1610912311-3cbc5b34357e1bf98e493aa337af68a6 (824698), страница 30
Текст из файла (страница 30)
е. сходимости по мере нет.9.11. Пусть fn(x) == х== х. Тогда fn(x) ::::} f(x)- f(x)g(x) == х -/? О приn+ -n1для х Епри n -----+ 00 наn -----+00>ОИr >ОIRи n Еаf(x) == g(x) ==время fn(x)g(x) -N,В то жеIR.на IR.9.12. Пусть fn(x) ::::} f(x) при n -----+ЕDD00найдём такое натуральноена А. ДЛЯ любых заданныхN,что при n ~Nвыполненонеравенством({х Е А: Ifn(x) -f(x)1 > ~}) <~.Тогда прим({х Е А:n, m~Nполучаем, чтоIfn(x) - fm(x)1 >Е}) ~,::; м ({ х Е А: Ifn(x) - f(x)1 > ~}) ++ м ({ х Е А:DIfm(x) - f(x)1 >~}) < ~ + ~= {.Гл.1889.13.9.Сходимость по мере и почти всюдуВыберем вначале по индукции возрастающую последовательность натуральных чисел {ni}:1 так, чтобы для множеств< 2- i .было выполнено условие J-L(В i )n UB00в ==Пустьт=100i·i=mТак както (см.
задачу 7.60) М(В)вательность{!n~ (х) } :==о. Если х Е А\в, то числовая последо1 фундаментальна и, следовательно, существуетконечный предел.1im fn~ (х) == f(x).~----+ooФункцияf(x) измерима на множестве А \ в (см. задачу 8.44). Еслиположить f(x) == О при х Е В, то f(x) будет измерима на А. Докажем,что f n (х) ::::} f (х) при n -----+ 00 на А. Заметим, что если для некоторого т00Uточка х не принадлежит множествуB i , то при i, j ~ т+1i=m+lполучаем,что00Lfn~(x)1 ~IfnJ(x) -2- r == 2- ,тr=m+lоткуда следует, чтоIf(x) -fn~(x)1~ 2- т.
Следовательно, приi ~т+1имеем00J-L ({х Е А: Ifn~(x) - f(x)1> 2-т}) ~LJ-L(В r )< 2-т.r=m+lТеперь для заданных Е>О Иr >о найдём такое числоN,что приn, r ~ N выполняется неравенствоfL ({ хЕ А: Ifn(x) - fr(x) I > ~}) < ~.Затем выберем т так, чтобы 2- т < min (~, ~), и зафиксируемсi~ т+ 1.Тогда приn ~ N получаем, чтоJ-L ({х Е А: Ifn(x) - f(x)1> Е})~ni>NГл.Сходимость по мере и почти всюду9.189~ fL ( { х Е А: If n (х) - f n,( х ) I > ~}) ++ fL ( { х Е А: If n, (х) - f (х ) I > ~}) < ~ + ~f n (х) ::::} f (х)Это и означает, чтоприn-----+ 00 на А.= "D9.14.
Заметим, что х Е А \ Е тогда и только тогда, когда fn(x) f+f+f (х)прикаждого n ~n-----+ 00. Это означает, что для некоторого то1 существует такое k> n,1Ifk(X) - f(x)1 > -.чтотои дляРавенство в формулировке задачи является формальной записью последнегоутверждения.9.15.DВозьмём множестваFk,mиззадачи9.14.Прикаждом т00обозначимGn,m ==U Fk,mдля n ЕN. Тогда G 1,m ~ G 2,m ~ ...
Утверk=nждение задачи состоит в том, что сходимостьfn(x)кf(x)п.в. на Аэквивалентна условиюlim м( Gn,m) == Оn----+оодля каждого натурального т. В силу результата задачи 9.14-----+f(x)п.в. на А тогда и только тогда, когда м(А\Е)==fn(x)-----+о, т. е.Последнее утверждение эквивалентно тому, чтодля каждого т. Так как м(А)получаем,<00, то,7.52, мычтоо == м (п Сn,т)n=1для каждого т Е9.16.используя задачуN.== limn----+оом( Gn,m)DУтверждение немедленно вытекает из задачиления сходимости по мере.9.15 и опредеDх9.17. Пусть fn(x) == - при х Е IR и n Е N, а f(x) == о.
Тогда fn(x) -----+n-----+ f (х) при n -----+ 00 для каждого х Е IR, но f n (х) f? f (х) при n -----+ 00на IR.D9.18. Пример Ф. Рисса. Пусть f(x) == О на [0,1] иCPn,k(X) == X[~ k+l] (х)2п ,2пГл.190приn==О,1, ...и9.Сходимость по мере и почти всюдуk ==О,1, ...
,2 nЗаметим, что для любого на1.-турального т существует единственная пара целых чиселкоторой2 - 1 иfm(x) == CPn,k(X) для т Е N. Тогдаn~ О, О ~nkм({х Епоэтомуf m (х) ::::} О~т== 2 + k.nОпределим функции1[0,1]: Ifm(x)1 > О}) == 2n т~ О,на [О, 1]. с другой стороны, в каждой точке отрезка[О, 1] бесконечное множество членов последовательностиравно О и бесконечное число её членов равноf n (х)расходится в каждой точке х Е [О, 1].м ({х Е А: If nk (х) >Ои дfnk(X)-----+f(x)принайдём такое то, чтополучаем,-1тоk{!m (х)}:= 1откуда следует, что1,D9.19.
Предположим вначале, что м(А) <k Е N выберем по индукции натуральные nkДокажем, что(n, k), для00. Возьмём ПО> nk-l,f( х ) I >~}) <== 1и придля которых21k '>О-----+ 00 п.в. на А. ДЛЯ данных Е<ЕИ12то-1<д. Тогда при т>точто1 })~ М ( k~m Х Е А: Ifnk(X) - f(x)1 > k00{В силу результата задачи 9.15 получаем, что~kZ;m 2k1 =fnk(X)00-----+f(x)12 т - 1 < б.п.в.00Пусть теперь М -а-конечная мера на А, т.
е. А==U Ai ,гдеi=lM(A i ) <00 прикаждомAi .fl,nl(х) -----+i Е N. Так как fn(x) ::::} f(x) на А, то fn(x) ::::} f(x) наПо доказанному выше, существует подпоследовательностьf(x)п.в. наA 1•Далее, эта подпоследовательность сходитсяпо мере на каждомAi ,вательностьсходящуюся Кf2,n2(X),поэтому из неё можно выбрать подпоследоf(x)п.в. на А 2 . Продолжая этотпроцесс по индукции и выбирая диагональную подпоследовательность{fk'nk(X)}~=l' получим, что эта подпоследовательность сходится кп.в. на каждом A i , т.е п.в.
на А.Df(x)9.20. Предположим, что последовательность {sin nх }~=l сходитсяпо мере на [О,к]. Тогда (см. задачу 9.12) существует такое N, что прит, n ~ N выполнено условиеМ({ХЕ [О,7Г]:Isinnx-sinmxl >~}) <110'Гл.191Сходимость по мере и почти всюду9.При этом можно считать, чтоN>С другой стороны, для любого4.[1, ~) имеем2Jrk Jr(2k + 1)].. 2Nх > 21}) >N:Nх [ ]\г ,натурального k ЕМ ({ х ЕI SlllISlll>М2Jrk( [ ]\г1г31Г ] )2Jrk+ 2N' ]\г + 4N1г== 4N·Отсюда следует, чтоfJ({х Е [0,7Г]:IsinNx-siп2Nхl > ~}) > 4~' ~=~>/0'Полученное противоречие доказывает, что последовательность не сходится по мере.9.21.DПусть дано Е> о.ТогдаEn={XE[O,l]:lfn(x)I>E}=((rn - vkE,rn +для n Е N. Поэтому м(Еn ) ~9.22.Пусть дано ЕЕn=> о.2;;:;n=(E~, 1] .-----+ 00 и, следовательно, х n =? О на [о,n>21].имеем{х Е [0,2]: х 2n -х n > l}=DТогдас другой стороны, для каждогоВn-----+ о при n -----+ 00.уnс{х Е [О, 1] : х n > Е}Поэтому м(Еn ) -----+ О приvkЕ)\{rn})П[О,l]=>[~,2],откуда следует, что последовательность {х n } не сходится по мере наотрезке [0,2].D19.23.
Пусть д Е (о, 2). Если х Е [0,1] \ (r n - д,r n2 62e- qnтакое N,~-----+ О приnчто при>Nn-----+ 00. Поэтому для любого Еиз которой следует, что9.24.+ д),>тоfn(x) ~О существуетсправедлива оценкаf n (х)Из решения задачи=? О при9.23n-----+ 00 на [о,и из задачи9.19любого Ха Е [о, 1] найдётся подпоследовательность1].Dследует, что дляfnk(ха) -----+ О приГл.192k9.Сходимость по мере и почти всюду-----+ 00. с другой стороны, для любого простогорациональное Т т == Рт С qm == q, что О <qmIT mfm(xo) == e-q~(rrп-Xo)2 ?-существует такоеqxol ~ !.Тогдаqe- 1 •DВ силу результата задачи9.25.довательность {fnk(x)}~=l' чтоПоэтому f(x) ? О п.в. на А.
DИз задачи9.26.ло n т , для9.19fnk(X)существует такая подпосле-----+f(x)при k -----+00п.в. на А.9.15 следует, что для любого т существует чискоторогоMCQ,J х Е Х: l!k(x) - f(x)1 > ~ })М(Ст ) < 2~'Введём обозначение00Тогда00М(Х \ ЕЕ) ~LJ-L(G m ) < с.m=lДля заданногоприk > nтr >онайдём такое натуральное т, что1-m< [.ТогдаполучаемIfk(X) - f(x)1~1- <rmдля каждогочто и означает равномерную сходимость на ЕЕ.х Е ЕЕ'D9.27.
Пусть fn(x) == X[-n,n](Х) при х Е IR и n Е N. Ясно, чтоf n (х)-----+1 при n-----+ 00 для любого х. В то же времям ({ х E~:для любогося.n,Ifn(x) - 11 >~}) = оспоэтому утверждение теоремы Егорова не выполняетD9.28.По определению а-конечной меры найдутся такие множества00A i Е М, что J-L(А i ) <00и Х==U Ai ·00Положимi=l== XBk(X).Тогдаfn(x)-----+ о в каждой точке, ноB k ==U Aii=kИfk(X) ==Гл.длялюбогоняется.9.Сходимость по мере и почти всюдупоэтомуn,утверждениетеоремы193ЕгорованевыполDПредставим вначале множество А в виде9.29.00где м(А n )<и А2== ... == 0).n Е N (если м(А)<00, то можно взять А 1==АmАз==00 приПустьfm(x) ==О при х ~U Аnиn=1k- 1если ~ ~еслиf(x)kf(x) <2т' где k== 1,2, ...
,22т,~ 2т,mприU Аn .Х ЕДокажем,n=1на А. Пусть тчтоэтапоследовательностьнатуральное число и х Е А. Если-монотоннаfm(x) ==О, тоmfm+l (х)~ О== fm(x).Еслиfm(x) ==U Ak2т, то х Еиf(x)~ 2т,k=lоткуда следует, чтоf т+ 1 (х)~ 2т. Пустьf (х) ==k2т, где 1 ~k < 2т,mU Akтогда х Еиk=lkk+l)_ [2kf(x) Е [ 2т, ~-2т+1'2k2(k+l))2т+ 1fm+l(X) == 2 т + 1 или fm+l(X) ==чаях fm+l(X) ~ fm(x).Докажем теперь, что f m (х) -----+ f (х) при т -----+Следовательно,.2k + 12т+ 1'и в обоих слу-00 для х Е А. Если х ЕтоЕ А иf(x) < +00,то для некоторого то имеем: х ЕСледовательно, при~ то получаем, что00, то для достаточно больших тf(x) ==при тn-----+ 00.U A k и f(x)~ 2 то .k=lIfn(x) - f(x)1 ~ 2- n.
Еслиимеем: fm(x) == 2т -----+ +00D9.30. Пусть f+(x) == max(f(x),O) и f-(x) == -miп(f(х),О). Ясно,что функциина А иf+(x) и f-(x) неотрицательны, измеримы и конечныf(x) == f+(x) - f-(x). в силу результата задачи 9.29 суще-ствуют такие последовательности {fn,+(x)}~=l и {fn,-(x)}~=l' чтомножестваи fn,- (х)7fn,+(A) и fn,-(A) конечны для каждого n, fn,+(x) r f+(x)r f - (х) при n -----+ 00 для любого х Е А. Тогда последова-п. л. Ульянов и др.Гл.194тельностьзадачи.9.Сходимость по мере и почти всюдуfn(x) == fn,+(x) - fn,+(x), nЕ N, удовлетворяет требованиямD9.31. Без ограничения общности будем считать, что f(x) конечнавсюду на [а, Ь].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
