1610912311-3cbc5b34357e1bf98e493aa337af68a6 (824698), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Леви (задача10.34),получаем, что0000ff(X)dfJ=L ff(X)XAk(X)dfJ=L f f(x)dfJ·Аk=l Аk=l A kD10.43. Утверждение немедленнодача 10.34) и представленияследует из теоремы Б. Леви (за00f(x) ==Lf(x )XA k(х).k=lD10.44.Возьмём множествав -n-исп ==при[11(1 + n+l1 ))n+l'2 n[!2 (~n + _1 ),~)n+lnn Е N. Определим функцию00f(x) ==L(k+ 1) (XCk(X) - XBk(X)).k=lЯсно, чтоf(x)при каждомk.ЕL(A k )иПри этом множествоf( (О, 1))откуда следует (см. задачу 10.30), что10.45.
Утверждениедача 10.32). Df(x)~счётно ИL((O, 1)).Dнемедленно вытекает из теоремы Б. Леви (заГл.10.Интеграл Лебега227110.46. Пусть fn(x) == n Х(о,n 2 )(Х) при n Е N. Ясно, что все функцииf n (х)интегрируемы по Лебегу на IR ино наIR,nприf n (х)~ о приn~00 равномерно~ 00.D10.47. Так как f(x) . g(x) - измеримая функция на А и (см. задачи 10.21 и 10.24) If(x)· g(x)1 ~ Clf(x)1 Е L(A), то (см.
задачи 10.26и 10.24) f(x) . g(x) Е L(A). Применяя задачи 10.25 и 10.28, мы получаем,чтоJf(x)g(x) dfJ :( JIf(x)g(x) dfJ :( С JIf(x) dfJ·IАIААD10.48. Заметим, что согласно задаче 10.47 функция f(x)· g(x)интегрируема по Лебегу на А. Так какмы получаем, что (см. задачуaf(x)~f(x) . g(x)10.28)JJJАААа Лх) dfJ :( f(x )g(x) dfJ :( (З f(x) dfJ·ЕслиJЛх) dfJ =О,Ато можно взятьr ==а. В противном случае имеемJf(x)g(x)dpа :( А J:( (З,f(x) dMАт. е."у=Jf(x )g(x) dpАJЕ [а, (З].f(x) dMАD8*~ (Зf(х), то10.Гл.22810.49. Пусть= 2x(o,~) (х)1ЛХ) =+ X[~,l) (х),Интеграл Лебега1"2 X(o,~) (х) - "2 XO,l) (х)g(x) -иТогда 1 :( g(x) :( 2 при х Е (0,1),J f(x)dfJ=O(0,1)1и f(x)g(x) = X(o,~) (х) -"2 XO,l) (х),поэтомуJ f(x)g(x) dfJ=~,(0,1)rНо не существует такогоЕ [1, 2], что41 ==О .
[.D10.50. Пусть А 1 == {х Е А: f(x) ~ g(x)} и А 2 == {х Е А: f(x) <g(x)} == А \ А 1 • Тогда f(x) Е L(A 1) И g(x) Е L(A 2 ), откуда следу-<ет,чтоJIh(x)1 dfJ J lf(x)1 dfJ + J Ig(x)1 dfJ <=А1А00,А2DИмеем10.51.Jf(x)dfJ J f(x)dfJ+ Jf(x)dfJ ~=АА\А лАлАлоткуда следует утверждение задачи.10.52.Из задачиfJ ( { хТак как10.51=ЛfJ(А л ),АлDследует, чтоЕ А: f > ~}){х Е А:J f(x)dfJ ~ J лdfJf(x) >О=при каждомn,U{х Е А: ЛХ) > ~},О} =n=1томыполучаем,чтоf: fJ ({х Е А: ЛХ) > ~})м({х Е А: ЛХ) > О}):(=О,n=1Следовательно,f(x) == О п.в.10.53. Пусть А 1 == {х Епоэтомуна А.А:f(x)D~ О}. Тогда А 1 Е М и А 1 С А,Гл.Так какf(x)Вслучай, когдаИнтеграл Лебега229~ О на А 1 , то из задачи 10.52 следует, чтона А 1 • Аналогично,10.54.10.силуf(x)О п.в. на А 2f(x) ==результатазадачи=={х Е А:10.24f(x) ==~ О}.f(x)достаточноО п.в.Dрассмотреть~ О на А.
Пусть00ер (х)==LkXE k (f) (х ) .k=lТогда О ~ ер(х) ~что (см. задачуf(x)+ 1 при~ ер(х)всех х Е А. Отсюда мы получаем,10.30)00f cp(x)dfL L kfL(Ek(f))=k=lАиf ср(х) dfL ~ f Лх) dfL ~ f ср(х) dfL + м(А).АПоэтомуf(x)ЕАL(A)Атогда и только тогда, когда00LkJ-L(Еk(f))< 00.k=lD10.55. Пусть f(x) ==Ek(f) ==е; при всехk1"2при х Е IR.
Очевидно, чтоЕ N.f(x)~L(IR),ноD10.56. В силу результата задачи 10.24 можно считать, что f(x) ~ Она А. Пусть00L XFk(f)(x).k=lh(x) ~ f(x) ~ h(x) + 1h(x) ==Нетрудно видеть, что О ~Тогда (см. задачу10.30)f h(x) dfLАидля любого х Е А.00=LfL(Fk(f))k=lf h(x) dfL ~ f Лх) dfL ~ f h(x) dfL + м(А).АПоэтомуf(x)ЕL(A)ААтогда и только тогда, когда00Lk=lDJ-L(Fk(f)) <00.Гл.23010.57.10.Интеграл ЛебегаПри мер тот же, что и в решении задачи10.55.D10.58.
Можно считать, что f(x) ~ О на А. Пусть В == Fl == {х ЕЕ А: f(x) ~ 1} и С == А \ в == {х Е А: О ~ f(x) < 1}. Ясно, чтоf(x)ЕL(A)тогда и только тогда, когдаПредположим, что М(В)==00. Тогдаf(x) Е L(B)f(x) ~ L(A) ииf(x)ЕL(C).00L~M(Fk (f))M(F1 (f)) ==00,k=lи утверждение справедливо. Пусть теперь М(В)(см. задачу 10.56)f(x)ЕL(B)<00. В этом случаетогда и только тогда, когда00LM(Fk(f)) <00.k=lОпределим функцию00w(x) ==Lk=lдлях Е А.Рассмотрим2- k - 1 ХD k (!)(Х)произвольноех Е С.Еслиf(x) ==о,тоw(x) == о. Если f(x) > о, то существует такое r ~ 1, что х Е С nn (Dr(f) \ D r - 1(f)).
Это означает, что 2- r ~ f(x) < 2- r + 1 и w(x) ==== 2- r. Следовательно, всюду на С справедливо неравенство w(x) ~~ f(x) ~ 2w(x). Поэтому f(x) Е L(C) тогда и только тогда, когдаш(х) Е L(C). С другой стороны, ш(х)w(x)ЕL(C)=~ на В и М(В) < 00, поэтомутогда и только тогда, когдаw(x)ЕL(A).Но, в силутеоремы Б. Леви,00Jш(х) dfL L 2=k-1fL(Dk(f)),k=lАоткуда следует утверждение задачи.D10.59. Обозначим ak == M(Fk(f)) для k Е N.
Тогда в силу результатазадачи 10.5800Возьмём произвольное Е> о.Тогда можно выбратьNтак, чтобыГл.10.>NИнтеграл ЛебегаСледовательно, приnоткуда следует, чтоM(Fk(j)) == o(l/k).231справедливы оценкиD00Lj(x) ==jn(x).n=1Тогдаf00f(x)dM=В то же время2Fk(j)lт ~ k}быстрее, чемlnk,приDk-----+ 00.10.61.ffn(x)dML=n=1 (0,1)(0,1)== min { l:L001n =00.n=1с (О, 2- r + 1 ) при каждом k, где r21n k. Поскольку ln kпри k----+ 00,-----+ О приk-----+ 00, то== r(k) ==r( k) растётоткуда следует, что M(Fk(f))=о (~)Пусть00гдем(А n )<Е А n : Ij(x)1 ~ 2=k}nЕ N.ВведёмобозначенияBn,k{х Епри n Е N и k Е N. Пусть теперь1f! 2 (м(Ап ) + 1) х00g(x)при00пХ (XAn\Bnl(X)+f 2 (в12k (k= 1Заметим, что функцияg(x)J-Ln,k)+I)X Bnk\ Bn .k+l(x)).измерима и положительна на А.
При этом10.Гл.232~~1~1 2 (м(А n )nИнтеграл Лебега(2 11 (А n ) + ~t:l 2~+ 1)2kII(Вn k)2 k+1) ~1+ 1) ~(M(B n ,k):( %;1 2п(~(1п) + 1) (2~(Aп) + 2 Е1 2-k):(2,%;1 2- п = 2 <00.D10.62. Пусть fn(x) == ХАп(Х) и00Lf(x) ==fn(x).n=1Если00то утверждение тривиально. Пусть эта сумма конечна. Тогда по теореме Б. Леви (задача10.34)J ЛХ) dM00=LJ fn(x) dM00L м(А n ) < 00.=n=1 (0,1)(0,1)n=1При этом по неравенству Чебышёва (задачаJ-L ( В n )==J-L ( {х Е А:f (х)~n})~10.51)100-nLJ-L ( А n )< 00.n=1D10.63.Предположим, что утверждение неверно.
Тогда для некото>ОИ подпоследова-9.19)можно считать,рого измеримого множества В С А существуют Еотельность {!mk (х)== gk (х) } С:= l' для которыхJgk(X) dM - JЛх) dMВпри каждомчтоgk(X)(задача-----+k.>ЕоВВ силу теоремы Рисса (задачаf(x)приk-----+ 00 п.в. на А. Заметим, что по теореме Фату10.35)Jf (х) dJ-L ~ lim inf J9 k ( Х ) dМ,k---+ooВВоткуда следует, что существует такоеоценкаk o,что приJgk(X) dM - Jf(x) dM > Ео·ВВk~koвыполненаГл.10.Интеграл Лебега2ЗЗС другой стороны, при меняя теорему Фату к множеству Вчаем, что существует такоечто приk1,k~\А, полуk1J gk(x)dfJ- J f(x)dfJ>-~'А\ВЭто означает, что приА\Вk~ шах(k o, k 1 )выполнено неравенствоJgk(X) dfJ - Jf(x) dfJ > Е;.ААМы получили противоречие с условием.10.64.
ПустьD1В = (О, 2)А = (0,1),- nX(l_~,l) (х) при n == 2,3, ... Тогда fn(x)Jfn(x) dfJ=О=1иfn(x)-----+ О приn=nX(o,~) (х)-----+ 00 на-(0,1),Апри каждомn,ноJfn(x) dfJВпри каждомn.D10.65. Можно считать, что f(x) ~ О на А. Пусть00где все А n Е М, м(А n )функции< 00при каждом n и А 1 С А 2 С ...
Определимfn(x) == f(X)XAn(X)дляnЕ N. Тогдана А. Следовательно, по теореме Б. Леви (см.rfn(x) f(x)10.32)J ЛХ) dfJ Jfn(x) dfJ JЛХ) dfJ=Апприn---7АА-----+ 00. Это означает, что существует по, для которогоJJfno(x) dfJ :( Е.ААО :( f(x) dfJ Взяв В==А nо , получим утверждение задачи.Dприn-----+ 0010.Гл.234Интеграл Лебега10.66.
Можно считать, что f(x) ~ О на А. Пусть En(f) == {х ЕЕ А: n ~ If(x)1 < n + 1} для n == 0,1, ... и00вU En(f)=={х Е А:==~f(x)1}.n=l<Нетрудно видеть, что М(В)задачу00 иЕf(x)поэтому, применяяL(B),получим, что10.54,00LnJ-L(Еn(f))< 00n=lи0000L(n+ l)J-L(Еn (f)) == Ln=lnJ-L(Еn(f))+ М(В) < 00.n=lМы можем выбрать возрастающую последовательность натуральныхчисел {nk} ~= l' для которой00L(nn=nkПусть теперь а nгдеkФ(n)+ l)J-L(Еn (f)) <1kпри k Е N.2== 1при О ~~nnlи аn== kдляnk < n~nk+l,Е N. Определим функцию Ф(u) следующим образом: Ф(О)== an-lдляnЕ N и Ф(u) линейная на каждомФ( и) Е C(IR), Ф( и) ~ 1 и Ф( и)Jf(х)Ф(f(х)) dfJА00=LJr 00 при и ----+ 00.
При этом+ 1].ТогдаJf(х)Ф(f(х)) dfJ ::;; Лх) dfJ +n=О En(f)Аnl00+L[n,n== 1,(n+ l)a n J-L(Еn (f)) ==Сn=l+ L (n + l)J-L(Еn (f)) +n=l00+Lnk+lk L (nk=l n=nk+ 100+ l)J-L(Еn (f))~ С+Lkk< 00.k=l 2D10.67. Достаточно рассмотреть случай f(x) ~ о. Найдём такуюпростую неотрицательную функциюо ::;; Jи(х) -h(x)) dfJ =Аh(x)ЕQf'Jf(x) dfJ - Jh(x) dfJ < ~.АТогдаАnh(x) ==чтоLk=lakXA k (х),10.Гл.где множестваAkИнтеграл Лебега235попарно не пересекаются.
Пусть< д.Пусть теперь В Е М, В с А и М(В)Тогда мы получаем, чтоf ЛХ) dfL f ЛХ) dfL - f h(x) dfL + f h(x) dfL ~=вввf~ и(х) -вnh(x)) dfL+fLА<akXAknB(X) dfLAk=l~ ~2 + ( l:::;;k:::;;nшах ak) М(В) ~ с.D10.68. Пусть задано Е > О. Положим "(дачу10.67)с М(В)<двыберем д>с=2(fL(A)+ 1)и (см. за-О так, чтобы для любого В Е М, В с Аи для любого n выполнены условияJf (х ) dfLи<~.вДалее, в силу сходимости по мере найдётся такоеАn=={х Е А:каждомJfn(x)Ifn(x) - f(x)1 > {}N,что для множестввыполнена оценка м(А n )<д приn ~ N. Тогда при n ~ N мы получаем, чтоdfL -АJЛХ)dfLJ Ifn(x) - f(x)1~dfL +А\А пАD10.69. Пусть fn(x) ==fn(x)~ оf(x)1(;:;уnх(оn)(х) для Х E}Rl И n Е N. Тогда'при n -----+ 00 на }R иf fn(x) dfLIR=VГn---70010.Гл.236приn -----+Интеграл Лебега00.
В то же время, если заданы сВ Е IR, причём М(В)< с,>Ои измеримое множествотоJfn(x) dlL ::;; Jп : ; ЕВпри каждом10.70.n.DПусть задано сВ Е М, В с А, с М(В)Пусть теперь даны<дwЕn>о. Выберем ди для любого>wО так, чтобы для любогоЕnвыполнялась оценкаи измеримое множество В С А с М(В)<д. Обозначим В+ == {х Е В: fw(x) ~ О} и В_М(В+) < д и М(В_) < д. Следовательно,==В\<В+. Ясно, чтоJfw(X) dlL Jfw(x) dlL < ~=В+В+иJfw(x) dlL= -В_Jfw(x) dlL < ~.В_Поэтомуf Ifw(x)1 dlLВ=f fw(x) dlL - f fw(x) dlL < Е.В+В_D10.71.
Пусть gn(x) == fn(x) - f(x). Из задачи 10.63 следует, чтодля любого измеримого множества В С А выполнено равенствоlim fgn(x)dM== limn----+ооn----+ооВffn(x)dm-ff(х)dМ==О.В(i)ВПредположим, что утверждение задачи неверно. Тогда существует такое со>О, что для любого дмножество А(д,N)и число n> О и любого N существуют измеримое> N, дЛЯ которых м(А(д, N)) < д иJ gn(X) dlLА(б,N)~ Ео·10.Гл.Интеграл Лебега237Зафиксируем вначале такие nl и А 1 С А с м(А 1 )JgnJX) dfJ< 00,что~ СО·А1Затем найдём такое 61 > О, что для любого измеримого< 61 справедлива оценкаFс А с м(р)<<~.JgnJX)dfJFДалее, возьмёмn2>nlи А 2 С А с м(А 2 ) < ~ , для которыхJgn2(X) dfJ~ со·А2Затем наидем такоеFс А с м(р)< 6262>О, что для любого измеримого множествавыполненоJgn2(X) dfJ<~.FПродолжая этот процесс, мы построим последовательность измеримыхмножеств {A k } С:= 1 из А, строго возрастающую последовательность наTypaльHыx чисел{nk} С:= 1И последовательность положительных чисел{6k} С:= l' для которыхJgnk (х) dfJ~ со,Ak< 6k, где k Е N.
Заметим, чтоfJ(Ak) ~ Ok, откуда следует, что Ok+l <для любого k. Следовадля любого измеримогоFс А с м(р)8;тельно,U00,u (Z=k+lAz)~LООбd< 6k .Z=kОтсюда следует, что еслиJgnkBk(х) dfJ<~10.Гл.238для всехk.Итак, еслиИнтеграл ЛебегаC k == A kfgnkBk ,\(х) dfJто;?:3:0Ckпри всехk.К тому же,Пусть теперьk( 1) == 1иk(2) > k( 1)fтаковы, что(х) dfJgnk(2)~,<C k (1)k(l) < k(2) < ...
< k(r - 1),Если мы уже определили индексыто по-ложимr-lDr-U Ck(l)'==1l=1и пустьk(r) > k(r - 1)таково, чтоfDrgnk(r)(х) dfJ<~,- 1Наконец, пусть00U Ck(r)D ==r=1иG r == D \ D r для r Е N. Тогдам( G r ) < дk(r), и мы получаем, чтоfgnk(r)для любого rf(х) dfJDrCk(r)fgnk(r)выполнена оценка(х) dfJ- 1gnk(r)(хм/")d ~3соТсосо _ со- 4 - 4 - 4'Стчто противоречит условию(i).DС10.72. Для любого Е > О выберем натуральное k так, что Ф(k) <Для произвольной функцииf(x)Е Т определим множества А 1==с2'{х Е10.Гл.Е А: лх)> k}Интеграл Лебегаси А 2 = А \А\. Пусть также 0= 2(k+ 1)' Тогда длялюбого измеримого множестваFс А с м(р)Jlf(x)1 dfLJIf(x) IdfL ~J=If(x)1 dfL +< 6 получаемРпА 2РпА 1F239JIf(х)IФ(If(х)l) dfL + kfL(F) ~ 2с + 2с1~ Ф(k)=Е.А1D10.73. Пусть Х == {ха}, М == {Х, 0} и М(Х) == 1. Пусть fn(xo) == nпри n Е N.
Тогда если А Е М и м(А)1< 2'JIfn(x)1 dfL=то А==0, поэтомуОАпри всехn,ноs~p Jfn(x) dfL =00.АD10.74. Определим для каждой функции f (х) Е V множестваFn(f) == {х Е А: If(x)1 ~ n} при n Е N. Вначале докажем, чтоМ(Рn (f)) -----+ о при n -----+ 00 равномерно наДля отдельно взятойинтегрируемой функции м( рn (f)) -----+ о при n -----+ 00 по неравенствуv.Чебышёва.Предположим,существуетсо>{fn(x)}~=l с V сО,чтодЛЯравномернойкоторогонайдётся< 6,нет.Тогдапоследовательность~ со при всех n.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
