1610912311-3cbc5b34357e1bf98e493aa337af68a6 (824698), страница 31
Текст из файла (страница 31)
В силу результата задачи 9.30 существует такая последовательность {fn(x)}~=l' чтох Е [а, Ь], иfn(x)-----+f(x)fn([a, Ь]) конечна при всех n и всехпри n -----+ 00 на [а, Ь]. Тогдаknfn(x) ==knLan,kXA(n,k)(X),гдеk=lпри всехU А(n, k)[а, Ь],==k=ln Е N. ДЛЯ любых заданных n и k выберем такое замкнутоемножество Р(n, k) с А(n, k), что м(А(n, k) \ Р(n, k)) <ствует в силу результатов задач-n12nk(суще-7.40 и 7.42). ОбозначимknР(n)==U Р(n, k)k=l1n Е N.
Тогда рn - замкнутое множество, и м([а, Ь] \ Р(n)) < 2n прикаждом n. Так как fn(x) постоянна на Р(n, k) при k == 1,2, ... , kn , тоfn(x) Е С(Р(n)). Для заданного Е > О найдём N такое, что 2- N +2 < Е,дляИ обозначимnn=N00в==Р(n).Тогда р,([а, Ь] \ В) < ~ и fn(x) ---+ лх) при n ---+ 00 на В, причёмфункции fn непрерывны на В начиная с номера N. По теореме Егорованайдём такое множество D с В, что р,(В \ D) < ~ и сходимостьравномерна на D. Более того, используя задачи 7.40 и7.42, можно выбрать D замкнутым.
По теореме Вейерштрасса f(x) Е C(D). Наконец,используя задачу 4.22, построим такую g(x) Е С([а, Ь]), что g(x) == f(x)на D. Так как м([а, Ь] \ D) < Е, то 9 - искомая функция. D9.32. Пусть задано Е > о. Разобьём IRn на счётное количествоединичных кубов, пересекающихся лишь по границам:IR n ==u00[k 1 , k 1 + 1] х ... х [k n , kn+ 1] == U1т·т=1На каждом кубе 1т в силу результата задачи9.31можно построитьf(x) -1- hm(x)}) << 2- - Е. Далее, построим такие функции gm(x) Е С(1т ), чтотакую функциют2hm(x)Е С(1т ), что м({х Е 1т:Гл.м({х Е 1т:9.Сходимость по мере и почти всюдуhm(x) -1- gm(x)}) < 2- т - 2 Е и hm(x)195О на границе куба 1т.Определим функции1,при д ~1;1 - д;t/д,при Од;gmt)/д,при~ о,tпри(1 Тогда функцииtо,~t~<t<1- д< t < 1.можно задать следующим образом:nП 1/Jб(m)(Хjgm(X) == hm(x)·- kj ),j=1где д(m) выбраны достаточно малыми. Теперь нетрудно видеть, чтофункцияg(x),задачи.D9.33.равнаяgm(X)на каждом 1т, удовлетворяет условиямНайдём такие функцииЕnгдедляn Е N.fn(x) == f(x)Покажем,fn(x)чтоЕ С([а, Ь]), что{х Е [а, Ь]:==функциявсюду на множестве А nf==f(x) -1- fn(x)},измерима.[а, Ь]\Действительно,Еn .
Поэтомумерима и конечна на каждом А n . В силу результата задачицияff(x)из8.2 функизмерима и конечна и на их объединении, т. е. на множествес дополнением нулевой меры. Но так как классическая мера Лебегаполна, то тогдазадачи8.43).9.34.f(x)измерима на всём отрезке [а, Ь](см. решениеDНайдём, используя теорему Лузина, такие функцииfn(x)ЕЕ С([а, Ь]), чтоЕnгдедляпри{х Е [а, Ь]:==f(x) -1- fn(x)},n Е N. Заметим, чтоkзадачи-----+ 00. Поэтому9.15.9.35.fn(x)-----+f(x)п.в. на [а, Ь] в силу результатаИr > о.Вначале, используя теорему ЛуDПусть заданы Е>Озина, выберемg(x) Е С([-l, 1]) так, что если Е == {х Е [-1,1]: f(x)-I-=1- g(x)}, то м(Е) < ~.
Далее, опираясь на теорему Кантора, выберем nтак, что если Х,у Е7*[-1,1] иIx - yl~1-,nтоIg(x) - g(y)1 < Е.ОбозначимГл.196F=Сходимость по мере и почти всюду9.(Е U (Е + ~)) n [0,1]. Ясно, что м(р) < " и если х Ето Х,х[0,1] \р,1Е [-1,1] \Е, поэтомуn- -D9.36. Мы будемf(x - 1) == f(x) пристроитьфункцию[0,1], считая, чтох Е (0,1]. Для произвольного n ~ 10 положимk-lk-l!1 k n == ( - , -k) и!1 ,k n == (k-l--, - + 21) при k == 1,2, ... , n.,nn'пппОбозначим также fk,n (х) == X~~,п (х). Докажем теперь, что для любогоf(x)на(k-l + 22'~) существует такое натуральное l Е (n,n 2),k- 1fk,n ( - 1) == 1.== - -n-·у Е (~2' ~) .
Следовательно,х Е !1~n, ==чтоХn22n у- 1ппптДействительно,22 2пустьх_n 2 у 22_!_l==nY-nУ -nу+у+l2У(n у - l)у(nоткуда следует, что существует натуральное1ТилиЗаметим, что при этом l>nи l< n 2.Перейдём к построению функцииизвольное nl ~у10,f.l,+у + 1у-l)уLfl (х) ==fk,nl (х)И11< у < т + n2 •На первом шаге возьмём проЕ 1 ==k=1nlU !1~'nl·k=1== 2nт, и пустьf2(X) ==Lfk'n2(X)kEB 2Далее возьмём nз== 2n~, и пустьВзfз(х) ==== {kLkЕВ зЕ [1, nз]: !1~,nз с Е2 },fk,nз(Х)и> О,для которогои пустьnlЗатем возьмём n22ТогдаЕз ==UkЕВ з!1~'nlГл.9.Сходимость по мере и почти всюду197и т.
Д. Наконец, пусть00Lf(x) ==иfi(X)Е==i=1Е 1 ::J Е2 ::J ... и001корректно определенаf(x)индикатор некоторого множества). Так какf(x) -L -i·i=1Так как SUPpfi попарно не пересекаются, то(на самом деле,nE00< 00,то. 1 njJ=м(Е) =Заметим также, чтоlim fJ(E i )~----+oof(x) ===lim~----+ooП(1 -j=1~)зn ·> о.О при хЕЕ. По построению для любогох Е Е и для любого i существует такое li Е (ni, n;), что f (х - l~)Если предположить, что gm(x)f (х- ~)на [0,1], то в силу результата задач 9.16 иg(x) при т ----+9.35 g(x) == f(x)----+00= 1.П.в.п.в. на[0,1]. Следовательно, gm(x) -----+ О п.в.
на Е, что противоречит предыдущим рассуждениям. Таким образом, последовательностьрасходится на множестве положительной меры.D9.37. Найдём{k n } ~=1' чтоприЕn>ОтакуюЕ N. Докажем, чтоИr > о.f n,kвозрастающуюn(х)::::} f (х)приn -----+Тогда можно выбрать натуральное{gm(x)}:=1последовательность00 на А. Пусть даныNтак, чтобыМ({ХЕА: Ifn(x)-f(x)1 > ~}) < ~при n ~N,м({х Е А:~ <~и2- N <~. Если теперь n ~ N, тоIfn,kn(X) - f(x)1 >Е}) ~~ fJ ( { х Е А: If n,kn (х) - f n (Х ) I > ~} ) ++ fJ ({х Е А: Ifn(x) - f(x)1 > ~}) ~~ fJ ({х Е А: Ifn,kn(x) - fn(x)1 > ~}) + ~ <D21n+~ <тГл.1989.38.9.Сходимость по мере и почти всюдуПусть00гдеM(B i )< 00при i Е N.Обозначимприn Е N.Тогда м(А n ) < 00 для любого n и fn,k(X) -----+ fn(x) при k -----+ 00 п.в.на А n , поэтому fn,k(X) ::::} fn(x) при k -----+ 00 на А n .
Следовательно,можно найти такую возрастающую последовательностьfL ({ хfL(D n )приnдомAjЕN.AjчтоЕ А n : Ifn,kn(X) - fn(x)1 > ~}) < 2- nДостаточно доказать, чтоfn,k n(х) -----+f(x)п.в. на каж, тогда и утверждение задачи будет установлено. ЗафиксируемПусть даны Ена{k n } ~= l'>О Иr >о. Так как, то для некоторого натуральноговыполненоj.fn(x) -----+ f(x) при n -----+ 00 п.в.N в силу результата задачи 9.15неравенствоN > j.При этом мы можем считать, чтоТогда выберем К>Nтак,что ~ < ~ и 2- К + 1 < ~, При этоммС9к {х Е A j :Ifn,kJX) - f(x)1 >~ мС9к {х Е A+ мС9к {х< мС9к {хЕAj :j :ЕAЕ}) ~Ifn,kn(X) - fn(x)1 >j :Ifn(x) - f(x)1 >Ifn,kJX) - fn(x)1 >Применяя задачу 9.15, получаем, чтонаAj.f n,k~})n(х) -----+f (х)9.39.
Пусть Q[O;l] == {rk}~=l'={~'<~}) + ~ < n~K 21n + ~ < тDfn(x)~}) +если х Е {rk}~=l;- иначе.приn-----+ 00 п. в.Гл.Тогдаfn(x)-----+Сходимость по мере и почти всюду9.D(x)при199-----+ 00 для каждого х Е [0,1], гдеnD(x) -функция Дирихле.При чётных n построим такие последовательности {fn,k(X)}c;,k=1непрерывных функций, что1]Е [О,f n,k (х)-----+f n (х)приk-----+ 00 для всех х Е(нетрудно построить такую последовательность, например, изкусочно-линейных функций). При нечётных n положимдля произвольногоkЕfn,k(X) == fn(x)N.Предположим, что существует сходящаяся в каждой точке последо-вательность{fn,k n (х) }~=1.
Так как f2j+l,k 2J + 1 == f2j+l (х)дой точке приj -----+-----+D(x) в каж00, то предельной функцией может быть толькофункция Дирихле. Тогда иf2j,k 2J (х)приD(x)-----+j -----+00. Но согласнозадаче 4.36 никакая последовательность {gn(x)}~=1 непрерывных на[О,ле.1]1]функций не может сходиться всюду на [О,к функции ДирихD9.40.Из теоремы Вейерштрасса следует, что существует счётноевсюду плотное множество многочленов {Qk(X)}~=1 в С([О,1]).Р1 (х)Тогда для== Ql (х)любогоИ Рn(Х)== Qn(X) - Qn-l (х)n имеемприn == 2,3, ...ПустьnLPk(X) == Qn(X).k=1Для заданнойтельностьf(x)Е С([О,найдём такую возрастающую последова1]){k n } ~= l' что Qk n (х)-----+f (х)приn -----+равномерно на [О, 1].00Это и означает, чтоknLPk (х)-----+f (х )k=1при n -----+ 00 равномерно на [О, 1].Dk-l ~ f(x)9.41.
Пусть An,k == { х Е А: -nЯсно, что An,k Е М при любых n и k. Пустьfn(x) ==<;k}-n-n Е N и k Еz.тогда+00 k-lLприXAn,k(х)k=-ooпри n Е N. Заметим, что каждая функцияконечна и измеримаfn(x)на А, множество fn(A) счётно И Ifn(x) - f(x)1 ~ ~ при всех х Е А. Тапким образом, последовательность {fn(x)}~=1 удовлетворяет условиямзадачи.DГлава10ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГАв этой главе мы будем считать заданным а-конечное измеримоепространство (Х, М, м) и множество А Е М. Мы будем также считать,что все рассматриваемые функции отображают А в множество IRuu {-оо} U {+оо}.f (х)Пусть конечная функцияопределена на А.
Будем называтьеё простой функцией на А, если она измерима на А, множествоf(A) конечно и, если а Е f(A) и а -1- О, то множество f-l({a}) имеетконечную меру; или, эквивалентно, f(x) - простая функция на А, еслиnLf(x) ==CkXAk(X),k=lгдеAkЕ М,A k n A j ==е; при k-1- jи, еслиCk -1-О, тоM(A k ) <00. Приnэтом можно считать, что Сl<С2< ... <Сп И чтоU Ak==А.k=lЕслиf(x) -простая функция на А видаnLf(x) ==nCkXAk(X),U Akгдеk=l==А,k=lто мы определяем интеграл Ле6ега от этой функции по множеству Аформулой(L)f ЛХ) dfL f f(x) dfL=АА(где, формально, О· 00при==n=LCkfL(Ak)k=lО).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
