относительно классической меры Лебега на этом интервале.Доказать, что множествоА=={х Е (а, Ь): существует конечнаяf' (х) }измеримо относительно классической меры Лебега на (а, Ь) и чтоизмерима на А.8.51. Пусть В - борелевское множество в IRn, где n ~ 1, аf' (х)f (х) -функция на В, измеримая относительно классической меры Лебега.Доказать, что существует функциякоторой g-1 ( (С,+00]) -g(x),эквивалентнаяf(x)на В, дЛЯборелевское множество при каждом С Е IR.8.52.
Пусть [а, Ь] С IR и функция f(x) Е С([а, Ь]). ИндuкаmрuсойБанаха называется функция g(y) на IR, равная количеству корнейуравненияДоказать,наf(x) == у на [а, Ь]что g(y) измеримаIR.8.53. Пусть хf(x) ==Доказать, чтоffilllf(x)меры Лебега на [О,при некоторых у).... )-десятичное разложение (без9Рассмотрим функцию[0,1).{ОО.' {.g(y) == 00относительно классической меры Лебега(хl, ... ,х n ,==в периоде) точек из(возможно,~:Xi== 6}если Xi-#- 6 привсехi,иначе.измерима и п.в. конечна относительно классической1).8.54. Пусть n > 1, а Мl и Мn - классические меры Лебега на [О, 1]и [О, 1]n соответственно.
Пусть также 9J11 и 9J1n - соответствующиеа-алгебры. Построить такое взаимно однозначное соответствиемежду [О,лежит1]и [О,1]n,что для каждого А с [О,1]множество А принад9J11 тогда и только тогда, когда f(A) Е 9J1n , и если А Е 9J11,то /-L 1 (А)==Мn (! (А) ) .РЕШЕНИЯ8.1.Для каждого С ЕIRвыполнено условиеfA/((C, +00]) == fA 1 ((C, +00]) n А 1 Е М.D8.2.Для каждого С ЕIRвыполнено условие00fA 1 ((C, +00]) ==U fA~I((c, +00]) Е М.i=1Df (х)Гл.8.3.8.Измеримые функции167Заметим, чтоn j-l((i, +00])00j-l({+oo}) ==ЕМ.i=1Далее,j-1({-00})иj-l (IR) ==8.4.(А=А\CQ1 j-1((-i,+00]))\ j-l ({ +оо})) \ j-l ({ -оо})Е М.ЕмDУтверждение вытекает из того, чтоj-l((a, Ь)) == j-l((a, +00]) \(пj-1((b -.
1~=~, +00])).~D8.5. Обозначим ~ == {D с IR: j-l(D) Е М}. Тогда (см. задачу 8.З)IRЕ ~. ЕслиDи С из ~, тоn С) == j-l(D) n j-l(С)поэтому D n С Е ~ и D L С Еиj-l(DДалее, если{D i }-С)j-l(D L~. Это означает, что ~n)Uj-1(D=n=1алгебра.ЕМ.n )n=1Поэтому ~ является а-алгеброй. Более того,8.4-j-l(С),множества из ~, тоj-1(U Dдач== j-l(D) Lв силу результата заи З.I09 система ~ содержит все открытые подмножестваIR.Но по определению борелевекая а-алгебра 81 есть минимальная а-алгебра, содержащая все открытые подмножества IR. Поэтому 81 C~. D8.6.Заметим, чтоj-l((c, +00]) =={< О,Х'если сА,если О ~ с < 1,если с ~ 1.е; ,Но множества е; и Х заведомо измеримы. Поэтому функцияизмерима тогда и только тогда, когда измеримо множество А.j(x)D8.7. Пусть А - неизмеримое подмножество на [О, 1] иЛХ)={х; 1,Тогда для любого с Е IR множествоесли х Е А,если х Е [О, 1] \ А.j-l ( {с}) состоит не более чем из одной точки и, следовательно, измеримо.
В то же время j-l (( 1/2, +00]) ==== А ~ 9Л. DГл.168Для каждого с Е8.8.IR8.Измеримые функциивыполнено условиеDПустьIR. Найдём такую{a nk }~= l' что ank 1 с при k -----+ 00. Тогда8.9.данос Еподпоследовательность00f-l((c, +00]) ==U f-l((a nk , +00])Е М.k=1D8.10.
Для каждого с Е IR множествооткрыто,f- 1 ( (с, +00]) == f- 1 ( (с, +(0))а все открытые множества измеримыской меры Лебега.относительно классичеD8.11. Рассмотрим на [О; 1] функцию Дирихле (см. решение задачи 4.24). Она разрывна в каждой точке, но в силу результата задач 7.64и 8.6 измерима относительно классической меры Лебега.D8.12. Заметим вначале, что функция g(f(x)) конечна на А. ДЛЯкаждого с Е IR имеемРе == (g(f))-I((c, +00]) == (g(f))-I((c, +(0)) ====Так как g( t)-{х Е Х:f(x) Е g-I((c, +оо))}.непрерывная функция, то множество Ее== g-1 ( (с, +(0))открыто и, следовательно, является борелевским.
Тогда в силу резуль-тата задачи 8.5 Ре==f-l(Ее ) Е М.D8.13. Заметим, что функция h(fl(X), ... ,fn(x)) конечна на А. ДЛЯкаждого с Е IR множество G e == {t == (tl, ... , t n ) Е G: h(t) > с} открыто.Пусть Те == G e n Qn И для r Е Те положим p(r) == dist(r, IRn \ G e ). ТогдаОтсюда мы получаем, что{х Е А:(fl (х), ... , fn(x))ЕG e } ==U {х Е А:гЕТеПоэтому (h(fl, ... , fn))-I((C, +00]) Е М.D(fl (х), ... , fn(x))ЕI r } ==Гл.8.14.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
